七年级数学下册易错点第5课时 三角形的概念及三边关系

这是一份七年级数学下册易错点第5课时 三角形的概念及三边关系，共19页。试卷主要包含了核心考点，易错点，拔尖角度等内容，欢迎下载使用。
第5课时 三角形的概念及三边关系（原卷版）
一、核心考点
考点1 三角形的分类及三角形的表示
1．（2022秋•合川区校级期末）在△ABC中，∠A+∠B＝90°，则△ABC的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
2．（2020秋•惠安县校级月考）已知a，b，c是△ABC的三条边，且（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定
3．（2021秋•安徽期中）现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（　　）
A．3 B．4或5 C．6或7 D．8
4．（2018春•浦东新区期末）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图所示，图中有　 　个三角形，其中以AB为边的三角形为　 　，含∠OCB的三角形为　 　，在△BOC中，OC的对角是　 　，∠OCB的对边是　 　．

考点2 应用三角形的三边关系解决问题
6．（2021秋•新泰市期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．1，3，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10
7．（2020秋•盘龙区期末）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足a−10+（b﹣2）2＝0，第三边c为偶数，则c＝　 　．
8．（2021春•泰兴市期中）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝20米，OB＝15米，A、B间的距离不可能是（　　）

A．5米 B．15米 C．20米 D．25米
9．（2020春•二道区期末）一个三角形的两边长分别为4和2，则该三角形的周长可能是（　　）
A．6 B．7 C．11 D．12
10．（2020秋•红谷滩区校级期末）若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a﹣5|+（b﹣3）2＝0，则c的值可以为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
11．如果以4cm长的线段为底组成一个等腰三角形，腰长x的取值范围是（　　）
A．x＞4cm B．x＞2cm C．x≥4cm D．x≥2cm
12．（2020秋•恩平市期中）已知三角形两边长分别是3cm和7cm，则第三边长a的取值范围是　 　．
13．（2021•柳州）若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是 　 　．（写出一个即可）
二、易错点
易错点 :遗漏三边关系满足的两个条件中任一个导致判断错误，要防止漏解。
14．（2020•绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
三、拔尖角度
角度1 利用三角形三边关系判定三角形形状
15．（2021春•武山县期末）已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．

16．已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x．
（1）直接写出c及x的取值范围；（2）若x是大于14的偶数．
①求c的长；②判断△ABC的形状．





17．（1）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，试判断△ABC的形状．






角度2 分类讨论思想
18．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．2cm或6cm
19．若等腰三角形三边的长分别为4x﹣2，x+1，15﹣6x，则x的值为（　　）
A．1 B．2 C．1.7 D．1.7或2
20．（2022春•高州市期末）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（　　）

A．7 B．10 C．11 D．14
21．（2022秋•延庆区期末）若等腰三角形两边的长分别为3cm和7cm，则等腰三角形的周长是 　 　cm．
22．阅读两名同学对下题的解答过程．一个等腰三角形的周长为28cm，其中一边长为8cm，则这个三角形另外两边的长分别是多少？
李明说应这样解：设腰长为xcm，则2x+8＝28，解得x＝10，所以这个三角形另外两边的长均为10cm．
张钢说应这样解：设底边长为xcm，则2×8+x＝28，解得x＝12，所以这个三角形的另外两边的长分别为8cm，12cm．
试判断李明与张钢两人的解答过程是否正确，若正确，请写出判断的依据；若不正确，请你写出正确的解答过程．



23．将长度为2n（n为不小于4的自然数）的一根铅丝折成各边长均为整数的三角形．把三边长分别为α、b、c且满足a≤b≤c的三角形简记为数组（a，b，c）如当n＝4时，有（2，3，3）．
（1）就n＝5、6的情况．分别写出所有满足题意的（α，b，c）．
（2）根据前面的结果猜想：当铅丝的长度为2n（n为不小于4的自然数）时．对应（a，b，c）的个数是　 　．为了检验这个的猜想是否正确，请分别写出当n＝8、10时所有的（a，b，c），并判断这个猜想　 　（选填“正确”或“不正确”）


角度3 利用三角形三边关系化简绝对值和
24．（2021春•永春县期末）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|的结果为　 　．
25．已知a，b，c为△ABC的三边，化简(a+b+c)2+(a−b−c)2+(b−a−c)2+(c−a−b)2．

