2022-2023学年广东省汕尾市九年级（上）期中数学试卷

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2022-2023学年广东省汕尾市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）如图图案中，不是中心对称图形的是（　　）A．∽ B．∥ C．＞ D．＝2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（﹣2，﹣3）3．（3分）方程x2﹣6x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）A．1，﹣6，﹣1 B．1，6，1 C．0，﹣6，1 D．0，6，﹣14．（3分）若二次函数y＝mx2（m≠0）的图象经过点（2，﹣5），则它也经过（　　）A．（﹣2，﹣5） B．（﹣2，5） C．（2，5） D．（﹣5，2）5．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+5，下列结论正确的是（　　）A．其图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线x＝﹣1 C．函数的最大值为5 D．当x＞1时，y随x的增大而增大6．（3分）直线y＝﹣x+2与抛物线y＝x2有（　　）个交点．A．0 B．1 C．2 D．37．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°8．（3分）如图，将线段AB绕一个点顺时针旋转90°得到线段CD，则这个点是（　　）A．M点 B．Q点 C．P点 D．N点9．（3分）已知点A（﹣1，﹣1），点B（1，1），若抛物线y＝x2﹣ax+a+1与线段AB有两个不同的交点（包含线段AB端点），则实数a的取值范围是（　　）A．a＜﹣1 B．a≤﹣1 C．a＜﹣1 D．a≤﹣110．（3分）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2021的坐标为（　　）A．（﹣22020，22020） B．（22021，22021） C．（22020，22020） D．（﹣22011，22021）二、填空题（每题3分，共15分）11．（3分）方程x（x﹣2）＝0的解为　 　．12．（3分）若将抛物线y＝x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式是　 　．13．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（3，2）绕原点O按顺时针方向旋转90°后，其对应点A′的坐标是　 　．14．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣6t2+15t．汽车刹车后到停下来前进了 　 　m．15．（3分）已知二次函数的y＝ax2+bx+c （a≠0）图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③2a+b＝0；④a+b＜m （am+b） （m≠1的实数），其中正确的结论有　 　．三、解答题（每题8分，共24分）16．解方程：3（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）＝0．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0．（1）若k＝﹣6，求此方程的解；（2）若该方程无实数根，求k的取值范围．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，且点E恰好落在边BC上．（1）求证：AE平分∠CED；（2）连接BD，求证：∠DBC＝90°．四、解答题（每题9分，共27分）19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，BD．（1）依题意补全图形；（2）若BC＝1，求线段BD的长．20．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE＝AD+BE．（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．21．渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？五、解答题（每题12分，共24分）22．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标．23．已知△ABC是等边三角形．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．①如图a，当θ＝20°时，△ABD与△ACE是否全等？　 　（填“是”或“否”），∠BOE＝　 　度；②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B'和C'，使AB'＝AC'，连接B′C′，将△AB'C'绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．2022-2023学年广东省汕尾市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）如图图案中，不是中心对称图形的是（　　）A．∽ B．∥ C．＞ D．＝【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：“∽”、“∥”、“＝”均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，“＞”不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（﹣2，﹣3）【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．由此可求点A关于原点对称的点的坐标．【解答】解：∵点A（2，3），∴A点关于原点对称的点为（﹣2，﹣3），故选：D．【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．3．（3分）方程x2﹣6x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）A．1，﹣6，﹣1 B．1，6，1 C．0，﹣6，1 D．0，6，﹣1【分析】根据一元二次方程的一般形式找出a，b，c的值即可．【解答】解：方程x2﹣6x﹣1＝0，∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣6，﹣1．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．4．（3分）若二次函数y＝mx2（m≠0）的图象经过点（2，﹣5），则它也经过（　　）A．（﹣2，﹣5） B．（﹣2，5） C．