2023届广西南宁市第十九中学高三数学（文）信息卷（三）试题（解析版）

这是一份2023届广西南宁市第十九中学高三数学（文）信息卷（三）试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出集合，根据交集定义计算．
【详解】集合，．
故选B．
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题．
2．等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质求解作答.
【详解】在等差数列中，，
故选：C
3．“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】解对数不等式，再利用集合间的包含关系进行判断.
【详解】因为，
集合为集合的真子集，
所以推出，反之不成立，
所以“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断、对数不等式求解，考查运算求解能力，求解时注意将问题转化成集合间的基本关系，属于基础题.
4．已知正实数 满足，则的是小值为（ ）
A．5B．C．4D．3
【答案】A
【分析】利用，将化为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意知正实数 满足，则，
而，当且仅当即时取等号，
故的是小值为5，
故选：A.
5．下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】对于A，利用完全平方公式即可判断；
对于BD，举反例即可排除；
对于C，利用幂函数的单调性与指数函数的值域即可判断.
【详解】对于A，因为，，
而，所以，则，故A错误；
对于B，令，则，，，即，故B错误；
对于C，因为，所以，故幂函数在上单调递减，所以，
因为指数函数，恒成立，所以上述不等式两边同时乘以，得，故C正确；
对于D，令，则，但，故D错误.
故选：C.
6．函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】变换后得到，故，解得答案.
【详解】的图象向左平移个单位长度后得到，
图象关于轴对称，故，即，，
当时，取最小值是.
故选：C
7．数列满足，则满足的的最小值为（ ）
A．16B．15C．14D．13
【答案】A
【分析】分类讨论当时得到，当时得到，从而利用等比数列的前项和公式求得，进而得到，解之即可.
【详解】因为当时，，，
所以，
当时，，
所以当时，是以，的等比数列，故，
所以，
故，即，
因为，，所以，即，
所以的最小值为.
故选：A.
8．若，满足不等式组，则的最大值和最小值之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】画出不等式组表示的可行域，由，得，作出直线，然后向下平移，过点时，目标函数取得最大值，再向下平移，过点时，目标函数取得最小值，然后求出点的坐标，代入目标函数中可求得结果.
【详解】不等式组表示的可行域如图所示
由，得，作出直线，然后向下平移，过点时，目标函数取得最大值，
再向下平移，过点时，目标函数取得最小值，
由，得，即，
所以的最大值为，
由，得，即，
所以的最小值为，
所以的最大值和最小值之和为，
故选：A.
9．的外心满足，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】从这个条件可以考虑设的中点为，从而得到三点共线可求.
【详解】设的中点为，则可化为
即为， 三点共线且，为等腰三角形，
由垂径定理得，代入数据得,
解之：，.
故选：B.
10．已知函数，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用一元二次方程根的分布求得关于实数的不等式组，再利用不等式的性质即可求得的取值范围
【详解】由函数中，，，
可知一元二次方程有二相异根，分别位于区间和内
则，即，即
由，可得，
则，即
由，可得
则，则
综上，的取值范围为
故选：B
11．数列的前项和，则数列中的最大项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据与的关系，可得到.进而求出，通过求解，解出正整数，即可求得数列中的最大为.
【详解】当时，.
当时，由已知得，，，
则.
当时，，满足.
所以，.
设，则.
设数列中的第项最大，则应满足，即，整理可得
解得，又，所以，，
又.
所以，数列中的最大项为.
故选：C.
12．已知函数（，且）在上单调递增，且关于的方程恰有两个不等的实数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据分段函数的单调性求出，方程有两根可转化为函数图象有两个不同的交点，作出函数图象，利用图象数形结合即可求解.
【详解】由在上递增，得，
又由在上单调递增，则，解得
如图所示，在同一坐标系中作出函数和的图象，
当时，由图象可知，上，有且仅有一个解，在上同样有且仅有一个解.
当时，直线与相切时有一个交点，
由（其中），
得：，
则，
解得或
此时切点横坐标分别为与矛盾，
故或不符合题意,
综上所述.
【点睛】本题主要考查了函数方程与函数的零点，分类讨论思想，数形结合的思想，属于难题.
二、填空题
13．设向量，，若，则实数的值为______.
【答案】
【分析】根据向量垂直知其数量积为0,根据坐标计算即可.
【详解】∵，
,
∴，
∴.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的条件，属于中档题.
14．数列满足，，则___________.
【答案】
【分析】由题可得，进而可得的偶数项构成等差数列，然后根据通项公式即得.
【详解】因为，，
所以，，
由，可得，
所以，
所以的偶数项构成等差数列，首项为，公差为，
∴.
故答案为：.
15．已知定义在上的可导函数满足，不等式的解集为则= __________.
【答案】3
【分析】构造函数，可得函数单调递减，可得，进而即得.