角度4 利用三角形三边关系证明不等式
26．如图，P是△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP．
（1）AB+AC＞BP+PC是否成立？若成立，请说明理由；
（2）试比较PA+PB+PC与AB+AC+BC的大小关系，并说明理由．







28．已知：如图，四边形ABCD是任意四边形，AC与BD相交于点O．
试说明：AC+BD＞12（AB+BC+CD+DA）．

第5课时 三角形的概念及三边关系（解析版）
一、核心考点
考点1 三角形的分类及三角形的表示
1．（2022秋•合川区校级期末）在△ABC中，∠A+∠B＝90°，则△ABC的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
思路引领：根据∠A+∠B＝90°，应用三角形的内角和定理，求出∠C的度数，即可判断出△ABC是什么三角形．
解：∵∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
总结提升：此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
2．（2020秋•惠安县校级月考）已知a，b，c是△ABC的三条边，且（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定
思路引领：根据偶次方和绝对值的非负性得出a﹣b＝0且b﹣c＝0，求出a＝b＝c，再根据等边三角形的判定得出即可．
解：∵a，b，c是△ABC的三条边，（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，
∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，
∴a＝b且b＝c，
即a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形，
故选：C．
总结提升：本题考查了绝对值和偶次方的非负性和等边三角形的判定，能根据绝对值和偶次方的f非负性得出a﹣b＝0且b﹣c＝0是解此题的关键．
3．（2021秋•安徽期中）现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（　　）
A．3 B．4或5 C．6或7 D．8
思路引领：根据三角形的定义，先得出三角形的个数．再根据三角形的分类，得出锐角三角形的个数．
解：由题意得：若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角时，
∴共有33÷3＝11个三角形；
又三角形中，最多有一个直角或最多有一个钝角，显然11个三角形中，有5个直角三角形和3个钝角三角形；
故还有11﹣5﹣3＝3个锐角三角形．
故选：A．
总结提升：理解三角形的概念，注意一个三角形中最多有一个直角或最多有一个钝角．
4．（2018春•浦东新区期末）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
思路引领：根据它们的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是直角且有两条边相等的三角形是等腰直角三角形．
根据概念就可找到它们之间的关系．
解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系．
故选：C．
总结提升：考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系．
5．如图所示，图中有　 　个三角形，其中以AB为边的三角形为　 　，含∠OCB的三角形为　 　，在△BOC中，OC的对角是　 　，∠OCB的对边是　 　．

思路引领：根据三角形的边和角有关概念解答．
解：，图中有8个三角形，其中以AB为边的三角形为△ABC，△ABD，△ABO，含∠OCB的三角形为△OCB，△ACB，在△BOC中，OC的对角是∠OBC，∠OCB的对边是OB，
故答案为：8；△ABC，△ABD，△ABO；△OCB，△ACB；∠OBC；OB．
总结提升：此题考查三角形，关键是根据三角形的边和角有关概念解答．
考点2 应用三角形的三边关系解决问题
6．（2021秋•新泰市期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．1，3，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10
思路引领：根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
解：根据三角形的三边关系，得
A、1+3＝4，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、5+6＜12，不能组成三角形，故此选项不合题意；
C、2+5＝7，不能组成三角形，故此选项不合题意；
D、6+8＞10，能组成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
总结提升：此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
7．（2020秋•盘龙区期末）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足a−10+（b﹣2）2＝0，第三边c为偶数，则c＝　 　．
思路引领：先根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而求出c的值．
解：∵a、b满足a−10+（b﹣2）2＝0，
∴a＝10，b＝2，
∵a、b、c为三角形的三边，
∴8＜c＜12，
∵第三边c为偶数，
∴c＝10．
故答案为：10．
总结提升：本题主要考查了三角形三边关系以及非负数的性质，解题的关键是求出a和b的值，此题难度不大．
8．（2021春•泰兴市期中）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝20米，OB＝15米，A、B间的距离不可能是（　　）