（2，5） D．（﹣5，2）【分析】根据抛物线的对称性求解．【解答】解：∵y＝mx2，∴抛物线对称轴为y轴，∵图象经过点（2，﹣5），∴图象经过点（﹣2，﹣5），故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．5．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+5，下列结论正确的是（　　）A．其图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线x＝﹣1 C．函数的最大值为5 D．当x＞1时，y随x的增大而增大【分析】利用二次函数的性质对用顶点式表示的二次函数进行分析后即可得到答案．【解答】解：y＝3（x﹣1）2+5中，∵a＝3＞0，∴图象开口向上，故A错误；对称轴为：x＝1，故B错误；函数有最小值为5，故C错误；当x＞1时，y随x的增大而增大，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记其用顶点式表示的二次函数的性质是解决本题的关键．6．（3分）直线y＝﹣x+2与抛物线y＝x2有（　　）个交点．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】本题可联立两函数的解析式，可得相关一元二次方程，根据Δ的值可判断交点个数．【解答】解：根据题意得：﹣x+2＝x2，即x2+x﹣2＝0，所以Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，所以该方程有两个实数解，即直线y＝﹣x+2与抛物线y＝x2有2个交点．故答案为：C．【点评】本题考查的是函数图象交点的求法，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．7．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，∴∠B＝∠ADB（180°﹣100°）＝40°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．8．（3分）如图，将线段AB绕一个点顺时针旋转90°得到线段CD，则这个点是（　　）A．M点 B．Q点 C．P点 D．N点【分析】根据旋转的性质可得答案．【解答】解：根据旋转的性质可得，旋转中心在BD和AC的垂直平分线上，∴旋转中心是点M，故选：A．【点评】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，并且注意旋转的方向．9．（3分）已知点A（﹣1，﹣1），点B（1，1），若抛物线y＝x2﹣ax+a+1与线段AB有两个不同的交点（包含线段AB端点），则实数a的取值范围是（　　）A．a＜﹣1 B．a≤﹣1 C．a＜﹣1 D．a≤﹣1【分析】根据题意，先将一次直线解析式和二次函数解析式联立方程，求出使得这个方程有两个不同的实数根时a的取值范围，然后再求得抛物线y＝x2﹣ax+a+1经过A点时的a的值，即可求得a的取值范围．【解答】解：∵点A（﹣1，﹣1），点B（1，1），∴直线AB为y＝x，令x＝x2﹣ax+a+1，则x2﹣（a+1）x+a+1＝0，若直线y＝x与抛物线x2﹣ax+a+1有两个不同的交点，则△＝（a+1）2﹣4（a+1）＞0，即（a+1）（a﹣3）＞0，∴或，解得，a＞3（舍去）或a＜﹣1，把点A（﹣1，﹣1）代入y＝x2﹣ax+a+1解得a，由上可得a＜﹣1，故选：A．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．10．（3分）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2021的坐标为（　　）A．（﹣22020，22020） B．（22021，22021） C．（22020，22020） D．（﹣22011，22021）【分析】每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，故A2021在第四象限，且OA2021＝22021，画出示意图，即可得到答案．【解答】解：由已知可得：第一次旋转后，A1在第一象限，OA1＝2，第二次旋转后，A2在第二象限，OA2＝22，第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3＝23，第四次旋转后，A4在第三象限，OA4＝24，第五次旋转后，A5在第四象限，OA5＝25，第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6＝26，.....．如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而2021＝6×336+5，∴A2021在第四象限，且OA2021＝22021，示意图如下：OHOA2021＝22020，A2021HOH22020，∴A2021（22020，22020），故选：C．【点评】本题考查旋转变换，涉及等边三角形、30°的直角三角形等知识，解题的关键是确定A2021所在的象限．二、填空题（每题3分，共15分）11．（3分）方程x（x﹣2）＝0的解为　x1＝0，x2＝2　．【分析】根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”进行求解．【解答】解：由x（x﹣2）＝0，得x＝0，x﹣2＝0解得x1＝0，x2＝2．故答案为：x1＝0，x2＝2．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．12．（3分）若将抛物线y＝x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式是　y＝x2﹣2　．【分析】求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式形式写出即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2向下平移2个单位的顶点坐标为（0，﹣2），∴所得抛物线的表达式为：y＝x2﹣2．故答案为：y＝x2﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．13．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（3，2）绕原点O按顺时针方向旋转90°后，其对应点A′的坐标是　（2，﹣3）　．【分析】根据题意作出A旋转以后的点，根据△AOB≌△A′OC，即可确定坐标．【解答】解：如图，作AB⊥x轴于B，A′C⊥y轴于C，由题意可知，△AOB≌△A′OC，∴A′C＝AB＝2，OC＝OB＝3，∴点A′的坐标为：（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）．【点评】本题涉及图形的旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′，根据三角形全等的知识求出坐标．