2022-2023学年辽宁省锦州市渤海大学附属高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省锦州市渤海大学附属高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.

【详解】∵集合，，∴.

故选：D

2．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据具体函数的定义域求解，列不等式求解集，即可得函数定义域.

【详解】解：函数的定义域满足：解得，且，

∴函数的定义域为.

故选：C.

3．已知函数则等于（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】A

【分析】运用代入法进行求解即可.

【详解】∵，∴.

故选：A

4．若，都是实数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可得正确选项.

【详解】若，则，可得，所以，可得，

故充分性成立，

取，，满足，但，无意义得不出，

故必要性不成立，

所以是的充分不必要条件，

故选：A.

5．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据零点存在定理，分别求各选项的端点函数值，找出函数值异号的选项即可

【详解】由题意，因为，，

由零点存在定理，故函数的零点所在的区间为

故选：C

6．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在上的单调性，由此可得出合适的选项.

【详解】函数的定义域为，

，函数为偶函数，排除BD选项；

对于函数，该函数在上为减函数，

任取，则，，则，

即，故函数在为减函数，排除C选项.

故选：A.

7．设，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】根据指数函数的性质，，,又由单调性可得，所以，故选D.

【 方法点睛】本题主要考查函数的指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.

8．若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数k的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用常变量分离法，结合二次函数的性质、数形结合思想进行求解即可.

【详解】由于关于x的方程有4个不同的实数解，

当时，原式为，解得，不满足题意；

故，则可转化成，

所以或，所以或，

所以时，是此方程的1个根，故关于x的方程有3个不同的非零非4的实数解，所以有3个不同的非零非4的实数解，

即函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，

在同一直角坐标系作图：由图可知，即，所以k的取值范围为.

故选：D

【点睛】关键点点睛：利用转化法，结合数形结合思想进行求解是解题的关键.

二、多选题

9．如果，，，且，那么下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【分析】根据不等式的性质可判断A,B,C选项，根据指数函数的单调性可判断D选项.

【详解】解：对于A，若，，满足，但不成立，故A错误；

对于B，∵，∴，∴，故B正确；

对于C，若，，满足，但不成立，故C错误；

对于D，由指数函数在上的单调递增，所以可得，故D正确.

故选：BD.

10．已知函数是上的减函数，则实数的取值可以是（    ）

A．-2 B．1 C．2 D．3

【答案】CD

【分析】由求出的范围即可得解.

【详解】因为函数是上的减函数，

所以，解得，

故选：CD

11．已知函数，，则下列结论正确的是（    ）

A．为奇函数 B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据奇函数的定义、指数函数的单调性，结合函数单调性的性质、完全平方公式、平方差公式逐一判断即可.

【详解】，，故A正确；

单调递增，∴，故B错误；

，故C正确；

，故D正确.

故选：ACD

12．已知函数关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ）

A． B．设，则的最小值为

C．不等式的解集为 D．若且，则x的取值范围是

【答案】ACD

【分析】由题意得，1是方程的唯一解，求得，A正确；从而可求得的解析式，的取值范围为，B错误；解不等式不等式，得其解集为，C正确；令解得，由以及二次函数的单调性求得判断D正确.

【详解】解：函数，关于的不等式，即，该不等式的解集为

1是方程的唯一解

故A正确；

由以上可得

又

的取值范围为，故B错误；

不等式

，即

求得它的解集为，故C正确；

若且

令，解得（舍去）或

在上单调递增

又

，则

求得的取值范围，故D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．计算___________.

【答案】

【分析】利用指数、对数的运算性质直接求解.

【详解】原式.

故答案为：5.

14．已知命题“”是假命题，则实数m的取值范围是_________.

【答案】

【解析】求得原命题的否定，根据其为真命题，即可结合二次不等式恒成求得参数范围

【详解】若命题“”是假命题，则“”为真命题，

显然时，不满足题意，

故只需满足，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查根据含量词命题的真假求参数范围的问题，涉及二次不等式在上恒成立求参数的问题，属综合基础题.

15．定义在R上的奇函数对任意满足，且，则______．

【答案】

【分析】根据函数的周期性及其奇偶性求解函数值即可

【详解】，函数的周期.

