初中数学中考复习 第04讲 几何初步、相交线、平行线（知识点梳理）（记诵版）-【学霸计划】2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

第04讲  几何初步、相交线、平行线知识点梳理

考点01 几何图形

一、几何图形

（一）几何图形的概念和分类

1.定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形；

2.几何图形的分类：立体图形和平面图形。

（1）立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，例如：长方体、圆柱、圆锥、球等。立体图形按形状可分为：球、柱体（圆柱、棱柱）、椎体（圆锥、棱锥）、台体（圆台、棱台）；按围成立体图形的面是平面或曲面可以分为：多面体（有平面围成的立体图形）、曲面体（围成立体图形中的面中有曲面）。

（2）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、圆、四边形等）的各部分都在同一平面内，称为平面图形；常见的平面图形有圆和多边形（三角形、四边形、五边形、六边形等）。

（二）从不同方向看立体图形：从正面看：正视图；从左面看：侧视图；从上面看：俯视图。

（三）立体图形的展开图：

1.有些立体图形是由一些平面图形围成，把他们的表面沿着边剪开，可以展开形成平面图形。

2.立体图形的展开图的注意事项：

（1）不是所有的立体图形都可以展开形成平面图形，例如：球不能展开形成平面图形；

（2）不同的立体图形可展开形成不同的平面图形，同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图形。

（四）正方体的平面展开图

正方体的展开图由6个小正方形组成，把正方体各种展开图分类如下：

二、点、线、面、体

1.体：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球、棱锥、棱柱等都是几何体，几何体也简称体。

2.面：包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种；

3.线：面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；

4.点：线和线相交的地方形成点。

5.所有的几何图形都是由点、线、面、体组成的，从运动的角度来看，点动成线，线动成面，面动成体。

考点02  直线、射线、线段

一、直线

1.直线的表示方法：

（1）可以用直线上表示两个点的大写英文字母表示，可表示为直线AB或直线BA；

（2）也可以用一个小写英文字母表示，例如直线m等；

2.直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有1条直线；简称：两点确定一条直线。

3.直线的特征：

（1）直线没有长短，向两方无限延伸；

（2）直线没有粗细；

（3）两条直线相交有唯一一个公共点；

4.点与直线的位置关系：

（1）点在直线上，例如点A在直线l上，也可以说是直线l经过点A；

（2）点在直线外，例如点A在直线l上，也可以说成是直线l不经过点A；

二、线段

1.线段的概念：直线上两点和他们之间的部分叫作线段，这两点叫作线段的端点。

2.线段的表示方法：

（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示（字母是无序的）；

（2）线段也可以用一个小写英文字母来表示，例如线段n；

3.线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短，简称：两点之间，线段最短。

4.两点的距离：连接两点的线段的长度叫作这两点的距离。

5.线段的特点：线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短。

6.线段长短的比较方法：

（1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短；

（2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短；

7.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫作这条线段的中点。

三、射线

1.射线的概念：直线上一点和它一旁的部分叫作射线，这个点叫射线的端点。

2.射线的特征：射线是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长。

四、直线、射线、线段的区别与联系

1.联系：线段向一方无限延长是射线，向两端无限延伸是直线。射线和线段是直线的一部分。

2.区别：直线可以向两边无限延伸，射线只向一方无限延伸，线段不能延伸；直线、射线不可度量，线段可以度量。

考点03  角

一、角的概念

1.角的概念：有公共端点的两条直线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。或者一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形叫作角。射线旋转时的起始位置叫作始边，终止位置叫作终边，射线旋转时经过的平面部分是角的内部。

2.注意：两条射线有公共端点，端点是角的顶点；角的边是射线；角的大小与所画出的角的两边的长短无关。

3.平角与周角：当角的两边在一条直线上时，叫作平角，当始边与终边重合时，所形成的角叫作周角。

4.角的表示：角的几何符号用“”表示，表示法通常有以下几种类型：

5.角的画法：

（1）利用三角板除了可以作出30°，45°，60°，90°的角外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角，他们都是15°角的整数倍；

（2）用量角器可以画出任意给定度数的角；

（3）利用尺规作图可以画出一个角等于已知角。

二、角的度量

1.度量仪器：量角器；

2.用量角器两角和画角的一般步骤：

（1）角的顶点与量角器的中心对齐；

（2）一边与刻度尺上的零度线重合；

（3）读出另一边所在线的度数。

3.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制。

（1）把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记作1°；

（2）1°的为1分，记作；

（3）的为1秒，记作；

（4）1周角=360°，1平角=180°，1°=，=

4.度、分、秒之间的转换方法：

（1）角度的换算关系是六十进制，类似于时间单位的换算；

（2）角的度数的换算有两种方式：一是由度化成分、秒的形式，即由高单位化成低单位，每次换算需要乘以60；二是由秒化成分，由分化成度，即由低单位换算成高单位，每次换算需要除以60。

