2022-2023学年江西省景德镇一中高一（19班）上学期期中考试数学试题（解析版）

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2022-2023学年江西省景德镇一中高一（19班）上学期期中考试数学试题一、单选题1．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：，）（    ） A．1.012m B．1.768m C．2.043m D．2.945m【答案】B【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧 的长，其所对圆心角，则两手之间的距离．故选：B．2．已知实数x，满足，则的最小值为（    ）A．6 B． C． D．8【答案】C【分析】根据“1”的变形技巧化简，再运用均值不等式求解即可.【详解】由条件可得．当且仅当，即时等号成立，故选：C．3．已知是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当时，．若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意和函数的奇偶性求出函数的周期，利用函数奇偶性求出函数分别在、、、时的解析式，作出函数与的图象，结合图象即可得出结果.【详解】因为是偶函数，所以函数的对称轴为，而是定义在R上的奇函数，所以有，因此有，所以，因此函数的周期为，设，易知是偶函数，且当时，，所以，因此有：当时，，当时，，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：关于x的方程有5个不同的实根，等价于函数的图象与直线有5个不同的交点，当直线过点时，有6个交点，此时，当直线过点时，有4个交点，此时，所以当时，函数的图象与直线有5个不同的交点故选：B.4．若函数为偶函数，对任意，，且，都有，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判断单调性，再利用函数为偶函数，求得对称性，故可利用计算判断答案.【详解】由对任意，，且，都有，所以函数在上递增，又函数为偶函数，所以函数关于对称，所以.又因为 所以.因为，所以,因为，所以,故选：B.5．已知函数 ，则不等式 的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先构造出新函数，证明其为奇函数，再利用函数的单调性得到不等式，解出即可.【详解】令，定义域为，且，所以为奇函数，变形为，即，其，当且仅当，即时，等号成立，所以在上单调递增，所以，解得：，所以解集为．故选：B.6．函数的部分图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用奇偶性可排除AD；根据从正方向无限接近时可排除C，由此可得结果.【详解】由得：，则定义域为；，为奇函数，图象关于原点对称，可排除AD；当从正方向无限接近时，，，，则，可排除C.故选：B.7．已知，，且，则的最小值为（    ）A．10 B．9 C． D．【答案】C【分析】由已知，可设，，利用换底公式表示出，带入中，得到m，n的等量关系，然后利用“1”的代换借助基本不等式即可求解最值.【详解】由已知，令，，所以，，代入得：，因为，，所以.当且仅当时，即时等号成立.的最小值为.故选：C.8．已知，且，则的最小值为（      ）A． B． C． D．1【答案】D【分析】令，则原不等式等价于，应用柯西不等式得，再两次应用基本不等式求的最小值，注意最小值的取值条件.【详解】令，即，则，当且仅当时等号成立，又，当且仅当且，即时等号成立，综上，，即，当且仅当时等号成立.故选：D【点睛】关键点点睛：令，应用柯西不等式求得，再利用基本不等式求的最值即可.二、多选题9．下列命题正确的是（    ）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题，是假命题C．已知a，，则“”是“”的必要不充分条件D．的最小值为2【答案】AC【分析】对于A、C根据充分条件和必要条件的要求即可判断;对于B适当举出反例即可;对于D根据基本不等式等号成立要求判断x是否存在.【详解】对于A.充分性：⸪，⸫充分性成立；必要性:若，即使，，必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确.对于B.当时，，故B错误.对于C. 充分性: ，时，，所以充分性不成立;必要性：当时，且，必要性成立;所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确.对于D. ，当且仅当时成立，此时，因此等号不成立，故D错误.故选：AC.10．下列命题正确的是（    ）A．若，，则；B．若正数a、b满足，则；C．若，则的最大值是；D．若，，，则的最小值是9；【答案】BC【分析】A选项用作差法即可，B，C，D选项都是利用基本不等式判断.【详解】对于选项A，，因为，，所以，,即，故，所以A错误；对于选项B，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确；对于选项C，因为，，当且仅当即 时，等号成立，所以，故C正确；对于选项D，因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是8，故D错误.故选：BC.11．已知函数，直线和点是的图象的一组相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（    ）A．函数为偶函数 B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上为单调函数 D．函数在区间上有23个零点【答案】ABD【分析】根据三角函数的性质结合条件可得，然后根据正弦函数的性质逐项分析即得.【详解】由题可知的最小正周期为，所以，由，，，又，所以，，所以为偶函数，故A正确；因为，为一个对称中心，故B正确；当时，，所以函数区间上不单调，故C错误；由，，可得，所以，，即函数在区间上有23个零点，故D正确．故选：ABD.12．已知是定义在R上周期为4的函数，且，当时，，对于闭区间，用表示在上的最大值．若正数满足，则的值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】先利用函数的对称性与周期性推导得，进而计算得的解析式，结合函数的周期从而计算得与的解析式，作出函数图像，然后分类讨论，，，，五种情况下，，并根据计算并得复合条件的值.