A．5米 B．15米 C．20米 D．25米
思路引领：根据三角形的三边关系定理得到5＜AB＜25，根据AB的范围判断即可．
解：根据三角形的三边关系定理得：
20﹣10＜AB＜15+20，
即：10＜AB＜35，
∴AB的值在10和35之间，
A、B间的距离不可能是5米．
故选：A．
总结提升：本题主要考查对三角形的三边关系定理的理解和掌握，能正确运用三角形的三边关系定理是解此题的关键．题型较好．
9．（2020春•二道区期末）一个三角形的两边长分别为4和2，则该三角形的周长可能是（　　）
A．6 B．7 C．11 D．12
思路引领：首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案．
解：设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是2和4，
∴4﹣2＜x＜2+4，即2＜x＜6．
则三角形的周长：8＜C＜12，
C选项11符合题意，
故选：C．
总结提升：本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
10．（2020秋•红谷滩区校级期末）若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a﹣5|+（b﹣3）2＝0，则c的值可以为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
思路引领：根据非负数的性质列方程求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出c的取值范围，然后解答即可．
解：由题意得，a﹣5＝0，b﹣3＝0，
解得a＝5，b＝3，
∵5﹣3＝2，5+3＝8，
∴2＜c＜8，
∴c的值可以为7．
故选：A．
总结提升：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
11．如果以4cm长的线段为底组成一个等腰三角形，腰长x的取值范围是（　　）
A．x＞4cm B．x＞2cm C．x≥4cm D．x≥2cm
思路引领：本题已知底边长为4cm，根据三角形的三边关系即：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边，可判断出x的取值范围．
解：此等腰三角形的底为4cm，
则有2x＞4，
解得x＞2，
故选：B．
总结提升：本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系．根据已知与性质列出不等式是正确解答本题的关键．
12．（2020秋•恩平市期中）已知三角形两边长分别是3cm和7cm，则第三边长a的取值范围是　 　．
思路引领：根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边应＞两边之差4cm，而＜两边之和10cm．
解：根据三角形的三边关系，得
第三边的取值范围是：7﹣3＜a＜7+3，
即4cm＜a＜10cm．
故答案为：4cm＜a＜10cm．
总结提升：此题考查了三角形的三边关系．
13．（2021•柳州）若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是 　 　．（写出一个即可）
思路引领：根据三角形三边关系定理得出4﹣3＜a＜4+3，求出即可．
解：由三角形三边关系定理得：4﹣3＜a＜4+3，
即1＜a＜7，
即符合的整数a的值可以是5（答案不唯一），
故答案为：5（答案不唯一）．
总结提升：本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出4﹣3＜a＜4+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
三、易错点
易错点 :遗漏三边关系满足的两个条件中任一个导致判断错误，要防止漏解。
14．（2020•绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
思路引领：利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．
解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B．
总结提升：本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．注意分类讨论，不重不漏．
三、拔尖角度
角度1 利用三角形三边关系判定三角形形状
15．（2021春•武山县期末）已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
思路引领：利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长进而判断出其形状．
解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意舍去，
∴a＝2，
∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，
∴△ABC是等腰三角形．
总结提升：此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
16．已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x．
（1）直接写出c及x的取值范围；
（2）若x是大于14的偶数．
①求c的长；
②判断△ABC的形状．
思路引领：（1）根据三角形的三边关系解答；
（2）①根据三角形的周长公式、偶数的概念求出c；
②根据等腰三角形的概念解答即可．
解：（1）由三角形的三边关系可得：6﹣4＜c＜6+4，即2＜c＜10，
∵x＝a+b+c，
∴12＜x＜20；
（2）①∵a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，
∴2＜c＜10，
∵x是大于14的偶数，且12＜x＜20，
∴14＜x＜20，
∴4＜c＜10，
∴c＝6或8；
②当c＝6时，三角形的三边长为4，6，6，则三角形为等腰三角形；
当c＝8时，三角形的三边长为4，6，8，三角形为钝角三角形，
综上所述：三角形为等腰三角形或钝角三角形．
总结提升：本题考查的是三角形的三边关系、等腰三角形的概念，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
17．（1）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，试判断△ABC的形状．
思路引领：（1）（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0中，（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（c﹣a）2≥0；
（2）0与任何数相乘都得0，则（a﹣b）、（b﹣c）、（c﹣a）中至少有一个是0．
解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（b﹣c）2＝0，（c﹣a）2＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
（2）∵（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，
∴a﹣b＝0或b﹣c＝0或c﹣a＝0，
∴a＝b或b＝c或a＝c，
∴△ABC是等腰三角形或等边三角形．
总结提升：此题考查的是因式分解的应用、等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握多项式相乘为0的条件．
角度2 分类讨论思想
18．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．2cm或6cm
思路引领：根据等腰三角形的性质，可以分为2cm是腰或底边两种情况；结合三角形的三边关系可以确定三角形的三边的长度，由此确定选项．
解：当2cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（10﹣2）÷2＝4（cm），能够组成三角形；
当2cm是等腰三角形的腰时，则其底边是10﹣2×2＝6（cm），不能够组成三角形；
故该等腰三角形的底边长为2cm．
故选：A．
总结提升：本题主要考查等腰三角形，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
19．若等腰三角形三边的长分别为4x﹣2，x+1，15﹣6x，则x的值为（　　）
A．1 B．2 C．1.7 D．1.7或2
思路引领：根据等腰三角形两腰相等，分别讨论如果4x﹣2＝x+1，4x﹣2＝15﹣6x，15﹣6x＝x+1时的情况，注意检验是否能组成三角形．
解：∵等腰三角形三边的长分别是4x﹣2，x+1，15﹣6x，
∴①如果4x﹣2＝x+1，则x＝1，
三边为：2，2，9；
2+2＜9，不能组成三角形，舍去；
②如果4x﹣2＝15﹣6x，则x＝1.7，
三边为：4.8，2.7，4.8，符合题意；
③如果15﹣6x＝x+1，则x＝2，
三边为：6，3，3；
3+3＝6，不能组成三角形，舍去；
故选：C．
总结提升：此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．解此题注意分类讨论思想的应用．
20．（2022春•高州市期末）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（　　）

