天津市八校联考2022-2023学年高三上学期期中数学试题(解析版)
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这是一份天津市八校联考2022-2023学年高三上学期期中数学试题(解析版),共17页。试卷主要包含了 已知全集,集合,,则, 设,则“”是“”的, 命题“”的否定是, 函数的图象大致是, 已知等比数列满足,,则的值为, 设,则大小关系为, _______, 已知数列的前项和为, ,.等内容,欢迎下载使用。
2022—2023学年度第一学期期中八校联考试卷高三数学一.选择题(每题5分,共45分)1. 已知全集,集合,,则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题,注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】,则
故选:A【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2. 设,则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】分析:首先求解绝对值不等式,然后求解三次不等式即可确定两者之间关系.详解:绝对值不等式,由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛:本题主要考查绝对值不等式的解法,充分不必要条件的判断等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析:全称命题的否定是存在性命题,所以,命题“”的否定是,选C.考点:全称命题与存在性命题. 4. 函数的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断函数为奇函数,由图像可排除C,D;然后利用特殊值,取,可排除B.【详解】定义域为,定义域关于原点对称, ,是奇函数,排除C,D;当时,,排除B;故选:A.【点睛】本题考查了函数图像的识别,函数奇偶性的判断,属于基础题.5. 已知等比数列满足,,则的值为( )A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据,利用等比数列的性质求得,再利用通项公式求解.【详解】在等比数列中,,,所以,所以,所以,故选:C6. 设,则大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数单调性及中间值比大小.【详解】因为,,在定义域上单调递减,故,,,所以.故选:A7 己知函数,则( )A. 在上单调递增 B. 在上单调递减C. 在上单调递增 D. 在上单调递减【答案】D【解析】【分析】由二倍角公式化简函数一个角的一个三角函数形式,然后由余弦定理的单调性判断各选项.【详解】,时,,时函数取得最大值,A错;时,,时函数取得最大值,B错;时,,在此区间上递减,C错;时,,在此区间上递减,D正确.故选:D.8. 已知函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )A. 直线是图象的一条对称轴B. 图象的对称中心为,C. 在区间上单调递增D. 将的图象向左平移个单位长度后,可得到一个奇函数的图象【答案】C【解析】【分析】由已知图象求得函数解析式,将代入解析式,由其结果判断A;求出函数的对称中心可判断B; 当时,,结合正弦函数的单调性判断C;根据三角函数图象的平移变换可得平移后函数解析式,判断D.【详解】由函数图象可知,,最小正周期为 ,所以 ,将点代入函数解析式中,得:,结合,所以,故,对于A,当时,,故直线不是图象的一条对称轴,A错误;对于B,令,则,即图象的对称中心为,,故B错误;对于C,当时,,由于正弦函数在上递增,故在区间上单调递增,故C正确;对于D,将的图象向左平移个单位长度后,得到的图象,该函数不是奇函数,故D错误;故选:C9. 已知定义在上的函数满足,,则关于的不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数,得到函数的单调性,根据单调性解不等式即可.【详解】令,则,所以在单调递减,不等式可以转化为,即,所以.故选:D.二、填空题(每题5分,共30分)10. _______【答案】【解析】【分析】根据对数的运算性质即可求得答案.【详解】,故答案为:.11. 已知函数,则的单调递增区间为______.【答案】【解析】【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的递增区间即可.【详解】解:的定义域是,,令,解得:,故在递增,故答案为.【点睛】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,是一道基础题.12. 若 , 则 的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据已知条件两次运用基本不等式即可求解.详解】,,当且仅当时,等号成立,所以当时,的最小值为.故答案为:.13. 函数的图象恒过定点,若点在直线上,则的最小值为________.【答案】4【解析】【分析】函数的图象恒过定点,而定点在直线上,代入可得,利用乘“1”法即可得到最值.【详解】函数的图象恒过定点因为点在直线上,所以则当且仅当时取等号.故答案为:4.【点睛】本题关键点在于找到“1”,隐藏的“1”在定点当中,提醒我们在备考中,要灵活的使用.