【详解】由，且周期为4，，即，令，则，所以，所以；所以当时，，时，…作出函数的部分图像如图所示：若，则，在上单调递增，所以，，显然不满足；若，则，在上单调递增，在上单调递减，所以，，显然不满足，若，则，所以，，由，即，解得或（舍去）；若，则，所以，或，由，即，解得或（舍去）；当时，，所以，，显然不满足，故舍去；故或故选：AD【点睛】思路点睛：根据函数的对称性与周期性推导函数的奇偶性，即可计算的解析式，再结合周期写出函数与的解析式，再作出函数图像，注意利用数形结合与分类讨论的方法，计算的值，并代入计算.三、填空题13．己知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若实数，满足，则的最小值为______．【答案】##【分析】首先根据题意得到，根据题意得到，从而得到，，，即可得到答案.【详解】，因为实数，满足，所以.所以，，解得，，，，解得，，所以，，.所以.综上：.故答案为：14．命题：实数x满足；命题q：实数x满足或．已知p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________________．【答案】或【分析】先求出命题和对应的集合，根据p是q的充分不必要条件列出对应的不等式即可得到答案【详解】由得，因为，所以，解得，故命题对应的集合为；由解得，由解得或，故命题对应的集合为或，因为p是q的充分不必要条件，所以或，所以或，解得或，故实数a的取值范围是或，故答案为：或15．函数在区间上单调递增，且存在唯一，使得，则的取值范围为_______．【答案】【分析】根据函数得单调性可得，根据后一个条件可得，解之即可得解.【详解】解：由，得，因为函数在区间上单调递增，且，所以，解得，由，得，因为存在唯一，使得所以，解得，综上所述的取值范围为.故答案为：.16．已知函数，若存在互不相等的实数，满足，则的取值范围是__________．【答案】【分析】作出函数的图象，不妨设，数形结合可得，求出，即可求得答案.【详解】作出函数的图象如图，若存在互不相等的实数，满足，不妨设，如图示，则，由于 ，令，则，故 ，则，即，故答案为：四、解答题17．已知二次函数满足，且：(1)求的解析式；(2)若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）设二次函数，利用题目条件可以得到关于的方程组，解方程组得到，即可得到解析式；（2）因为的取值不同，函数的图象不同，所以我们可以先分类讨论，其次函数图象恒在函数图象上方，即有恒成立，于是问题转化为一元二次不等式恒成立问题，即可利用求解.【详解】（1）设二次函数，，由题意知：，整理得：，即：，解得：，∴.（2）由（1）知，的图象开口向上，时，，解得：或，∴当，，图象在轴下方，当，，图象在轴上方，对于，当时，，当时，图象在图象的上方，不合题意，舍去；当时，，开口向上，当时，图象在图象的上方，不合题意，舍去；当时，，开口向下，函数的图象恒在图象的上方，即恒成立，即：恒成立，即：恒成立，，即有：，即：.综上，的取值范围是：.18．解关于的不等式：．【答案】答案见解析【分析】先移项通分合并同类项得到，问题转化为且，再对，，，，五种情况进行分类讨论，即可得到不等式的解集.【详解】由得，即，故不等式转化为：且，当时，原不等式为，即且，故，即不等式的解集为；当时，原不等式为，解得，故不等式的解集为；当时，的两个根为，，当时，，，即，故不等式的解集为或；当时，，，故不等式的解集为或；当时，，，故不等式的解集为；综上：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；19．已知关于的方程有解，设满足题意的实数构成的集合为．(1)求集合；(2)若，且使得不等式成立，求的最小值．【答案】(1)(2)18【分析】（1）方程有解，等价于方程有解，利用基本不等式求右侧式子的值域即可；（2）原问题等价于，借助基本不等式求最值即可.【详解】（1）若关于的方程有解，则方程有解， 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以实数的取值范围为．（2）若，使得不等式成立，只需，所以，又因为，，所以，，则， 即，（当且仅当时等号成立）所以（当且仅当时等号成立），即的最小值为18．20．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．(1)求函数的解析式；(2)若对于恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)，(2).【分析】（1）先根据函数图象求出的解析，再利用图象变换规律可求出的解析式；（2）由，得，从而可得，然后分，和求解即可.【详解】（1）由的图象可得，，所以，所以，得，所以，因为的图象过，所以，所以，所以，得，因为，所以，所以，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得，所以（2）由，得，所以，所以，所以，当时，恒成立，当时，则由，得，因为函数在上为增函数，所以所以，当，则由，得，因为函数在上为增函数，所以所以，综上，即实数m的取值范围为.21．已知点，是函数图象上的任意两点，函数f(x)的图象关于直线x=对称，且函数f(x)的图象经过点，当时，的最小值为．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)当x∈时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根据给定的条件，结合正弦型函数的图象性质求出周期，进而求出作答.（2）由（1）的结论，利用正弦函数的单调性求解作答.（3）求出函数在给定区间上的取值集合，再分离参数求解作答.【详解】（1）由知，函数在处的函数值一个是最大值，另一个是最小值，又的最小值为，于是得函数的周期T=，即=，则，有，又函数f(x)的图象关于直线对称，因此，而，于是有，所以函数f(x)的解析式是．（2）由（1）知，，由，得，所以函数f(x)的单调递增区间为．（3）当时，，有，则，即有，因此，显然，则当时，取得最大值，从而得，所以实数m的取值范围是.22．已知正实数a，b，c满足．(1)求的最小值；(2)求证：．【答案】(1)3(2)证明见解析【分析】(1) 由，有，与相乘，利用基本不等式求最小值.(2) 要证，利用柯西不等式转化为证明，由，只需证，换元，利用基本不等式可证.【详解】（1）正实数a，b，c满足，由基本不等式，，当且仅当时等号成立.的最小值为3.（2），由柯西不等式，∴要证只需证即证由，，令，∴，得证.∴，当且仅当时等号成立.,