A．7 B．10 C．11 D．14
思路引领：分四种情况、根据三角形的三边关系解答即可．
解：①选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；7﹣6＜8＜7+6，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8；
②选6+4、3、8作为三角形，则三边长为10、3、8；8﹣3＜10＜8+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为10；
③选3+8、4、6作为三角形，则三边长为111、4、6；4+6＜11，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；而3+4＜14，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10，
故选：B．
总结提升：本题考查的是三角形的三边关系，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．
21．（2022秋•延庆区期末）若等腰三角形两边的长分别为3cm和7cm，则等腰三角形的周长是 　 　cm．
思路引领：因为等腰三角形的两边分别为3cm和7cm，但没有明确哪条边是底边，哪条边是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解：当3cm为底时，其它两边都为7cm，3cm、7cm、7cm可以构成三角形，
周长为17cm；
当3cm为腰时，其它两边为7cm和3cm，因为7cm、3cm、3cm不可以构成三角形．
故这个等腰三角形周长为17cm．
故答案为：17．
总结提升：本题考查了等腰三角形的性质，掌握分情况进行讨论是关键．
22．阅读两名同学对下题的解答过程．一个等腰三角形的周长为28cm，其中一边长为8cm，则这个三角形另外两边的长分别是多少？
李明说应这样解：设腰长为xcm，则2x+8＝28，解得x＝10，所以这个三角形另外两边的长均为10cm．
张钢说应这样解：设底边长为xcm，则2×8+x＝28，解得x＝12，所以这个三角形的另外两边的长分别为8cm，12cm．
试判断李明与张钢两人的解答过程是否正确，若正确，请写出判断的依据；若不正确，请你写出正确的解答过程．
思路引领：李明与张钢两人的解答过程都不正确，正确解答应当分两种情况讨论：当腰长为8cm时或底边长是8cm时，根据周长为28cm，求出相应的底边或腰，并注意：要根据三角形的三边关系判断其是否能够组成三角形．
解：他们的解答过程都不正确．
理由如下：
根据题意可知有两种情况：
①当腰长为8cm，周长为28cm时，
底边长为28﹣8﹣8＝12（cm）．
∵8cm，8cm，12cm能够组成三角形，
∴其它两边为8cm和12cm．
②当底边为8cm，周长为28cm时，
腰长为28−82=10（cm）．
∵10cm，10cm，8cm能够组成三角形，
∴其它两边为10cm和10cm．
综上可知其它两边为8cm，12cm或10cm，10cm．
总结提升：本题考查了三角形三边关系及等腰三角形的知识，熟练掌握三角形三边关系及等腰三角形的定义是解题的关键．
23．将长度为2n（n为不小于4的自然数）的一根铅丝折成各边长均为整数的三角形．把三边长分别为α、b、c且满足a≤b≤c的三角形简记为数组（a，b，c）如当n＝4时，有（2，3，3）．
（1）就n＝5、6的情况．分别写出所有满足题意的（α，b，c）．
（2）根据前面的结果猜想：当铅丝的长度为2n（n为不小于4的自然数）时．对应（a，b，c）的个数是　 　．为了检验这个的猜想是否正确，请分别写出当n＝8、10时所有的（a，b，c），并判断这个猜想　 　（选填“正确”或“不正确”）
思路引领：（1）根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，可直接写出符合条件的三角形．
（2）猜想：n﹣3；列举出所有符合条件的三角形，即可解答．
解：（1）当n＝5时，有（2，4，4），（3，3，4）；
当n＝6时，有（2，5，5），（3，4，5），（4，4，4）．

