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2022-2023学年湖南省三湘名校教育联盟高一上学期期中联考数学试题（解析版）
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2022-2023学年湖南省三湘名校教育联盟高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．“”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解方程，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】解方程可得，，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.2．已知，集合，则（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】解不等式，得到或，从而得到，，判断出正确答案.【详解】，解得：或，所以或，因为，所以，故A错误，B正确，显然，所以C错误，而，所以D错误．故选：B3．函数的定义域为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由解出即可．【详解】依题意得，解得，所以的定义域为，故选：C．4．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】命题“，使得”是假命题，它的否定为真，等价问题求解即可【详解】命题“，使得”是假命题，等价于“，都有恒成立”是真命题，所以即，故选：D．5．已知函数，则其图象大致是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先利用函数的奇偶性，排除选项，再取特殊值，可得答案.【详解】，是奇函数，排除A、C，当时，，排除D．故选：B.6．已知函数，且，则下列说法正确的是（ ）A． B．C． D．与的大小无法确定【答案】A【分析】利用奇偶性的定义以及单调性的定义，判函数的性质，可得答案.【详解】，为偶函数，即，任意取，令，，则，故函数在上单调递增，由，可得，，，故选：A．7．已知函数的定义域为，当时，，若对，，使得，则正实数的取值范围为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】转化为，结合分段函数和一次函数性质，求解即可.【详解】对，，使得，，当时，，当时，，，由得，又，在上为增函数，，，，的取值范围为故选：C．8．已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为，对所有非空子集，这些和的总和为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先计算出集合的非空子集个数，然后结合新定义计算结果所出现的情况，把结果相加【详解】因为元素，，，，，在集合的所有非空子集中分别出现次，则对的所有非空子集中元素执行乘再求和，则这些和的总和是．故选：B.二、多选题9．下列既是存在量词命题又是真命题的是（ ）A．，B．至少有个，使能同时被和整除C．，D．每个平行四边形都是中心对称图形【答案】AB【分析】AB选项，可举出实例；C选项，根据所有实数的平方非负，得到C为假命题；D选项为全称量词命题，不合要求.【详解】中，当时，满足，所以A是真命题B中，能同时被和整除，所以B是真命题C中，因为所有实数的平方非负，即，所以C是假命题D是全称量词命题，所以不符合题意.故选：AB．10．下列说法正确的是（ ）A．与是同一函数B．奇函数的图象一定过点C．对于任何一个函数，如果因变量的值不同，则自变量的值一定不同D．函数在其定义域内是单调递减函数【答案】AC【分析】A选项，定义域与对应法则均相同，为同一函数；B选项，举出反例；C选项，根据函数的定义做出判断；D选项，的单调减区间为和，故D错误.【详解】与的定义域与对应法则相同，故为同一函数，A正确；奇函数的图象不一定过点，如，故B错误；函数中一个值只能对应一个值，如果值不同，则的值一定不同，故C正确；的单调减区间为和，但不能说在其定义域内单调递减，故D错误．故选：AC11．已知，为正实数，且，，，则（ ）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】BD【分析】根据给定的条件，利用均值不等式逐项计算、判断作答．【详解】依题意，，，，因，则，即，当且仅当时取“”，因此的最小值为，A错误；由，得，，当且仅当时取“”，B正确；因，则，当且仅当时取“”，因此的最小值为4，C错误；由得：，则，当且仅当，即时取“”，D正确．故选：BD12．对于函数，下列判断正确的是（ ）A．B．当时，方程总有实数解C．函数的值域为D．函数的单调递增区间为【答案】AC【分析】A选项，求出，从而得到；B选项，举出反例即可；C选项，，利用基本不等式求出时，结合函数奇偶性得到函数值域；D选项，举出反例.【详解】对于，因为，故所以，所以A正确；对于B，当时，，，，无解，所以B错误；当时，，其中由基本不等式得，当且仅当，时，等号成立，所以，又由A选项可知为奇函数，故当时，，所以函数的值域为，C正确；∵，在上不可能单调递增，所以D错误.故选：AC．三、填空题13．集合的真子集的个数是__________．【答案】7【分析】．先根据题意写出集合的具体元素，再利将其真子集的个数给求出来即可.【详解】因为，则的元素个数为，故A有个真子集．故答案为：.14．已知幂函数的图象过点，且当时，恒有，则实数的取值范围为__________．