八年级数学下册专题03 绕某点旋转90度求坐标

这是一份八年级数学下册专题03 绕某点旋转90度求坐标，共34页。
专题03 绕某点旋转90度求坐标
【模型讲解】
（1）写出点绕坐标原点逆时针旋转后所得对应点坐标是　 　；
（2）写出直线绕坐标原点逆时针旋转后所得直线解析式是　 　；
（3）求直线绕坐标原点逆时针旋转后所得直线解析式．
解：（1）如图所示，
根据旋转的性质可得，，，
∴点绕坐标原点逆时针旋转后所得对应点坐标是；
（2）∵点是直线上的一点，
绕坐标原点逆时针旋转后所得对应点坐标是，
设直线绕坐标原点逆时针旋转后所得直线解析式为，将点代入，得，得，
∴旋转后的直线解析式为：；
（3）∵直线上过两点，，
将其绕坐标原点逆时针旋转，得到对应点的坐标为，，
设过这两点的直线解析式为，
则，解得 ，∴旋转后的直线解析式为：．
【综合演练】
1．如图，网格中每个小正方形的边长都是单位

(1)画出将绕点O顺时针方向旋转后得到的；
(2)请直接写出，，三点的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为．

(1)画出旋转后的图形；
(2)点的坐标是 ；点的坐标是 ；
(3)的形状是 .
3．规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”．

(1)求出直线的“旋转垂线”的解析式；
(2)若直线的“旋转垂线”为直线．求证：．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2）．

(1)求直线AB的表达式；
(2)将△OAB绕点O逆时针旋转90°后，点A落到点C处，点B落到点D处，线段AB上横坐标为的点E在线段CD上对应点为点F，求点F的坐标．
5．（1）点绕坐标原点顺时针旋转得到的点的坐标是　　；
（2）已知直线分别与轴、轴相交于、两点，直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的解析式为　　；
（3）若（2）中直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线的解析式．
6．已知直线，请在平面直角坐标系中画出直线绕点顺时针旋转后的图形，并直接写出该图形的解析式．

7．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△ABC绕点A顺时针旋转90º后得到，求点的坐标？

8．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0）；点A的坐标为（5，2）．如果将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段B，求点的坐标．

9．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣1，1）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心逆时针旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC以点（0，﹣1）为旋转中心顺时针旋转90°，画出旋转后对应的△A2B2C2；
（3）若将△A2B2C2看作由△A1B1C1旋转得到的，那么旋转角的度数为　 　，旋转中心坐标为　 　．

10．如图，点的坐标为，点的坐标为.点的坐标为.
(1)请在直角坐标系中画出绕着点逆时针旋转后的图形.
(2)直接写出：点的坐标(________，________)，
(3)点的坐标(________，________).

11．如图，点A、点B的坐标分别为（4，0）、（0，3），将线段BA绕点A沿顺时针旋转90°，设点B旋转后的对应点是点B1，求点B1的坐标．

12．如图，在边长为1的正方形网格中，，，，，绕点顺时针旋转得（点与点对应）.
（1）直接写出的值： ；
（2）用无刻度直尺作出点并直接写出的坐标（保留作图痕迹，不写作法）；
（3）若格点在的角平分线上，这样的格点（不包括点有） 个（直接写出答案）

13．如图，在平面直角坐标系中有点A(1，5)，B(2，2)，将线段AB绕P点逆时针旋转90°得到线段CD，A和C对应，B和D对应.
(1)若P为AB中点，画出线段CD，保留作图痕迹；
(2)若D(6，2)，则P点的坐标为 ，C点坐标为 .
(3)若C为直线上的动点，则P点横、纵坐标之间的关系为 .

14．在平面直角坐标系中，对于有一点(不与重合)，若点顺时针绕点旋转得点，那么称点为点的“旋转点”．
请直接写出点的“旋转点”的坐标 ；
如果点在函数的图象上，其“旋转点”落在直线上，求点的坐标；
如果点在函数的图象上，其“旋转点”运动路径为，点O到的距离为，求的值．
15．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．

（1）如图①，当旋转角为时，求的长；
（2）如图②，当旋转角为时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，边上的一点旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点的坐标_______．（直接写出结果即可）
16．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”．

（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为________；
②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为________．
（2）E（-3，3），F（a，0）．点E关于点F的“垂直图形”记为，求点的坐标（用含a的式子表示）．
17．已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的“逆转点”，点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：

(1)如图2，在正方形ABCD中，点 　 　为线段DA关于点D的逆转点；
(2)在平面直角坐标系xOy中，点P（x，0），点E是y轴上一点，． 点F是线段EO关于点E的逆转点，点M（纵坐标为t）是线段EP关于点E的逆转点．
①当时，求点M的坐标；
②当，直接写出x的取值范围： 　 　．