（2）猜想：对应（a，b，c）的个数是：n﹣3．
n＝8时，有（2，7，7），（3，6，7），（4，5，6），（4，6，6），（5，5，6）共5个，5＝8﹣3，猜想正确，
n＝10时，有（2，9，9），（3，8，9），（4，7，9），（4，8，8），（5，6，9），（5，7，8），（6，6，8），（6，7，7）．共8个，8≠10﹣3，猜想不正确，
故答案为：n﹣3，不正确．
总结提升：本题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数，难度适中．
角度3 利用三角形三边关系化简绝对值和
24．（2021春•永春县期末）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|的结果为　 　．
思路引领：先根据三角形的三边关系判断出a+b﹣c与c﹣b﹣a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可；
解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，
∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式＝a+b﹣c﹣（c﹣a﹣b）
＝a+b﹣c﹣c+a+b
＝2a+2b﹣2c
故答案为：2a+2b﹣2c．
总结提升：本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
25．已知a，b，c为△ABC的三边，化简(a+b+c)2+(a−b−c)2+(b−a−c)2+(c−a−b)2．
思路引领：根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a﹣b﹣c、b﹣a﹣c和c﹣a﹣b的正负；然后根据二次根式的性质去掉根号，再合并同类项即可．
解：由三角形三边之间的关系可知a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，即a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0．
原式＝|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|
＝（a+b+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）+（c﹣a﹣b）
＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b
＝2a+2b+2c．
总结提升：本题主要考查二次根式的性质与化简，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
角度4 利用三角形三边关系证明不等式
26．如图，P是△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP．
（1）AB+AC＞BP+PC是否成立？若成立，请说明理由；
（2）试比较PA+PB+PC与AB+AC+BC的大小关系，并说明理由．

思路引领：（1）延长BP交AC于点D，根据三角形的三边关系，以及不等式的性质即可证明；
（2）利用（1）中结论即可证明；
解：（1）成立．
理由：延长BP交AC于点D，

在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①，
在△PCD中，PC＜PD+CD②，
①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，
即PB+PC＜AB+AC，
即：AB+AC＞PB+PC．
（2）结论：PA+PB+PC＜AB+AC+BC．
根据第一问的结论有 PB+PC＜AB+AC，
PA+PB＜CA+CB，
PA+PC＜BA+BC，
∴2PA+2PB+2PC＜2AB+2AC+2BC，
∴PA+PB+PC＜AB+AC+BC．
总结提升：本题考查三角形的三边关系，不等式的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形利用三角形的三边关系解决问题，属于中考常考题型．
28．已知：如图，四边形ABCD是任意四边形，AC与BD相交于点O．
试说明：AC+BD＞12（AB+BC+CD+DA）．

思路引领：根据三角形的三边关系得到AO+BO＞AB，CO+BO＞BC，CO+DO＞CD，AO+DO＞DA，把四式子相加，并根据线段的和差化简即可证得结论．
证明：在△AOB中，AO+BO＞AB①，
在△BOC中，CO+BO＞BC②，
在△COD中，CO+DO＞CD③，
在△AOD中，AO+DO＞DA④，
①+②+③+④得：2（AO+CO+BO+DO）＞AB+BC+CD+DA，
∴2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA，
∴AC+BD＞12（AB+BC+CD+DA）．
总结提升：本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边是解决问题的关键．