2022-2023学年天津外国语大学附属外国语学校高二上学期期末线上质量监测数学试题（解析版）

天津外大附校2022~2023学年度第一学期高二年级期末线上质量监测数学试卷

本试卷共150分，用时120分钟.

一、选择题（共18小题，每小题5分，共90分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的.）

1. 双曲线的离心率为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定的双曲线方程，直接求出离心率作答.

【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，因此半焦距，

所以双曲线的离心率.

故选：D

2. 抛物线的准线方程为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由抛物线标准方程求准线方程，注意焦点所在位置．

【详解】由题意可知：抛物线的焦点在x轴正半轴，且，即，

故抛物线的准线方程为.

故选：B.

3. 若数列中，，，.则（）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】A

【解析】

【分析】根据递推公式赋值运算求解.

【详解】当时，则，

当时，则.

故选：A.

4. 直线l：被圆O：截得的弦长为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线与圆相交的弦长公式计算.

【详解】圆O：的圆心，半径，

则圆心到直线l：的距离，

∴弦长为.

故选：A.

5. 已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，且，，，则（）

A. 7 B. 4 C. 1 D. –2

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式可求，进而可求结果.

【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由题意可得：，则，即，解得或（舍去），

故.

故选：C.

6. 如图，在三棱锥中，底面，，，，D为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】建系，利用空间向量解决异面直线夹角的问题.

【详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则,

∵，则，

∴异面直线与所成角的余弦值为.

故选：D.

7. 设是等差数列的前n项和，若，则的值是（）

A. 10 B. 20 C. 30 D. 60

【答案】B

【解析】

【分析】根据等差数列的求和公式结合等差数列的下标和性质运算求解.

【详解】由题意可得：，则.

故选：B.

8. 已知双曲线（，）的一条渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】求出双曲线渐近线的方程，再利用圆的切线性质列式并求出离心率作答.

【详解】双曲线的渐近线方程为：，即，双曲线半焦距为c，

而圆的圆心为，半径为1，依题意，，即有，，

所以该双曲线的离心率.

故选：C

9. 已知抛物线C：的焦点为F，点P在抛物线上，，则点P的横坐标为（）

A. 5 B. 8 C. 4 D. 6

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求解作答.

【详解】抛物线C：的焦点，准线，令点P的横坐标为，

由抛物线定义得，解得，

所以点P的横坐标为6.

故选：D

10. 已知数列满足，则数列的前2023项之和为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用裂项相消法求解作答.

【详解】数列中，，则，

数列的前n项和，

所以数列的前2023项之和.

故选：A

11. 如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

则，

，

设平面的法向量，

则，可取，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

故选：C.

12. 如图，在直三棱柱中，，，，点D是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】建系，求两平面的法向量，利用空间向量解决面面夹角问题.

【详解】如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，则，

设平面的法向量，

∵，则，

令，则，

∴，

同理可得：平面的法向量，

故，

设平面与平面所成角为，则，

故平面与平面所成角的正弦值.

故选：B.

13. 已知等比数列的前n项和为，若，则的公比（）

A.  B.  C. 或1 D. 或1

【答案】B

【解析】

【分析】根据等比数列的前n项和公式运算求解，注意讨论公比是否为1.

【详解】当时，则，不合题意，舍去；
 

当时，则，解得；

综上所述：.

故选：B.

14. 已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

分析】根据给定条件，利用分组求和法，结合等差数列、等比数列求和公式计算作答.

【详解】数列的通项公式为：，数列的前n项和为，

则有，

所以数列的前100项之和.

故选：A

15. 已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用错位相减法求和作答.

【详解】令数列的前n项和为，因为，

则，

则有

两式相减得：，

因此，有，

所以数列的前100项之和为.

故选：B

16. 已知双曲线H：（），以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（）

A B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，求出双曲线在第一三象限的渐近线倾斜角正切，再结合四边形面积求解作答.

【详解】双曲线H：的渐近线方程为：，令直线的倾斜角为，则，

由对称性不妨令点分别在第一、四象限，坐标原点为O，则，

于是得，而双曲线的虚半轴长为3，

即，显然四边形为矩形，其面积，解得

所以双曲线的方程为.

故选：B

17. 过抛物线C：（）的焦点F的直线l与抛物线C交于两点A，B，若，则直线l的斜率（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，设出直线l的方程，与抛物线方程联立，借助韦达定理及向量关系求解作答.

【详解】抛物线C：的焦点，显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为，

由消去x并整理得：，设，则，

，由得：，而，

则有，因此，解得，则，

所以直线l的斜率.