18．（1）写出点绕坐标原点逆时针旋转后所得对应点坐标是　 　；
（2）写出直线绕坐标原点逆时针旋转后所得直线解析式是　 　；
（3）求直线绕坐标原点逆时针旋转后所得直线解析式．


答案与解析
【模型讲解】
（1）写出点绕坐标原点逆时针旋转后所得对应点坐标是　 　；
（2）写出直线绕坐标原点逆时针旋转后所得直线解析式是　 　；
（3）求直线绕坐标原点逆时针旋转后所得直线解析式．
解：（1）如图所示，
根据旋转的性质可得，，，
∴点绕坐标原点逆时针旋转后所得对应点坐标是；
（2）∵点是直线上的一点，
绕坐标原点逆时针旋转后所得对应点坐标是，
设直线绕坐标原点逆时针旋转后所得直线解析式为，将点代入，得，得，
∴旋转后的直线解析式为：；
（3）∵直线上过两点，，
将其绕坐标原点逆时针旋转，得到对应点的坐标为，，
设过这两点的直线解析式为，
则，解得 ，∴旋转后的直线解析式为：．
【综合演练】
1．如图，网格中每个小正方形的边长都是单位

(1)画出将绕点O顺时针方向旋转后得到的；
(2)请直接写出，，三点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)，，

【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）解：由坐标系中图形的位置可知：，，．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为．

(1)画出旋转后的图形；
(2)点的坐标是 ；点的坐标是 ；
(3)的形状是 .
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)等腰直角三角形

【分析】（1）先作出点A、B旋转后的对应点，，顺次连接即可；
（2）根据旋转后的图形得出点和点的坐标即可；
（3）连接，根据旋转性质即可得出的形状即可．
【详解】（1）解：作出点A、B旋转后的对应点，，顺次连接，则即为所求，如图所示：

（2）解：根据图可知，点的坐标是；点的坐标是．
故答案为：；．
（3）解：连接，根据旋转可知，，，
∴为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
【点睛】本题主要考查了旋转作图，三角形形状的判定，解题的关键是作出旋转后对应点的坐标．
3．规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”．

(1)求出直线的“旋转垂线”的解析式；
(2)若直线的“旋转垂线”为直线．求证：．
【答案】(1)
(2)见解析

【分析】（1）直线经过点和，这两点绕原点顺时针旋转，得到的对应点为和，这两点在的“旋转垂线”上，利用待定系数法求解析式即可；
（2）直线经过点，和，这两点绕原点顺时针旋转，得到的对应点为和，这两点在 上，代入求解即可．
【详解】（1）直线经过点和，
则这两点绕原点顺时针旋转，得到的对应点为和，
设直线的“旋转垂线”的解析式为，
把和，代入，可得：
，解得，
直线的“旋转垂线”的解析式为；
（2）证明：直线经过点，和，
则这两点绕原点顺时针旋转，得到的对应点为和，
把和，代入，可得
，
，
．
【点睛】本题考查一次函数图象的旋转．理解题目中给出的定义，掌握直线上点的旋转点在旋转垂线上是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2）．

(1)求直线AB的表达式；
(2)将△OAB绕点O逆时针旋转90°后，点A落到点C处，点B落到点D处，线段AB上横坐标为的点E在线段CD上对应点为点F，求点F的坐标．
【答案】(1)y＝﹣2x＋2
(2)（﹣，）

【分析】（1）把点A和点B点坐标代入y＝kx＋b得关于k、b的方程组，然后解方程组求出k和b的值，从而得到直线AB的解析式；
（2）先利用一次函数图象上点的坐标特征求出E点坐标，作EH⊥x轴于H，如图，然后旋转变换求E点的对应点F的坐标．
(1)
解：把点A（1，0）和点B（0，2）代入y＝kx＋b得，解得，
所以直线AB的解析式为y＝﹣2x＋2；
(2)
解：当x＝时，y＝﹣2•＋2＝，则E点坐标为（，），
作EH⊥x轴于H，如图，
∵△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD，
∴把△OEH绕点O逆时针旋转90°后得到△OFQ，
∴∠OHE＝∠OQF＝90°，∠QOH＝90°，OQ＝OH＝，FQ＝EH＝，
∴F点的坐标为（﹣，）．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx＋b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了旋转的性质．
5．（1）点绕坐标原点顺时针旋转得到的点的坐标是　　；
（2）已知直线分别与轴、轴相交于、两点，直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的解析式为　　；
（3）若（2）中直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据旋转变换的定义进行求解；
（2）先根据旋转变换的性质找出点A旋转后的对应点的坐标是，再利用待定系数法即可求解；
（3）先确定点A绕点M旋转后的对应点的坐标是，点B绕点顺时针旋转90°得到的对应点是，再利用待定系数法求解．
【详解】解：（1）点绕原点O顺时针旋转90°，得到的点的坐标为，
故答案为：；
（2）当时，，
当时，，解得，
点、的坐标分别是，，
直线绕点顺时针旋转，点的对应点是，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
故答案为：；
（3）点绕点顺时针旋转得到的对应点是，
点绕点顺时针旋转得到的对应点是，
设直线的解析式的解析式是，
则，
解得，
直线的解析式是．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，找出找出关键点旋转变换后的对应点的坐标是解题的关键，难度中等．
6．已知直线，请在平面直角坐标系中画出直线绕点顺时针旋转后的图形，并直接写出该图形的解析式．