【详解】令，则，
由，可得，
又不等式的解集为
，
∴，
.
故答案为：3.
16．数列中，，，已知，则___________.
【答案】
【分析】根据，可得，两式相减可得：，进而得到数列中奇数项和偶数项的通项公式，再进一步求出结果即可.
【详解】因为，所以，
两式相减可得：，
所以数列中奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列，
因为，由可得：，
所以，，
因为，所以，
故答案为：.
三、解答题
17．已知数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用求得数列的通项公式.
（2）利用分组求和法求得数列的前项和.
【详解】（1）当时，；
当时，，当时，上式也符合.
故数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，记数列的前项和为，
则．
记，
则，
．
故数列的前项和．
18．在中，内角，，所对的边分别为､､，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理得到，再利用正弦定理得到，计算得到答案.
（2）根据余弦定理计算得到，再利用面积公式计算即可.
【详解】（1），即，
根据正弦定理：，
，，故，，故.
（2），即，或（舍去）
19．数列满足，（为正常数），且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得奇数项成等差数列，设公差为d，且偶数项成等比数列，公比为，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差d和公比q，即可得到所求通项公式；
（2）讨论n为偶数和奇数，由等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和.
【详解】（1）数列满足,，
可得成等差数列，即奇数项成等差数列,设公差为,
且偶数项成等比数列,公比为,且，，,
可得,,
解得,
则,化为
（2）当为偶数时,
数列的前项和


当为奇数时,
当时也适合上式.
综上:
20．某工厂预算用56万元购买单价为5千元（每吨）的原材料和2千元（每吨）的原材料，希望使两种原材料的总数量（吨）尽可能的多，但的吨数不少于的吨数，且不多于的吨数的倍，设买原材料吨，买原材料吨，按题意列出约束条件､画出可行域，并求､两种原材料各买多少才合适.
【答案】答案见解析.
【分析】根据题意，列出不等式组，在平面直角坐标系内画出可行解域，通过平移的方法进行求解即可.
【详解】由题意可知：，可行解域如下图所示：
设，平移直线，当经过点时，有最大值，
由，所以当，时，满足题意，
即､两种原材料各买吨、吨才合适.
21．已知函数.
(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1).
(2)答案见解析.
【分析】（1）当时，将恒成立，化为恒成立，由此可构造函，利用导数判断其单调性，将不等式恒成立问题转化为函数的最值或值域问题；
（2）求出函数的导数，分类讨论a的取值，确定导数的正负，即可判断函数的单调性.
【详解】（1）当时，恒成立，即恒成立，即恒成立，
令 ，则 ，
∴在上单调递增，
故，故，即实数a的取值范围为.
（2）由题意得，
当时，，由得，由得，
故此时在上递增，在上递减；
当时，由得或 ，
当 时，恒成立，仅在时取等号，∴在R上单调递增；
当 时，，
由，得 或 ；由，得 ，
∴在 上单调递增；在上单调递减；
当 时， ，
由，得 或 ,由，得 ，
∴在上单调递增,在上单调递减；
综上所述︰当时，在上递增，在上递减；
当 时，在R上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；在上单调递减；
当 时，在上单调递增，在上单调递减.
【点睛】方法点睛：第二问讨论函数的单调性，求出函数导数后，要根据参数a的取值情况，确定导数的正负情况，因此根据的根的情况，对a分类讨论，则可解决问题.
22．函数满足，，且与直线相切.
(1)求实数，，的值；
(2)已知各项均为正数的数列的前项和为，且点在函数的图象上，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据已知条件，可推得，又已知切线方程，设出切点，根据导函数即可解得的值；
（2）由已知可得，，进而可推得是等差数列，求出，.则原不等式可转化为，对是奇数以及偶数进行讨论，即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）因为，，
，
又，，
所以有，解得，所以，.
因为函数与直线相切，设切点为，
则，，
即，解得，所以，，，，
所以.
（2）由（1）知，，即.
当时，，解得或（舍去）；
当时，有，，
所以有，整理可得，
因为，所以，即.
所以，是以为首项，1为公差的等差数列.
所以，，.
则不等式对于任意恒成立，可转化为
，
即对于任意恒成立.
①当为偶数时，即有恒成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立，此时有；
②当为奇数时，即有恒成立，
令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
又，，
所以当为奇数时，最小值为.
所以，，即有.
综上所述，.
【点睛】在求解数列不等式恒成立时，常采用分离参数转变为求最值的方法，然后结合不等式或者构造函数求导得到数列的单调性，进而得到最值.本题将分离后，转化为对于任意恒成立.考虑到的正负问题，对分为奇数和偶数讨论，然后结合基本不等式以及构造函数求导得到的单调性，进而得到最值，最终求得的取值范围.