故选：A

18. 已知数列的通项公式为：，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则实数c的取值范围是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可得数列为递增数列，讨论n的奇偶性结合恒成立问题分析求解.

【详解】∵，

∴数列为递增数列，

若对任意的正整数n，不等式恒成立，则有：

当为奇数时，则，故，即；

当为偶数时，则，故，即；

综上所述：实数c的取值范围是.

故选：B.

二、填空题

19. 已知抛物线（）的焦点坐标为，则p的值为____________.

【答案】8

【解析】

【分析】根据抛物线的焦点即可得解.

【详解】解：因为抛物线（）的焦点坐标为，

所以，即.

故答案为：.

20. 已知等差数列的前5项和，则____________．

【答案】11

【解析】

【分析】由等差数列的性质求解，

【详解】由题意得，得，

故，，则，

故答案为：11

21. 设双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线的右支上，则________.

【答案】

【解析】

【分析】根据双曲线的定义与方程运算求解.

【详解】由题意可得：，

∵点P在双曲线的右支上，则，

∴.

故答案为：.

22. 已知过抛物线C：的焦点F且与x轴垂直的直线与抛物线交于A、B两点，则________.

【答案】8

【解析】

【分析】根据给定条件，求出直接AB的方程，即可计算作答.

【详解】抛物线C：的焦点，则直线，

由得：，

所以.

故答案为：8

23. 已知数列的通项公式为：，，前n项和为，则___________.

【答案】800

【解析】

【分析】利用并项求和法求解即可.

【详解】解：由，

得

.

故答案为：800.

24. 已知互不相同的三点M、N、P均在双曲线H：上，，，垂足为D，点O为坐标原点，若，则的最大值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】先利用和双曲线方程求出坐标，由于双曲线的对称线，取，接着讨论直线斜率不存在和存在时，利用韦达定理，结合向量的数量积，推出、的关系，说明直线过点，即可得到点的轨迹方程为，故设，利用数量积，辅助角公式和三角函数性质即可得到答案

【详解】设，因为，故，所以①，

因为在双曲线上，所以②，

由①②可得，由于双曲线的对称性，不妨设，

①直线斜率不存在时，

可设，，

，

，，

又，，

，解得，，

，为垂足，，

②直线斜率存在时，设直线，

整理得，

设，，，，则，，

因为，所以，

得，

所以，

得，即，

当即时，直线过定点，不符合题意；

当即时，直线过定点，

综上，点在以为直径的圆上，，线段的中点为，

所以点的轨迹方程为，

故可设的坐标为，

所以（其中）

所以当时，取得最大值

故答案为：

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

三、解答题（共2题，共30分.）

25. 设椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知.

（1）求椭圆的离心率e；

（2）设直线与椭圆有唯一公共点M（M在第一象限中），与轴交于N，，其中O为坐标原点.

（i）求直线的斜率；

（ii）若，求椭圆的方程.

【答案】（1）

（2）（i）（ii）

【解析】

【分析】（1）根据题意结合椭圆的性质运算求解；（2）先证椭圆在点处的切线为.（i）设点M及直线，根据题意列式运算求，进而可得斜率；（ii）根据题意结合（i）中的坐标求，即可得方程.

【小问1详解】

由题意可得：，则，

∵，则，解得，

∴，

故椭圆的离心率.

【小问2详解】

先证：椭圆在点处的切线为.

证明：∵点在椭圆上，则，即，

∴点在直线上，

联立方程，消去得，

∴，即方程组只有一个解，

故椭圆在点处的切线为.

（i）设点，则直线为，故，

∵，则，

∴，

由题意可得，解得，

故直线：的斜率.

（ii）由（i）可得：，

∵，解得，

∴，

故椭圆方程为.

26. 已知是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，，且，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和；

（3）设，，证明：.

【答案】（1）；

（2）；

（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，利用等差中项列式求出公比q，再求出通项公式作答.

（2）由（1）的结论求出，再利用等比数列前n项和公式、裂项相消法分组求和作答.

（2）求出，验证当时不等式成立，当时，证得，再利用放缩的方法结合裂项相消法求和推理作答.

【小问1详解】

设正项等比数列的公比为，因为，，成等差数列，

则，即有，

即，因此，，而，解得，又，

所以数列的通项公式是.

小问2详解】

由（1）知，，当时，，

当时，

，

，

所以数列的前项和.

【小问3详解】

由（1）知，，则，有，，，

当时，，当时，，当时，，

即当时，不等式成立，

当时，

，

则，

，

综上得：，.

【点睛】易错点睛：裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．