【答案】见解析，
【分析】在直线上取两点：，，根据两点确定一条直线，把直线绕点顺时针旋转的问题，转化为两点，绕点顺时针旋转的问题，再用待定系数法求旋转后的直线解析式．
【详解】解：直线绕点顺时针旋转的图形为下图：

直线与坐标轴交于，两点，
，两点绕点顺时针旋转后的坐标分别为，，
设过，两点的直线解析式为，
则，
解得：
旋转后的直线解析式为．
【点睛】本题考查了旋转作图，一次函数的解析式，解题的关键是掌握转化的思想，即将直线的旋转问转化为点的旋转问题来解决．
7．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△ABC绕点A顺时针旋转90º后得到，求点的坐标？

【答案】
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征求出点和点坐标，得到，，再利用旋转的性质得，，，，则可判断轴，然后根据点的坐标的表示方法写出点的坐标．
【详解】解：当时，，解得，则，
当时，，则，
所以，，
因为把△绕点顺时针旋转后得到△，
所以，，，，
则轴，
所以点的横坐标为，纵坐标为．
所以点的坐标为．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
8．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0）；点A的坐标为（5，2）．如果将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段B，求点的坐标．

【答案】（3,-4）．
【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点 作 轴于点D，可证得 ，从而得到 ， ，再由点B的坐标是（1，0）；点A的坐标为（5，2），可得到,OD=OB+BD=3,即可求解．
【详解】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点 作 轴于点D，

∴∠ACB=∠ =90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段B，
∴∠ =90°， ，
∴∠ABC+ ，
∴，
∴ ，
∴ ， ，
∵点B的坐标是（1，0）；点A的坐标为（5，2），
∴OB=1，AC=2，OC=5，
∴BD=AC=2，BC=OC-OB=4，
∴,OD=OB+BD=3,
∵点在第四象限内，
∴点的坐标为（3,-4）．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的变换——旋转，全等三角形的判定和性质，根据题意，找到全等三角形是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣1，1）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心逆时针旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC以点（0，﹣1）为旋转中心顺时针旋转90°，画出旋转后对应的△A2B2C2；
（3）若将△A2B2C2看作由△A1B1C1旋转得到的，那么旋转角的度数为　 　，旋转中心坐标为　 　．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）90°，（1，0）．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求作．
（2）△A2B2C2即为所求作．

（3）如图，连接 分别作的垂直平分线，交点即为旋转中心，

所以将△A2B2C2看作由△A1B1C1旋转得到的，那么旋转角的度数为90°，旋转中心坐标为（1，0）．
故答案为：90°，（1，0）．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．如图，点的坐标为，点的坐标为.点的坐标为.
(1)请在直角坐标系中画出绕着点逆时针旋转后的图形.
(2)直接写出：点的坐标(________，________)，
(3)点的坐标(________，________).

【答案】(1)见解析；(2)-4.2；(3)-1.3.
【分析】（1）利用旋转的性质，找出各个关键点的对应点，连接即可；（2）根据（1）得到的图形即可得到所求点的坐标；（3）根据（1）得到的图形即可得到所求点的坐标．
【详解】(1)如图

(2)A’(-4.2).
(3)B’(-1.3).
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，作出图形，利用数形结合求解更加简便．
11．如图，点A、点B的坐标分别为（4，0）、（0，3），将线段BA绕点A沿顺时针旋转90°，设点B旋转后的对应点是点B1，求点B1的坐标．

【答案】B1点的坐标为（7，4）
【分析】如图，作B1C⊥x轴于C，证明△ABO≌△B1AC得到AC=OB=3，B1C=OA=4，然后写出B1点的坐标．
【详解】如图，作B1C⊥x轴于C．