，

又为奇函数，

.

故答案为：

16．记表示，，中的最大者，设函数，若，则实数的取值范围___________.

【答案】或或

【分析】作出函数，数形结合，解或或即可得答案.

【详解】解：如图，作出函数，

根据图像，等价于或或，

解不等式得或或，

所以实数的取值范围或或

故答案为：或或

四、解答题

17．设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，求a的取值范围.

【答案】

【分析】根据必要条件的性质进行求解即可.

【详解】若“”是“”的必要条件，则，

又集合B为非空集合，故有解得，所以a的取值范围.

18．已知二次函数，且满足.

(1)求函数的解析式；

(2)若函数的定义域为，求的值域.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据的对称轴可求得，由此可得解析式；

（2）根据对称轴可得单调性，进而求得值域.

【详解】（1）由知：二次函数的对称轴，解得：，

；

（2）当时，在上单调递增，在上单调递减，

，又，

的值域为.

19．已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求的解析式；

(2)判断函数在上的单调性，并证明.

【答案】(1)

(2)在上为增函数，证明见解析

【分析】（1）根据奇函数的性质，结合代入法进行求解即可；

（2）根据单调性的定义进行判断证明即可.

【详解】（1）根据题意，是奇函数，则有，

则有，解可得b＝0；∴.

∵，∴，解可得a＝2，∴；

（2）在上为增函数；证明如下：设，

则，

∵，则有，，，，

则有，即.∴在上为增函数.

20．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都购入台，且每批均需付运费400元．贮存购入所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．

（1）求的值；

（2）现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．

【答案】（1）；（2）只需每批购入台，可以使资金够用

【分析】根据若每批购入台，则全年需用去运费和保管费共元，求出比例；再求出运费和保管费的总费用关于每批购入台数的函数解析式，然后利用基本不等式进行解答.

【详解】（1）设全年需用去的运费和保管费的总费用为元

题中的比例系数设为，每批购入台，则共需分批，每批费用元

由题意知：

当时，

解得：

（2）由（1）可得：（元）

当且仅当，即时等号成立

故只需每批购入台，可以使资金够用

【点睛】本题考查函数的实际应用，解决问题我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．

21．已知函数（a＞0，且）在上的最大值与最小值之和为20，记.

(1)求a的值；

(2)求证：为定值；

(3)求的值.

【答案】(1)2；

(2)证明见解析；

(3)1010.

【分析】（1）根据指数函数的单调性进行求解即可；

（2）利用代入法，结合指数幂的运算性质进行求解即可；

（3）结合（2）的结论进行求解即可.

【详解】（1）函数（，且）在上的最大值与最小值之和为20，

而函数在上是单调函数，∴，解得a＝2或－2（舍），∴a＝2；

（2）由（1）知，a＝2，∴，

∴；

（3）由（2）知，.

∵，，…，.

∴

【点睛】关键点睛：利用指数函数的单调性、指数幂运算性质是解题的关键.

22．已知.

(1)若时，的值域是，求实数a的值；

(2)设关于x的方程有两个实数根为，；试问：是否存在实数m，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)-3；

(2)存在，.

【分析】（1）根据二次函数的单调性进行求解即可；

（2）根据任意性的定义，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式、构造新函数，利用新函数的单调性分类讨论进行求解即可.

【详解】（1）由题知函数的对称轴为x＝－1，函数在上单调递增，

又函数的值域是，∴，∴a＝－3；

（2）由题得，，化简整理得.

∵，∴方程有两个非零实根，，

可得，，则有，

本题等价于是否存在m，使不等式①

对任意a，恒成立.

把看作关于a的函数，则①式等价于②

∵，∴，从而②式转化为，

即③，对恒成立，把③式的左边看作t的函数，记，

若m＝0，③式显然成立；

若，是t的一次函数，要使对恒成立，只要和同时成立即可，解不等式组得且.

故存在实数m，使不等式对任意，恒成立，其取值范围是.

【点睛】关键点睛：构造新函数，利用新函数的单调性分类讨论是解题的关键.