2023高三数学二轮热点题型专项突破专题11 三角形中的求值问题（新高考全国通用）

这是一份2023高三数学二轮热点题型专项突破专题11 三角形中的求值问题（新高考全国通用）
三角形中的求值专题解析1、求边的值 2、求角的值 3、求角的三角函数值 4、探索三角形存在性解题策略1、求边的值 （1）正弦定理直接求（2）余弦定理直接求（3）方程求解（4）方程组求解2、求角的值 （1）正弦定理直接求（2）余弦定理直接求（3）通过边求角（4）通过三角函数值求角3、求角的三角函数值 （1）正弦定理直接求（2）余弦定理直接求（3）方程组4、探索三角形存在性方程或方程组有解专项突破类型一、求边值例1-1．（2021•上海）已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，．（1）若，求、； （2）若，求．例1-2．（2021•浙江）在中，，，是的中点，，则　　；　　．练．如图，四边形中，、分别是以和为底的等腰三角形，其中，，，则　　，　　．练、（2021春•浙江）如图，在平面凸四边形中，，为对角线的中点，若．则　　，　　．例1-3．在中，若，，且，，则与的值分别为　　A．8，10 B．10，10 C．8，12 D．12，8练．（2021•如皋市二模）在中，角、、所对的边分别为、、，已知向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求边上的高的大小．练、（2021•3月份模拟）在中，角，，所对的边长分别为，，，为边上的一点，若，，，，则　　．练、（2021•嵊州市二模）在中，是边的中点，若，，，则　　．练.中，D是BC上的点，AD平分，面积是面积的2倍．（1）求的值；（2）从①，②，③这三个条件中选择两个条件作为已知，求BD和AC的长．例1-4（2021•浙江模拟）在中，，为的中点，，则　　　　．类型二、求角的值例2-1（2021春•浙江）如图，在平面凸四边形中，，为对角线的中点，若．则　　，　　．练.（2020新课标Ⅱ卷 文T17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形．例2-2（2020新课标Ⅰ卷 文T18）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求C.练．如图，D是直角斜边上一点（不含端点），，记，．（1）求的最大值；（2）若，求角的值．例2-3（2021届高三年级苏州八校联盟第三次适应T17）如图，在平面四边形ABCD中，，．BACD（1）若，求三角形ABD的面积；（2）若 求的大小.类型三、求三角函数值例3-1．（2021•嵊州市二模）在中，是边的中点，若，，，则　　．练、（广东省清远市第一中学2021届高三下学期开学考试T17）．在中，，，且的面积为．（1）求a的值；（2）若D为BC上一点，且 ，求的值．从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．练. (2021·南京、盐城一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝B＋3C.(1)求sin C的取值范围；(2)若c＝6b，求sin C的值．例3-2．如图，四边形中，、分别是以和为底的等腰三角形，其中，，，则　　，　　．练、（2021•浙江）在中，，，是的中点，，则　　；　　．练.(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin ∠ABC＝asin C.(1)证明：BD＝b.(2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC.例3-3．（2020山东烟台三模）第24届世界数学家大会会徽图形是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理构造的“弦图”， 如图1，用它作为会徽是国际数学界对我国古代数学伟大成就的肯定.如图2，四个全等直角三角形的斜边围成正方形ABCD，四个直角顶点构成正方形A'B'C'D'，两个正方形面积之比为3:1，设直角三角形A'AB中较小锐角为，则的值为（ ）A．-5 B．5 C．3-52 D．3+52 图2图1 练．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，且________．（1）求角；（2）若是内一点，，，，，求．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．练.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，c＝eq \r(2)，B＝45°.(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－eq \f(4,5)，求tan∠DAC的值.例3-4.（2020届山东省高考模拟T18）在中，，点在边上．在平面内，过作且．（1）若为的中点，且的面积等于的面积，求；（2）若，且，求．例3-5．（2021•钟祥市一模）如图，在中，，，点在线段上．（1）若，求的长；（2）若，的面积为，求的值．练.已知等边三角形ABC的边长为3，点D在BC边上，且BD>CD，AD＝eq \r(7).下列结论中正确的是(　　)A.eq \f(BD,CD)＝2 B.eq \f(S△ABD,S△ACD)＝2C.eq \f(cos ∠BAD,cos ∠CAD)＝2 D.eq \f(sin ∠BAD,sin ∠CAD)＝2类型四、三角形的存在性探索例4-1．如图，在中，，、分别为边上的高和中线，，（1）若，求的长；（2）是否存在这样的，使得射线和三等分?例4-2．在中，，．（1）若边，求的面积；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出．①； ②； ③练、（2020·全国高三专题练习（文））在中，，，分别为内角，，的对边，且满.（1）求的大小；（2）再在①，②，③这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求的面积.例4-3（广东省湛江市第二高级中学2021届高三下学期3月T18）．在中，，，分别为角，，对边，且同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.（1）满足有解的序号组合有哪些？（2）在（1）的组合中任选一组，求的面积.练、（2020届山东省德州市高三上期末）已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）练.(2021·南京、盐城二模)在①b＝eq \r(3)a，②a＝3cos B，③asin C＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B－sin(A－C)＝eq \r(3)sin C，c＝3，　　　　？(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.)练.(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.