∵A（4，0）、B（0，3），
∵OA＝4，OB＝3，
∵线段BA绕点A沿顺时针旋转90°得A B1，
∴BA＝A B1，且∠BA B1＝90°，
∴∠BAO+∠B1AC＝90°
而∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠B1AC，
∴△ABO≌△B1AC，
∴AC＝OB＝3，B1C＝OA＝4，
∴OC＝OA+AC＝7，
∴B1点的坐标为（7，4）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
12．如图，在边长为1的正方形网格中，，，，，绕点顺时针旋转得（点与点对应）.
（1）直接写出的值： ；
（2）用无刻度直尺作出点并直接写出的坐标（保留作图痕迹，不写作法）；
（3）若格点在的角平分线上，这样的格点（不包括点有） 个（直接写出答案）

【答案】（1）90；（2）见解析（3）5
【分析】（1）找出旋转中心C后，利用勾股定理可证明旋转角∠AOE是90°
（2）根据旋转的性质,对应点到旋转中心的距离相等,可知,只要连接两组对应点,作出对应点所连线段的两条垂直平分线,其交点即为旋转中心；
（3）取M(-1，-1)可证 故∠EAM=∠BAM故AM是的角平分线上，数出在格子点上的格点（不包括点）的个数即可.
【详解】解：（1）由题意，作出旋转中心C（2，3），
∵
又∵
∴
∴∠AOE=90°
∴；
故答案为:90°
（2）如图：

(3)∵A(4,2) ，,M(-1，-1)
∴EM=BM=2，AE=AB=
∵AM=AM
∴
∴∠EAM=∠BAM
∴AM是的角平分线上
由图可知AM在格子点上的格点（不包括点）有5个
【点睛】本题主要考查了旋转中心的确定,即出对应点所连线段的两条垂直平分线,其交点即为旋转中心
13．如图，在平面直角坐标系中有点A(1，5)，B(2，2)，将线段AB绕P点逆时针旋转90°得到线段CD，A和C对应，B和D对应.
(1)若P为AB中点，画出线段CD，保留作图痕迹；
(2)若D(6，2)，则P点的坐标为 ，C点坐标为 .
(3)若C为直线上的动点，则P点横、纵坐标之间的关系为 .

【答案】（1）见解析；（2）（4,4），（3,1）；（3）.
【分析】（1）根据题意作线段CD即可；
（2）根据题意画出图形即可解决问题；
（3）因为点C的运动轨迹是直线，所以点P的运动轨迹也是直线，找到当C坐标为（0,0）时，P'的坐标，利用待定系数法即可求出关系式.
【详解】（1）如图所示，线段CD即为所求，

（2）如图所示，P点坐标为（4,4），C点坐标为（3,1），

故答案为：（4,4），（3,1）.
（3）如图所示，

∵点C的运动轨迹是直线，
∴点P的运动轨迹也是直线，
当C点坐标为（3,1）时，P点坐标为（4,4），
当C点坐标为（0,0）时，P'的坐标为（3,2），
设直线PP'的解析式为，则有，解得，
∴P点横、纵坐标之间的关系为，
故答案为：．
【点睛】本题考查网格作图和一次函数的解析式，熟练掌握旋转变换的特征是解题的关键.
14．在平面直角坐标系中，对于有一点(不与重合)，若点顺时针绕点旋转得点，那么称点为点的“旋转点”．
请直接写出点的“旋转点”的坐标 ；
如果点在函数的图象上，其“旋转点”落在直线上，求点的坐标；
如果点在函数的图象上，其“旋转点”运动路径为，点O到的距离为，求的值．
【答案】（1）（3，-5），（2）（m,-2m）（3）m=2或m=-2；
【分析】（1）设点A的坐标为（5,3），它的旋转点是C，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D，可得△OAB≌△OCD，可求C点坐标；
（2）由（1）可知旋转点的坐标变化规律，设P点坐标为（a,-a-m），则它的旋转点坐标为（-a-m，-a），代入即可；
（3）由（2）可知，“旋转点”运动路径是直线y=x+m，设直线y=x+m与坐标轴交于F、G两点，作OE⊥FG,垂足为E,根据点O到的距离为，求出直线与y轴交点坐标即可．
【详解】（1）设点A的坐标为（5,3），它的旋转点是C，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D，由旋转可知，OA=OC，∠AOC=∠BOD=90°，
∵∠AOB+∠BOC=90°，∠COD+∠BOC=90°，
∴∠AOB=∠COD，
∵∠ABO=∠CDO=90°，
∴△OAB≌△OCD，
∴CD=AB=3，OD=OB=5，
∵点C在第四象限，
∴C点坐标为（3，-5），
故答案为：（3，-5）；

