2022-2023学年天津市八校高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年天津市八校高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合运算定义先求并集，再求补集即得．

【详解】因为全集，集合，

所以，

所以．

故选：C．

2．如果，则正确的是（    ）

A．若a>b，则 B．若a>b，则

C．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a>b，c>d，则ac>bd

【答案】C

【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.

【详解】对于A:取则，故A错，

对于B:若，则，故B错误，

对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确，

对于D:若，则，，故D错误.

故选：C

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据不等式性质和分式不等式的求解分别验证充分性和必要性即可得到结论.

【详解】当时，成立，故充分性成立；当时，或，故必要性不成立

“”是“”的充分不必要条件

故选：

【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到不等式的性质和分式不等式的求解的知识，属于基础题.

4．已知，，，则的最小值是

A． B．4 C．9 D．5

【答案】C

【分析】利用题设中的等式，把的表达式转化成展开后，利用基本不等式求得的最小值．

【详解】∵，，，∴＝，

当且仅当，即时等号成立．

故选C．

【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，注意一定，二正，三相等的原则，属于基础题．

5．已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足的 x 取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由偶函数性质得函数在上的单调性，然后由单调性解不等式．

【详解】因为偶函数在区间上单调递增，

所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，

因为，

所以，解得：.

故选：A．

6．设，则a，b，c的大小顺序为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数单调性及中间值比较大小.

【详解】因为单调递增，所以，

因为单调递减，所以，，

即，

因为，所以，即，

综上：.

故选：A

7．已知函数是幂函数，且在上递减，则实数m=（    ）

A．2 B．1 C．4 D．2或1

【答案】A

【分析】由幂函数的定义可得或，再根据区间单调性及幂函数的性质确定的值.

【详解】由题意知：，即，解得或，

∴当时，，则在上 为常数，不合题意.

当时，，则在单调递减，符合题意.

∴.

故选：A

8．函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，求得函数的定义域，再根据和的单调性，利用复合函数的单调性求解.

【详解】令，

解得或，

而函数的对称轴为，开口向上，

所以在上递减，在上递增，

由复合函数的单调性得：函数的单调递增区间是，

故选：B

9．已知定义在上的奇函数，当时，若对于任意的实数有成立，则正数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】当时，函数的解析式中含有绝对值，去绝对值化为分段函数，再利用函数在上是奇函数，可画出函数的图像，把函数向右平移两个单位为，在采用数形结合可知，要想恒成立，即的图象始终在下方，即可得出，即可得到答案.

【详解】，当时，，为奇函数，即可得到如下图像：

对于任意的实数有成立，采用数形结合把函数的图象向右平移两个单位得到并使的图象始终在的图象的下方，即，即，，.

故选：D.

二、填空题

10．函数的定义域为________．

【答案】

【分析】根据二次根式，零次幂的性质列出不等式求解函数的定义域即可.

【详解】因为

所以，

解得且，

所以函数的定义域为.

故答案为：.

11．当且时，函数的图象经过的定点坐标为_______.

【答案】

【分析】根据指数函数的性质可知恒过，故令，进而求解即可

【详解】由题意，令，则，此时,

故所过定点为.

故答案为：.

【点睛】本题考查指数型函数恒过定点问题,属于基础题

12．求值：________．

【答案】

【分析】结合指数幂的运算化简整理即可求出结果.

【详解】

，

故答案为：.

13．若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_____，

【答案】

【分析】原命题等价于命题“，”是真命题

【详解】由题意得若命题“”是假命题，

则命题“，”是真命题，

则需,故本题正确答案为．

【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．

14．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在R上的解析式为___________．

【答案】

【分析】由奇函数的性质即可求解.

【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，则有，

设，有，

则，

又由函数为奇函数，则，

则．

故答案为：

15．对任意的实数x，记，则的最大值是________．

【答案】1

【分析】分与两种情况进行求解，得到的最大值.

【详解】若，即或，则，

因为或，所以，，即，

若，即，则，

综上：的最大值为1.

故答案为：1

三、解答题

16．已知全集，或，.

（I）当时，求，，；

（II）若，求实数a的取值范围.

【答案】（I），或，；（II）或

【解析】（I）利用集合的交并补运算的定义求解即可；

（II），即，列不等式可得实数a的取值范围．

【详解】（I）当时，或，，

则，或，

，；

（II），即

则或，即实数a的取值范围是或

17．设函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求a，b的值；

(2)试判断的单调性，并用定义法证明．

【答案】(1)；

(2)在上单调递增，证明见解析

【分析】（1）根据函数为上的奇函数，得到，结合，求出a，b的值；

（2）取点，作差，判号，下结论，利用定义法证明函数的单调性.

【详解】（1）∵函数是定义在上的奇函数，

∴由，得．

又∵，

∴，解之得；

所以函数的解析式为：，a=2，b=0；

（2）在上单调递增，理由如下：

设，

则

∵，

∴，即，

所以在上单调递增．

18．已知函数．

(1)画出的大致图象；

(2)若，求的最大值和最小值；

(3)当时，求实数x的取值范围．

【答案】(1)函数图象见解析

(2)最大值为4，最小值为-2

(3)

【分析】（1）利用列表，描点，连线，画出函数的图象；

（2）数形结合求出函数的最值；

（3）分与时，解不等式，得到不等式的解集.

【详解】（1）当时，，图象为抛物线的一部分，

当时，，图象为直线的一部分，

列出表格，如下：

描点，连线：

（2），由图象可知：

当时，取得最大值，最大值为4，当时，取得最小值，最小值为-2.

（3）当时，，令，解得：，

当时，，令，解得：，

综上：实数x的取值范围是.

19．已知函数.

(1)若关于的不等式的解集为，求的值；

(2)当时，

（i）若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围；

（ii）解关于的不等式.

【答案】(1)

(2)（i）；（ii）答案见解析

【分析】(1)根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，借助韦达定理列式计算即得.

(2)把代入，利用二次函数的单调性列出不等式即可得解；分类讨论解一元二次不等式即可作答.

【详解】（1）依题意，关于的方程的两个根为1和2，于是得，解得，

所以.

（2）当时，，

（i）函数的对称轴为，因函数在上为单调递增函数，则，解得，

所以实数的取值范围是；

（ii）不等式为，即，

当时，解得或，

当时，解得，

当时，解得或，

综上可知，当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为.

20．某工厂某种航空产品的年固定成本为万元，每生产件，需另投入成本为，当年产量不足件时，（万元）.当年产量不小于件时，（万元）. 每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

(1)写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式；

(2)年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

【答案】(1)

(2)当产量为100件时，最大利润为1000万元

【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为（万元），根据年利润＝销售收入−成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为（万元），根据年利润＝销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；

（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．

【详解】（1）∵①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入−成本，

∴；

②当x≥80时，根据年利润＝销售收入−成本，

∴．

综合①②可得，；

（2）①当0＜x＜80时，，

∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；

②当x≥80时，，

当且仅当，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元．

综合①②，由于950＜1000，

∴当产量为100件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元