【答案】【分析】根据幂函数的定义，代入已知点，建立方程，解得函数解析式，结合其单调性，解决不等式恒成立问题，可得答案.【详解】因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以，所以在上恒成立，只需，易知在上单调递减，所以，所以所以实数的取值范围为故答案为：.15．已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为__________．【答案】【分析】转化化二次函数零点分布问题，数形结合得到不等式组，求出的取值范围.【详解】令，根据题意得，由①得：，由②得：，由③得：，求交集得：故的取值范围为.故答案为：16．定义在上的奇函数满足，且函数在上单调递减，则不等式的解集为__________．【答案】【分析】由为奇函数，然后说明为奇函数，又在上单调递减，由奇函数性质可知在整个实数上单调递减，构造不等式，利用单调性解之即可．【详解】因为为上的奇函数，所以，由，则，所以也为奇函数，又函数在上单调递减，由对称性可知，在上递减，又因为，所以所以，即，所以，故答案为：．四、解答题17．求下列函数的解析式：(1)已知是一次函数，且满足：(2)已知函数满足：．【答案】(1)(2)或【分析】（1）设出一次函数解析式，化简后得到方程组，求出的值，确定解析式；（2）换元法求解函数解析式，注意定义域.【详解】（1）令，依题意，即，，故解得：，所以（2）令，由对勾函数可知或，依题意故，所以或．18．已知集合，(1)当时，求，(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】(1)将代入，根据交集、并集的定义求解即可；(2)由题意可得集合是集合的真子集，又因为，列出不等式组，求解即可.【详解】（1）解：当时，,因为,所以,；（2）解：因为是成立的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，因为，所以恒成立，所以集合，所以解得，故实数的取值范围为19．已知函数．(1)当时，求的值(2)解关于的不等式．【答案】(1)55(2)答案见解析【分析】（1）先得到，计算得到，；（2）由，得到，根据与的大小，分三种情况，求解不等式的解集.【详解】（1）当时，，故，；（2）依题意，则，，当时，无解；当时，，解集为当时，，解集为；综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．20．国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间单位：小时满足，经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为人，当，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与成正比，且时间为点时，候车人数为人，记候车厅候车人数为．(1)求的表达式，并求当天中午点时，候车厅候车人数(2)铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为，则当为何值时需要提供的免费面包数量最少.【答案】(1)，人(2)【分析】（1）由题意，设出函数，建立方程，解得函数解析式，则求得函数值，可得答案；（2）由（1）的函数解析式，分段整理函数解析式，求得最值，比较可得答案.【详解】（1）当时，设，，则，，故当天中午点时，候车厅候车人数为人.（2）当，，当且仅当时等号成立；当时，．又，所以当时，需要提供的面包数量最少．21．已知幂函数在上单调递增，函数．(1)求的值(2)当时，记，的值域分别为集合A，，设，，若是成立的必要条件，求实数的取值范围(3)设，且在上的最小值为，求实数的值．【答案】(1)-2(2)(3)或．【分析】（1）由幂函数的定义得到，求出或，结合函数在上单调递增，去掉不合要求的解；（2）在第一问基础上求出，根据单调递增，得到，由是成立的必要条件得到，从而比较端点得到不等式组，求出实数的取值范围；（3）得到，的对称轴为，根据对称轴的位置分三种情况，得到相应的函数最小值，列出方程，求出实数的值.【详解】（1）由幂函数的定义得，解得：或，当时，在上单调递增，符合题意当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去．综上可知：；（2）由（1）得，当时，，即；当时，因为单调递增，故，即，由命题是成立的必要条件，则，显然，则，解得：，所以实数的取值范围为；（3）根据题意得，的对称轴为，当，即时，在上单调递增，，解得：（舍去），或，当时，即，，解得：或（舍去），当，即时，，解得：（舍去），综上所述，或．22．定义在上的函数满足对任意的，，都有，且当时，．(1)证明：函数是奇函数(2)证明：在上是增函数(3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）令可得，再令，结合奇函数定义，即可证明；（2）设任意，且，作差，结合题干条件可证明，再结合奇函数性质，即可得证；（3）可转化为即，列出不等式组，控制条件，求解即可.【详解】（1）证明：令，得，，令，，，所以函数是奇函数（2）证明：设任意，且，，且当时，，，，得，，在上单调递增，根据奇函数的性质可知在上也单调递增，综上，在上是增函数（3）由题意，对任意，恒成立，即，由（1），（2）得当时，，对任意恒成立，设是关于的一次函数，，要使恒成立，即,解得或，所以实数的取值范围是
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