（2）设P点坐标为（a,-a-m），由（1）可知它的旋转点坐标为    Q（-a-m，-a），
把（-a-m，-a）代入得，
，
解得，a=m，
∴P点坐标为（m,-2m）；
（3）由（2）可知旋转点Q（-a-m，-a），纵坐标与横坐标的差等于m，即点Q在直线y=x+m上运动．如图1，设直线y=x+m与坐标轴交于F、G两点，作OE⊥FG,垂足为E,则F(-m,0),G(0,m)，OF=OG，∠FGO=45°，
∴OE=EG=，
，
m=2；
如图2，同理，m=-2；
∴m=2或m=-2；

【点睛】本题考查了旋转的坐标变化，一次函数的性质，解题关键是根据旋转的性质构造全等三角形求坐标，利用设点的坐标表示旋转点的坐标，结合已知条件，灵活运用一次函数知识解题．
15．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．

（1）如图①，当旋转角为时，求的长；
（2）如图②，当旋转角为时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，边上的一点旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点的坐标_______．（直接写出结果即可）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先根据的坐标求得的长，再根据旋转的性质及旋转90°，利用勾股定理求得;
（2）如图2，过点作轴于，在中，利用含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分别求得,进而求得的坐标；
（3）如图3，作关于轴的对称点，连接交轴于，，此时，的值最小，求得直线的解析式，令，即可求得的坐标，进而求得,作于，根据旋转求得，利用含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求得，进而求得的坐标．
【详解】（1），，
，，
，
由旋转知，，，
是等腰直角三角形，
；
（2）如图2，过点作轴于，

由旋转知，，，
，
在中，，
，，

；
（3）由旋转知，，，
如图3，作关于轴的对称点，连接交轴于，

，此时，的值最小，
点与点关于轴对称，
，

设直线的解析式为
则
解得
直线的解析式为，
令，


，
作于，
，，
，
，
，

故答案为：
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的坐标与图形，勾股定理，旋转的性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”．

（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为________；
②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为________．
（2）E（-3，3），F（a，0）．点E关于点F的“垂直图形”记为，求点的坐标（用含a的式子表示）．
【答案】（1）①（2，0）； ②（-1，2）；（2）（a+3，a+3）．
【分析】（1）①根据定义，作出点B，可得结论．②根据定义，作出点A，可得结论．
（2）如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，过点E′作E′K⊥x轴于K．构造全等三角形，可得结论．
【详解】（1）①如图1,

故答案为：（2，0）；
②如图2,

故答案为：（-1，2）．
（2）如图3，过点E作EH⊥x轴于H，过点E′作E′K⊥x轴于K．



∴∠E=∠E′FK，
在△EHF和△FKE′中，

，
，
∵E（-3，3），G（a，0），
∴H（-3，0）．
∴HF=∣a+3∣，EH=FK=3．
∴E′K=∣a+3∣，OK=|a+3|
故答案为：
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
17．已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的“逆转点”，点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：

(1)如图2，在正方形ABCD中，点 　 　为线段DA关于点D的逆转点；
(2)在平面直角坐标系xOy中，点P（x，0），点E是y轴上一点，． 点F是线段EO关于点E的逆转点，点M（纵坐标为t）是线段EP关于点E的逆转点．
①当时，求点M的坐标；
②当，直接写出x的取值范围： 　 　．

【答案】(1)C
(2)①或；②－5≤x＜1或3≤x＜9

【分析】（1）根据逆转点的定义判断即可．
（2）①点E的位置有两种情形：分两种情形，发现画出图形求解即可．
②根据﹣1≤t＜5，结合①判断即可．
(1)
解：根据“逆转点”的定义可知，点C为线段DA关于点D的逆转点．
故答案为C．
(2)
解：①∵E是y轴上的一点，OE＝4，
∴点E的位置有两种情形：

当点E在y轴的正半轴上时，作出线段E1O关于点E1的逆转点F1以及线段E1P关于点E1的逆转点M1
∵∠PE1M1＝∠OE1F1＝
∴∠PE1O＝∠M1E1F1
∵OE1＝F1E1＝4，E1P＝E1M1
∴
∴∠F1＝∠POE1＝
M1F1＝OP＝3
∴
当点E在y轴的负半轴上的点E2时，同法可得，
综上所述，满足条件的点M的坐标为或．
②由①可知，当－1≤t＜5时，－5≤x＜1或3≤x＜9．
故答案为：－5≤x＜1或3≤x＜9．
【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，坐标图与图形的变化等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．