14. 已知在区间上单调递增,则实数的取值范围是__________.【答案】.【解析】【分析】求导后得到在上恒成立,参变分离后得到在上恒成立,利用导函数求出,从而求出实数的取值范围.【详解】,,故只需在上恒成立,则在上恒成立,其中在上恒成立,故,所以,故答案为:.15. 已知函数若函数恰有3个零点,则实数的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】画出 的图像,再分析与的交点个数即可.【详解】画出函数的图像,如图所示:先求与相切时的情况,由图可得此时,设切点为,则,解得, .此时.斜率.又当时与平行也为临界条件.故.故答案为:【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意画出图像,再分析临界条件分析.属于中档题.三解答题(共75分)16. 已知,,分别为锐角三角形三个内角,,的对边,且.(1)求;(2)若,,求;(3)若,求的值.【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】(1)由正弦定理可求解答案;(2)由余弦定理可求解答案;(3)由正弦的两角差公式再结合二倍角公式可求得答案.【小问1详解】由于,所以,由得,所以,且三角形锐角三角形,所以.【小问2详解】在中,由余弦定理有,解得或(舍),故.【小问3详解】由,可得,,.所以.17. 已知数列的前项和为, ,.(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前项和.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由条件得到,结合已知两式相减得到,再验证,得到数列是等比数列,从而得到数列的通项公式;(2)由(1)可知,利用分组转化为等差数列和等比数列求和.【详解】(1)……………. ①……………….. ② ①- ②得 ,即 又, 是以2为首项,2为公比的等比数列 (2)由(Ⅰ)得 【点睛】本题考查已知求,以及分组转化法求和,重点考查基本方法,计算能力,属于基础题型,本题容易忽略验证,一般求和的方法包含1.公式法求和;2.裂项相消法求和;3.分组转化法求和;4.错位相减法求和,这些常用方法需熟练掌握.18. 已知函数(1)求的值;(2)求的最小正周期和单调递增区间;(3)求在上的最值.【答案】(1) (2)最小正周期为,单调递增区间为; (3).【解析】【分析】(1)直接计算即可;(2)根据三角恒等变换得,再根据三角函数的性质求解即可;(3)结合(2)知的单调递减区间为,进而得在上的单调区间,再根据单调性求解即可.【小问1详解】解:因为,所以【小问2详解】解:,所以的最小正周期为,令,解得,.即,所以,的单调递增区间为;【小问3详解】解:由(2)知,的单调递增区间为,最小正周期为,所以的单调递减区间为,又,所以,在上单调递增,在上单调递减,因为,所以,.19. 已知等差数列前项和为(),数列是等比数列,,,,.(1)求数列和的通项公式;(2)若,设数列的前项和为,求.【答案】(1),, (2)【解析】【分析】(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,然后由已知条件列方程组可求出和,从而可求出数列和的通项公式;(2)由(1)可知当为奇数时,,当为偶数时,,然后分奇偶项求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为,等比数列的公比为,因为,,,,所以,解得,所以,【小问2详解】由(1)得,当为奇数时,,当偶数时,,所以令,则,,所以,所以,所以,所以.20. 已知函数.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)求函数的单调区间;(3)当时,求函数在区间的最小值.【答案】(1) (2)答案见解析 (3)【解析】【分析】(1)根据切点和斜率求得切线方程.(2)求得,对进行分类讨论,由此求得的单调区间.(3)结合(2)中的单调区间,对进行分类讨论,从而求得函数在区间的最小值.【小问1详解】当时,,∴,,∴,故切线方程为:.【小问2详解】,∴,,∴①当时,,∴仅有单调递增区间,其为:,②当时,,∴当时,;当时,,∴的单调递增区间为: ,单调递减区间为:.③当时,,∴当时;当时.∴的单调递增区间为:,单调递减区间为:.综上所述:当时,仅有单调递增区间,单调递增区间为:.当时,的单调递增区间为:,单调递减区间为:.当时,的单调递增区间为:,单调递减区间为:.【小问3详解】当时,由(2)中③知在上单调单调递减,在上单调递增,∴①当,即时,在上单调递增,,②当,即时,在上单调递减,在上单调递增,∴,③当,即时,在上单调递减,∴.∴.【点睛】利用导数研究函数的单调区间,首先要求函数的定义域,当导函数含有参数时,要对参数进行分类讨论,分类讨论要做到不重不漏.
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