2022-2023学年江西省景德镇一中高二（18班）上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江西省景德镇一中高二（18班）上学期期中考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省景德镇一中高二（18班）上学期期中考试数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式求得集合，根据函数定义域的求法可求得集合，由交集定义可得结果.【详解】由得：，；由得：且，；.故选：C.2．若复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】化简求得，由此判断出对应点所在象限.【详解】，解得，故z在复平面内所对应的点位于第二象限．故选：B3．已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可【详解】若曲线是椭圆，则有： 解得：，且故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件故选：C4．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（    ）A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6【答案】A【分析】利用奇函数的特点，先求得参数，然后根据奇函数特点求值即可【详解】是定义在R上的奇函数则有：解得： 当时，，则故选：A5．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用表示解下n（，）个圆环所需的最少移动次数，若，且，则解下6个环所需的最少移动次数为（    ）A．13 B．15 C．16 D．29【答案】B【分析】根据已知的递推关系求，从而得到正确答案.【详解】∵，，∴，，，，．故选：B.6．已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】与分别先和比较，再与比较即可.【详解】因为，，所以，又，所以，则，则．故．故选：C7．已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则的最小值为（    ）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.【详解】记，因为，所以.故选：D8．甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离（H-H键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离（C-H键长）均相等，任意两个H-C-H键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为，即，若，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理求得，计算出正四面体的高，从而计算出正四面体的体积.【详解】设，则由余弦定理知：，解得，故该正四面体的棱长均为．由正弦定理可知：该正四面体底面外接圆的半径，高．故该正四面体的体积为．故选：A 二、多选题9．有一组样本甲的数据，由这组数据得到新样本乙的数据，其中为不全相等的正实数．下列说法正确的是（    ）A．样本甲的极差一定小于样本乙的极差B．样本甲的方差一定大于样本乙的方差C．若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为D．若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为【答案】ACD【分析】根据甲的极差、平均数、方差、中位数确定乙的相关数据特征，结合各选项的描述判断正误.【详解】为不全相等的正实数，若甲的极差为，平均数为，方差为，则，中位数为，则乙的极差为，平均数为，方差为，中位数为，A：由，故正确.B：由题意可知，，故不正确.C：由上分析知：若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为，正确；D：由上分析知：若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为，正确；故选：ACD10．如图，正方体的棱长为，分别为的中点，则（    ）A．直线与平面垂直B．直线与平面平行C．三棱锥的体积等于D．平面截正方体所得的截面面积为【答案】BD【分析】A选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明；B选项，线线平行证明线面平行；C选项，等体积法求解三棱锥的体积；D选项，找到截面，求出面积.【详解】以点D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，则，显然与不垂直，故直线与平面不垂直，A不正确.因为分别为的中点，所以∥.又平面，所以直线与平面平行，B正确.，C不正确.如图，取的中点，连接，因为为的中点，所以FG∥，则四边形为平面截正方体所得的截面，该四边形的面积为，D正确.故选：BD11．已知函数，则（    ）A．是周期函数 B．