14．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣6t2+15t．汽车刹车后到停下来前进了 　9.375　m．【分析】根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论．【解答】解：∵s＝﹣6t2+15t，∴汽车刹车后到停下来前进了m，即9.375m．故答案为9.375．【点评】本题考查了二次函数的应用，利用配方法，求出二次函数的顶点式是解题的关键．15．（3分）已知二次函数的y＝ax2+bx+c （a≠0）图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③2a+b＝0；④a+b＜m （am+b） （m≠1的实数），其中正确的结论有　①③　．【分析】①由抛物线开口向下a＜0，抛物线和y轴的正半轴相交，c＞0，1＞0，b＞0，②令x＝﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，③1，即2a+b＝0，④把x＝m代入函数解析式中表示出对应的函数值，把x＝1代入解析式得到对应的解析式，根据图形可知x＝1时函数值最大，所以x＝1对应的函数值大于x＝m对应的函数值，化简得到不等式．【解答】解：①∵抛物线开口向下，抛物线和y轴的正半轴相交，∴a＜0，c＞0，∵1＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②令x＝﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，故②错误；③∵1，∴2a+b＝0，故③正确；④x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，x＝1对应的函数值为y＝a+b+c，又x＝1时函数取得最大值，∴a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm＝m（am+b），故④错误．故答案为①③．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．三、解答题（每题8分，共24分）16．解方程：3（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）＝0．【分析】通过提取公因式（2x﹣3）对等式的左边进行因式分解，然后解方程．【解答】解：由原方程，得（2x﹣3）（6x﹣9﹣2）＝0，即：（2x﹣3）（6x﹣11）＝0，则2x﹣3＝0或6x﹣11＝0，解得 x1，x2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法．此题利用了“提取公因式法”对代数式3（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）进行因式分解的．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0．（1）若k＝﹣6，求此方程的解；（2）若该方程无实数根，求k的取值范围．【分析】（1）把k＝﹣6代入方程，再进行求解即可；（2）方程无解，则Δ＜0，据此求出k的范围即可．【解答】解：（1）由题意得：x2﹣2x﹣6+2＝0，x2﹣2x﹣4＝0，x2﹣2x+1＝5，（x﹣1）2＝5，x﹣1，x＝1，x1＝1，x2＝1；（2）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0无解，∴Δ＝（﹣2）2﹣4（k+2）＜0，解得：k＞﹣1，∴k的取值范围为k＞﹣1．【点评】本题主要考查根的判别式，解答的关键是明确一元二次方程无解，则其Δ＜0．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，且点E恰好落在边BC上．（1）求证：AE平分∠CED；（2）连接BD，求证：∠DBC＝90°．【分析】（1）由旋转的性质得出AE＝AC，∠C＝∠AED，证出∠C＝∠AEC，则可得出结论；（2）由旋转的性质得出AE＝AC，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，证出∠AEC＝∠ADB，则可得出结论．【解答】证明：（1）∵将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，∴AE＝AC，∠C＝∠AED，∴∠C＝∠AEC，∴∠AED＝∠AEC，即AE平分∠CED；（2）如图，∵将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，∴AE＝AC，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，∴∠AEC＝∠ADB，∵∠AEC+∠AEB＝180°，∴∠ADB+∠AEB＝180°，∵∠DAE＝90°，∠DAE+∠AEB+∠ADE+∠DBE＝360°，∴∠DBE＝90°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．四、解答题（每题9分，共27分）19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，BD．（1）依题意补全图形；（2）若BC＝1，求线段BD的长．【分析】（1）根据题意，利用旋转的性质即可补全图形；（2）根据含30度角的直角三角形和旋转的性质可得AD＝AC，∠DAB＝90°，再利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∴AC，由旋转可知：∠DAC＝60°，AD＝AC，∴∠DAB＝∠DAC+∠∠AC＝90°，∴BD．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解决本题的关键．20．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE＝AD+BE．（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．【分析】（1）由已知推出∠ADC＝∠BEC＝90°，因为∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS可证明△ADC≌△CEB（AAS），依据全等三角形的性质可得到AD＝CE，CD＝BE，然后由ED＝DC+CE可得到问题的答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，最后由CE＝CD+DE可得到问题的答案．【解答】证明：（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∵DC+CE＝DE，∴AD+BE＝DE．（2）DE＝AD﹣BE，理由：∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键．