5.角的比较：

（1）度量比较法：先用量角器量出角的度数，然后比较他们的大小；

（2）叠合比较法：把其中一个角移到另一个角上作比较；

6.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的平分线。

7.余角、补角

（1）余角：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角；

（2）补角：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角；

（3）互余的性质：同角或等角的余角相等；

（4）互补的性质：同角或等角的补角相等；

（5）一个锐角的余角可表示为（）；一个角的补角可以表示为（），显然，一个锐角的补角比它的余角大90°。

8.方位角：

（1）正东、正西、正南、正北4个方向不需要用角度表示；

（2）方位角以南北方向作为基准，先写南或北，在写偏东或偏西；

（3）在同一问题中，观察点可能不止一个，在不同的观测点，都要画出十字架表示方位；

9.钟表上有关夹角的问题：钟表中有12个大格，把周角12等分，每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时旋转30°，时针1分钟旋转0.5°。

考点04  相交线与平行线

一、相交线

1.相交线的概念：有唯一公共点的两条直线叫作相交线。

2.对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角互为对顶角。对顶角成对出现， 两条直线相交所构成的四个角中，有2对对顶角。

3.对顶角的特征：

（1）两个角有公共顶点；

（2）两个角的边互为反向延长线；

4.邻补角：如果两个角有一条公共边，并且他们的另一边互为反向延长线，这两个角称为互为邻补角。

邻补角是成对出现的，而且是互为邻补角。

5.邻补角满足的条件：

（1）有公共顶点；

（2）有一条公共边，另一边互为反向延长线；

6.邻补角和补角的区别：邻补角是具有特殊位置关系的两个角，是两角互补的特殊情况，补角主要从数量关系上来看两个角的，而邻补角不仅从数量关系上满足两角之和为180°，还必须具备位置上的关系；如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定互为补角；如果两个角互为补角，这两个角不一定互为邻补角；一个角的补角可以画出很多个，但邻补角只有两个。

二、垂线

1.垂线的概念：两条直线相交形成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直；例如直线AB垂直于直线CD，可写成：；其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点称为垂足。

2.垂线的性质：平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

3.垂线段：过直线外一点作这条直线的垂线，这个点与垂足之间的线段叫作垂线段。

4.垂线段的性质：在连接直线外一点与直线上各点的线段中垂线段最短，简称：垂线段最短。

5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。

6.垂线的画法：用量角器画垂线：

①经过直线上一点画已知直线的垂线：先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器底边的中心点与直线上已知点重合，再在量角器90°所对的位置处标出一点，拿走量角器，连接即可。

②经过直线外一点画已知直线的垂线：先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器90°的垂线经过直线外的该点，再在量角器90°所对的位置出标出一点，连接这两点即可。

三、同位角、内错角、同旁内角

1.像与这样位于两条被截直线的同侧，且位于截线的同旁的两个角叫作同位角。

2.像与这样位于两条被截直线的两侧，且位于截线的两旁的两个角叫作内错角。

3.像与这样位于两条被截直线的内侧，且位于截线的同旁的两个角叫作同旁内角。

4.对三线八角的理解：

（1）同位角：位置相同即2个角都在截线的同旁和被截线的同方向，即同上或同下，同左或同右；

（2）内错角夹在被截直线之内和位于截线两旁；

（3）同旁内角则夹在被截两直线之内和截线同旁；

四、平行线

1.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。

2.平行公理及其推论：

（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；

（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。（即：）

3.判断同一平面内两条直线的位置关系：

（1）有且只有一个公共点，两直线相交；

（2）无公共点，两直线平行；

（3）有两个及以上公共点，则两直线重合。

考点05  平行线的判定与性质

一、平行线的判定

1. 判定方法1：两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；即同位角相等，两直线平行。
2. 判定方法2：两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；即内错角相等，两直线平行。

3.判定方法3：两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；即同旁内角互补，两直线平行。

二、平行线的性质

1.性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；即两直线平行，同位角相等。

2.性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；即两直线平行，内错角相等。

3.性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；即两直线平行，同旁内角互补。

考点06  命题与证明

一、命题

1.命题的定义：判断一件事情的语句叫作命题。

2.命题的组成：命题由题设和结论两部分组成。

3.命题的表达形式：命题通常写成：“如果……那么……”的形式。“如果”后面接的是题设部分，“那么”后面接的部分是结论。

4.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫作真命题。

5.假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题叫作假命题。

二、公理、定理与证明

1.公理：从实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据的真命题。

2.定理：经过推理证实的真命题叫作定理，它可以作为继续推理的依据。

3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明。

4.举反例：判断一个命题是假命题，一般举反例说明，它符合命题的题设，但不满足结论。

三、平移

1.平移的概念：在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫作平移。

2.平移后的图形与平以前的图形形状、大小相同，只是位置不同；一个图形和它经过平移后所得的图形中，连接各组对应点的线段平行且相等。