有无数个零点C．是奇函数 D．【答案】BC【分析】A不符合三角函数的周期性；B分子为零，分母不可能为零；C奇函数概念判断；D特殊值代入.【详解】对于A：由于 不是周期函数，所以也不是周期函数，故A错误；对于B：由于，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误.故选：BC12．“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为．若点，Q是圆上任意一点，则的取值可能为（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】ABC【分析】结合曼哈顿距离的定义以及三角换元进行分析，由此确定正确选项.【详解】依题意圆，设，当时，，，，，当时，,，，.综上所述，，ABC选项符合，D选项不符合.故选：ABC 三、填空题13．曲线在处的切线方程为______．【答案】【分析】对函数求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出方程即可.【详解】因，当时，，，所以曲线在处的切线方程为.故答案为：14．若，则______．【答案】##-0.536【分析】由利用二倍角公式将式子化简，结合同角基本关系即求．【详解】∵，∴．故答案为：.15．已知双曲线的左焦点为，直线与W的左、右两支分别交于A，B两点，与y轴交于C点，O点是坐标原点．若，则W的离心率为______．【答案】【分析】利用向量关系求出的长度，设双曲线的另一个焦点为,再利用余弦定理求出的值，利用双曲线的定义即可求出离心率.【详解】由题可知，，则，，，解得，故A是CF的中点，则．设W的右焦点为，在△中，由余弦定理知,，解得．由双曲线的定义知，，则W的离心率．故答案为：. 四、双空题16．如图，杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》．它揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．由此可得图中第9行从左到右数第5个数是______，第9行排在奇数位置的所有数字之和为______．【答案】     126     256【分析】根据题意，分析图中杨辉三角的各行数字之间的规律关系，即可得到答案.【详解】由题意得第0行有1个数，为1，第1行有2个数，依次是、,第2行有3个数，依次是、、,‥‥‥则第9行有10个数，其中第5个数为，第9行排在奇数位置的所有数字之和为.故答案为：，. 五、解答题17．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若，求a的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】(1)化成含 的一元二次方程求解；(2)利用余弦定理和基本不等式求最小值.【详解】（1）因为，所以，所以，或（舍去）．又为锐角三角形，所以．（2）因为，当且仅当时，等号成立，所以．故a的最小值为.18．①{2nan}为等差数列，且a1，a3，a2成递减的等比数列;②{（-1）n+1n+an}为等比数列，且4a1，a3，a2成递增的等差数列.从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，　　　　　　.(1)求{an}的通项公式;(2)求{an}的前n项和Sn.【答案】(1)答案见解析.(2)答案见解析.  【分析】选①：（1）由题意列方程组求出 {2nan}的首项和公差，即可得到通项公式，从而求出an=；（2）用错位相减法求和.选②：（1）bn=（-1）n+1n+an，由题意列方程组求出{bn}的首项和公比，即可得到通项公式，从而求出an=2n+（-1）nn.；（2）利用分组求和法求和.【详解】（1）选①：因为{2nan}为等差数列，所以2×22a2=21a1+23a3，即8a2=2+8a3（*）.又a1，a3，a2成等比数列，所以=a1×a2，即=a2（**）由（*）（**）解得或（舍去），    则22a2-21a1=3-2=1， 故{2nan}是以2为首项，1为公差的等差数列，则2nan=n+1，即an=. 选②：令bn=（-1）n+1n+an，即{bn}为等比数列，则=b1b3，即（a2-2）2=2（a3+3）（*）.    又4a1，a3，a2成等差数列，所以2a3=4a1+a2，即2a3=4+a2（**）.由（*）（**）解得或（舍去），则==2，故{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，bn=2n=（-1）n+1n+an，得an=2n+（-1）nn.（2）选①：Sn=++…+，    Sn=++…+，    则Sn=1+（++…+）-    =1+-    =-，    所以Sn=3-.    选②：Sn=（21-1）+（22+2）+…+[2n+（-1）nn]=（21+22+…+2n）+[-1+2-3+…+（-1）nn]    =An+Bn，其中An=21+22+…+2n==2n+1-2，    Bn=-1+2-3+…+（-1）nn.当n为偶数时，Bn=（-1+2）+（-3+4）+…+[-（n-1）+n]=;    当n为奇数时，Bn=Bn+1-（n+1）=-n-1=-.    综上，Sn=An+Bn=19．