21．渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？【分析】（1）根据利润＝销售量×（单价﹣成本），列出函数关系式即可，将x＝2代入函数关系式即可求解；（2）根据（1）求得的函数关系式进一步利用配方法求出答案即可；（3）首先由（2）中的函数得出降价x元时，每天要获得9750元的利润，进一步利用函数的性质得出答案．【解答】解：（1）由题意得：W＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，x＝2时，W＝（48﹣30﹣2）（500+50×2）＝9600（元），答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝﹣50x2+400x+9000，当降价2元时，工厂每天的利润为9600元；（2）由（1）得：W＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，∵﹣50＜0，∴x＝4时，W最大为9800，即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，解得：x1＝3，x2＝5，∵让利于民，∴x1＝3不合题意，舍去，∴定价应为48﹣5＝43（元），答：定价应为43元．【点评】此题考查二次函数的实际运用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数的性质解决问题．五、解答题（每题12分，共24分）22．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标．【分析】（1）将A与B的坐标代入抛物线的解析式即可求出b与c的值，（2）根据图象即可求出y的取值范围，（3）设P（x，y），△PAB的高为|y|，AB＝4，由S△PAB＝10列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，物线的对称轴为x＝1，开口向下，y的最大值为4，如图，∴0＜x＜3时，0＜y≤4；（3）设P（x，y），∴△PAB的高为|y|，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∴，解得y＝±5，当y＝5时，5＝﹣x2+2x+3，此时方程无解，当y＝﹣5时，﹣5＝﹣x2+2x+3，解得x1＝4，x2＝﹣2，∴P（4，﹣5）或P（﹣2，﹣5）．【点评】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．23．已知△ABC是等边三角形．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．①如图a，当θ＝20°时，△ABD与△ACE是否全等？　是　（填“是”或“否”），∠BOE＝　120　度；②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B'和C'，使AB'＝AC'，连接B′C′，将△AB'C'绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．【分析】（1）①根据旋转变换的性质以及等边三角形的性质可得AB＝AD＝AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD与△ACE全等；根据三角形的内角和等于180°求出∠ABD与∠AEC的度数，再根据旋转角为20°求出∠BAE的度数，然后利用四边形的内角和公式求解即可；②先利用“边角边”证明△BAD和△CAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠AEC，再利用四边形ABOE的内角和等于360°推出∠BOE+∠DAE＝180°，再根据等边三角形的每一个角都是60°得到∠DAE＝60°，从而得解；（2）先求出B′C′∥BC，证明△AB′C′是等边三角形，再根据旋转变换的性质可得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABD＝∠ACE，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的度数，然后分0°＜θ≤30°与30°＜θ＜180°两种情况求解．【解答】解：（1）①∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到，△ABC是等边三角形，∴AB＝AD＝AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝20°，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；∵θ＝20°，∴∠ABD＝∠AEC（180°﹣20°）＝80°，又∵∠BAE＝θ+∠BAC＝20°+60°＝80°，∴在四边形ABOE中，∠BOE＝360°﹣80°﹣80°﹣80°＝120°；故答案为：是，120；②由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形，∴AB＝AD＝AC＝AE，∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到的，∴∠BAD＝∠CAE＝θ，∴△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠AEC，∵∠ADB+∠ABD+∠BAD＝180°，∴∠AEC+∠ABD+∠BAD＝180°，∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE＝360°，∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∴∠DAE+∠BOE＝180°，又∵∠DAE＝60°，∴∠BOE＝120°；（2）如图，∵ABAB′，ACAC′，∴，∴B′C′∥BC，∵△ABC是等边三角形，∴△AB′C′是等边三角形，根据旋转变换的性质可得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），＝180°﹣（∠OBC+∠ACB+∠ACE），＝180°﹣（∠OBC+∠ACB+∠ABD），＝180°﹣（∠ACB+∠ABC），＝180°﹣（60°+60°），＝60°，当0°＜θ＜30°时，∠BOE＝∠BOC＝60°，当θ＝30°时，点B，点O，点E共线．当30°＜θ＜180°时，∠BOE＝180°﹣∠BOC＝180°﹣60°＝120°．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据旋转变换的性质找出证明全等三角形的条件是解题的关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/30 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