2022-2023学年河南省洛阳市孟津区高三下学期开学考试数学试题（word版）

洛阳市孟津区2022-2023学年高三下学期开学考试

数学试题

一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2、已知，则“”是“”的(   )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

3、在同一平面直角坐标系中，函数，的图象可能是(   )

A. B.

C. D.

4、如果函数在区间D上是增函数，而函数在区间D上是减函数，那么称函数是区间D上的“缓增函数”，区间D称为“缓增区间”.若函数是区间D上的“缓增函数”，则“缓增区间”为(   )

A. B. C. D.

5、函数的零点所在区间为(   )

A. B. C. D.

6、已知函数是奇函数且其图象在点处的切线方程为，设函数，则的图象在点处的切线方程为(   ).

A. B. C. D.

7、已知向量a，b满足，，，则(   )

A. B. C. D.

8、在等差数列中,若,且它的前n项和有最小值,则当时,n的最小值为(   )

A.14 B.15 C.16 D.17

9、已知关于x的方程的两个实数根，满足，则实数m的取值范围为(   )

A. B. C. D.

10、在直三棱柱中，，，，E，F为线段的三等分点，点D在线段EF上（包括端点）运动，则二面角的正弦值的取值范围为(   )

A. B. C. D.

11、已知双曲线，直线与T交于A，B两点，直线与T交于C，D两点，四边形ABCD的两条对角线交于点E，，则双曲线T的离心率为(   )

A. B. C.2 D.4

12、某地区居民的肝癌发病率为0.1%，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的.已知患有肝癌的人其化验结果99.9%呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果0.1%呈阳性，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是(   )

A.0.999 B.0.9 C.0.5 D.0.1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、曲线在点处的切线方程为______________.

14、已知正数x，y，z满足，且，则的取值范围是__________.

15、某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为15元，被随机分配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲、乙、丙、丁4人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲､乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率为________.

16、已知复数满足(i为虚数单位)，复数的虚部为2，且是实数，则__________.

三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、已知中,内角所对的边分别为,且.

(1)求角B;

(2)若________,求的面积.

请在①sin;②;③这三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解答.

18、已知数列为正项等比数列，，数列满足，.

（1）求；

（2）求的前n项和.

19、在四棱锥中，底面ABCD，，，，.

（1）证明：；

（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.

20、已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为2.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)已知过点的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且的外接圆圆心Q在y轴上，求满足条件的所有直线l的方程.

21、某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间相互独立，且都是整分钟数，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

用频率估计概率，且从第一个顾客开始办理业务时计时.
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（2）用X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望.

22、已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若对任意的恒成立，求整数k的最大值.

参考答案

1、答案：B

2、答案：A

3、答案：D

4、答案：D

5、答案：B

7、答案：D

8、答案：C

9、答案：D

10、答案：C

11、答案：A

12、答案：C

13、答案：

14、答案：

15、答案：

16、答案：

17、答案：(1)

(2)见解析

解析：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换.

(1)依题意,得.

由正弦定理,又因为,所以,故.

因为,所以,

.

(2)若选①:

依题意,得,

由正弦定理得,

所以,

又因为,所以,

又,所以为等边三角形,

故的面积.

若选②:

,

解得.

因为,所以

又,所以为等边三角形,

故的面积.

若选③:

由,

解得,

由正弦定理,得,解得,

而,

故的面积.

18、答案：（1）

（2）

解析：（1）令，得，所以.

令，得，所以，又，所以.

设数列的公比为q，则，所以.

（2）当时，，①

又，②

所以②-①得，得，时也成立，所以.

，

所以

.

19、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：解：（1）如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则.

又，所以四边形DCBO为平行四边形.
又，
所以四边形DCBO为菱形，所以.
同理可得，四边形DCOA为菱形，所以，
所以.
因为底面ABCD，底面ABCD，所以，
又，平面ADP，所以平面ADP.
因为平面ADP，所以.

（2）由（1）知，又，所以，
所以三角形ADO为正三角形.
过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
 

则，，，.
则，，.
设平面PAB的法向量为，
则.
令，则，，所以.
设直线PD与平面PAB所成的角为，
则，
所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为.

20、答案：(1).

(2).

解析：(1)由在双曲线C上，得①，

由TP垂直x轴于点P，得，

则由P到双曲线C的渐近线的距离为2，得，

得，

代入①，得，即，从而，

故双曲线C的标准方程为.

(2)解法一：由题意，，可设直线，则，

联立得，得，

设，则，

从而，

则线段AB的中点，

且.

由题意设，

易知Q在线段AB的垂直平分线上，因此，

得，即，

连接QP，QA，QM，因此.

由勾股定理可得，，

又，则，

化简得，得(舍去)，

因此直线l的方程为.

解法二：由题意，，可设直线，则，

联立得，得，

设，则.

由题意设，

则有，

将代入，可得，

则为方程的两根，

故，从而，解得，

因此直线l的方程为.

21、答案：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列为

（1）记“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”为事件A，则事件A对应三种情形:
①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；
②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；
③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.
所以.
（2）X的可能取值为0,1,2.
对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,
所以；
对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,
所以；
对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，
所以.
所以X的分布列为

所以.

解析：

22、答案：（1）的单调递减区间为，，无单调递增区间

（2）3

解析：（1）的定义域为.

当时，.

令，则.

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

，，，

的单调递减区间为，，无单调递增区间.

（2）由对任意的恒成立，得，即.

令，，则，

令，，则，

在上单调递增，

又，，

存在唯一，使得，

即，，

当x变化时，，的变化情况如下表所示：

，

整数k的最大值为3.