初中数学中考复习 考点17 二次函数综合题 （原卷版）

考点十七  二次函数综合题

【命题趋势】

   在中考中，二次函数综合题每年必考点，特别是跟几何结合，经常在压轴题中出现。

【中考考查重点】

一、线段问题

二、面积问题

三、等腰、直角三角形问题

四、特殊四边形问题

五、相似三角形问题

六、与角度有关问题

   考点一：线段问题

1．（2021秋•龙沙区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为D，连接BC，P为线段BC上的一个动点（P不与B、C重合），过点P作PF∥y轴，交抛物线于点F，交x轴于点G．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当PG＝2PF时，求点P的坐标；

考点二：面积问题

2．（2021秋•梅里斯区期末节选）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）探究：在抛物线上直线AB下方是否存在一点P，使△ABP面积最大？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

考点三： 等腰、直角三角形问题

3．（2021秋•龙凤区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A（2，0）和B（﹣8，0），与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．

4．（2021秋•黄埔区期末）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

（1）求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；

（2）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．

特

考点四： 特殊四边形问题

5．（2021秋•龙江县期末节选）已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2021秋•江西月考）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A（4，0），另一交点为B，且与y轴交于点C，连接AC．

（1）求m的值及该抛物线的对称轴；

（2）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

考点五： 相似三角形问题

7．（2021秋•建华区期末节选）抛物线y＝x2+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，﹣3）三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在线段AC上找一点M，使△AOM∽△ABC，请你直接写出点M的坐标；

考点六：与角度有关的问题

8．（2021秋•郧西县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．

3．（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．

（1）求抛物线H的表达式；

（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；

（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

1．（2021秋•长兴县月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（3，0），点D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连结BE．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当△BDE为直角三角形时，求线段DE的长度；

（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP＝45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2021秋•新荣区月考）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，4）．

（1）求该二次函数的解析式．

（2）二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点P，使得S△BOP＝6S△AOC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，D为线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交二次函数的图象于点E，求线段DE长度的最大值．

1．（2021•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．

（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；

（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；

（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

2．（2021•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；

（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．

（1）求二次函数解析式；

（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2021•济南）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．

（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；

（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．

1．（2021•宝鸡模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求此抛物线的解析式及点B的坐标；

（2）设抛物线的顶点为D，连接CD、DB、CB、AC．

①求证：△AOC∽△DCB；

②在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P，使以P、A、C为顶点的三角形与△DCB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2021•中山市模拟）如图，抛物线y＝﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）．

（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；

（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；

（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

3．（2020•长春模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，过点D作DE∥y轴，交直线BC于点E，点P在抛物线上，过点P作PQ∥y轴交直线CE于点Q，连接PB，设点P的横坐标为m，PQ的长为d．

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）求直线BC的函数表达式；

（3）当0＜m＜4时，求d关于m的函数关系式；

（4）当△PQB是等腰三角形时，直接写出m的值．

4．（2021•黄冈二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD、CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝2：1时，求点D的坐标；

（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2021•阳东区模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），与y轴相交于点N（0，3），抛物线的顶点为D，经过点A的直线y＝kx+1与抛物线y＝﹣x2+bx+c相交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交AC于M，当t为何值时，线段PM的长最大，并求其最大值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．