如图1，已知△ABC是边长为4的正三角形，D，E，F分别是AB，AC，BC边的中点，将△ADE沿DE折起，使点A到达如图2所示的点P的位置，M为DP边的中点．(1)证明：平面MEF．(2)若平面平面BCED，求平面MEF与平面PDE所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，连接DF，DC，设DC与EF交于点，连接MQ，转化为证明；（2）取DE的中点，连接OP，OF，利用垂直关系，以为原点，建立空间直角坐标系，分布求平面MEF与平面PDE的法向量和，利用公式，即可求解.【详解】（1）证明：连接DF，DC，设DC与EF交于点，连接MQ．因为D，E，F分别是AB，AC，BC边的中点，所以且，则四边形DFCE为平行四边形，所以为DC的中点，因为为DP的中点，所以，又因为平面，平面MEF，所以平面MEF（2）取DE的中点，连接OP，OF，则，因为平面平面BCED，平面平面，所以平面BCED，PO，OD，OF两两垂直．如图所示，以为原点，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，．设平面MEF的法向量为，则，即令，得．易知为平面PDE的一个法向量，由，得平面MEF与平面PDE所成锐二面角的余弦值为．20．某夜市街上有“十元套圈”小游戏，游戏规则为每个顾客支付十元便可获得3个套圈，顾客使用套圈所套得的奖品，即归顾客所有．奖品分别摆放在1，2，3三个相互间隔的区域中，且1，2，3三个区域的奖品价值分别为5元，15元，20元，每个套圈只能使用一次，每次至多能套中一个．小张付十元参与这个游戏，假设他每次在1，2，3三个区域套中奖品的概率分别为0.6，0.2，0.1，且每次的结果互不影响．(1)求小张分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率．(2)若分别在1，2，3三个区域各套一次为方案甲，所获奖品的总价值为X元；在2区域连套三次为方案乙，所获奖品的总价值为Y元．以三次所套奖品总价值的数学期望为依据，小张应该选择方案甲还是方案乙？【答案】(1)(2)小张应该选择方案乙 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式代入计算；（2）列出随机变量的分布列，计算方案甲的期望，由二项分布期望公式代入计算方案乙的期望，再比较大小可得.【详解】（1）记该顾客分别在1，2，3三个区域套一次便能套中奖品为事件A，B，C，则，，，，，．    因为每次的结果互不影响，所以该顾客分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率．（2）选择方案甲：X可能的取值为0，5，15，20，25，35，40，             ，，      ，，     ，，，          ．      若小张选择方案乙，设他所获奖品的总件数为Z，则，         ，，，          因为，所以小张应该选择方案乙．【点睛】一般涉及随机变量分布列的计算，需要先判断随机变量的可能取值，再分别计算每个取值对应的概率，从而列出分布列，计算期望，如果是特殊分布，需要区分清楚是超几何分布还是二项分布，代入对应公式求解.21．已知抛物线，，点在上，且不与坐标原点重合，过点作的两条切线，切点分别为，.记直线，，的斜率分别为，，.(1)当时，求的值；(2)当点在上运动时，求的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据代入法，将直线方程与抛物线方程的联立，利用一元二次方程根的判别式和根与系数关系进行求解即可；（2）将直线方程与抛物线方程的联立，利用一元二次方程根的判别式和根与系数关系、基本不等式进行求解即可【详解】（1）因为，所以.设过点并与相切的直线的方程为.联立方程组整理得，则.由题可知，，即方程的两根，故.（2）因为，所以可设过点并与相切的直线的方程为.联立方程组整理得，则.由题可知，，.又，所以.当时，，所以，当且仅当时，等号成立.当时，，所以，当且仅当时，等号成立.故的取值范围为【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根的判别式、基本不等式是解题的关键.22．已知函数．(1)当时，恒成立，求b的值；(2)当，且时，恒成立，求b的取值范围．【答案】(1)1；(2). 【分析】（1）令函数，则恒成立，结合，可得为函数的最小值点，再通过分类讨论可得当时，函数取得最小值，即得；（2）构造函数，由题可知恒成立，利用导函数可证，可得在上单调递增，再利用导数可得恒成立，即求.【详解】（1）当时，令函数，则等价于恒成立，又因为，所以为函数的最小值点，又，当时，，函数单调递增，显然不合题意，当时，令，得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，∴当时，函数取得最小值，∴，解得，即b的值为1．（2）∵等价于，即恒成立．构造函数，则等价于恒成立．因为，所以．令函数，，则．显然是增函数，则，单调递增，所以，故，∴，又恒成立，所以在上单调递增，所以当时，恒成立，即，故b的取值范围是．【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是构造函数，转化为恒成立，进而通过导函数使问题得到解决.