2022-2023学年福建省龙岩市上杭县城区初中八年级（上）期中数学试卷

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2022-2023学年福建省龙岩市上杭县城区初中八年级（上）期中数学试卷一．选择题。（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题的四个选项中只有一项符合题目要求）1．（4分）下列图案中，属于轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．2．（4分）六边形的外角和为（　　）A．360° B．540° C．720° D．1080°3．（4分）以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（　　）A．1，1，2 B．2，3，6 C．3，4，5 D．4，4，94．（4分）一个正多边形的每一个外角为40°，则此正多边形的边数为（　　）A．8 B．9 C．10 D．125．（4分）已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为（　　）A．7 B．9 C．9或12 D．126．（4分）如图，已知AB＝AD，BC＝DC，那么判定△ABC≌△ADC的依据是（　　）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS7．（4分）如图，△ABC≌△ADE，点D在边BC上，若∠B＝70°，则∠CAE的度数是（　　）A．45° B．40° C．35° D．30°8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，AB＝10cm，若BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE⊥AB于点E，则△ADE的周长为（　　）A．8 B．10 C．12 D．149．（4分）如图，AB＝AC，∠A＝60°，AE＝EC＝CD，则下列结论错误的是（　　）A．△ABC是等边三角形 B． C．BE⊥AC D．DE＝BF10．（4分）如图，∠AOB＝35°，点C，D在∠AOB内部，连接OC，OD，CD，在射线OA上取一点E，在射线OB上取一点F，连接CE，EF，FD，得到四边形CEFD，若OC＝OD＝5，CD＝1，∠COD＝10°，则四边形CEFD周长最小值是（　　）A．5 B．6 C．7 D．11二．填空题。（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，则∠B＝　 　．12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于D，则BD＝　 　．13．（4分）假定某天上午你在镜子里看到的时钟如图所示，则此时真正时间是 　 　．14．（4分）如图，EB⊥AC于点B，AB＝DB＝3，AE＝CD，BC＝5，则DE的长为 　 　．15．（4分）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于　 　度．16．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（2，0），C（a，b），若点C满足|a+b|＜4，且△ABC为等腰直角三角形，则符合题意的点C共有 　 　个．三．解答题。（本大题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝50°，BD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．18．（8分）已知一个多边形的内角和是1080°，求这个多边形的边数．19．（8分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）直接写出A，B，C的坐标：A　 　，B　 　，C　 　，并画出△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'（不写画法）；（2）在x轴上求作一点P，连接PA，PB，若点P满足PA+PB有最小值，请你在x轴上作出点P的位置，并直接写出点P的坐标为（ 　 　，　 　）．21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD．（1）请你按题意把图形补充完整（尺规作图，不写作法，需保留作图痕迹）；（2）若AB＝6，BC＝4，求△DBC的周长．22．（10分）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向．（1）求B处到灯塔C的距离；（2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．23．（10分）如图，在等边△ABC中，点M在AB边上运动，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN，MN交AC于点P，过M作MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝4，请问：在点M运动的过程中，线段PH的长是否发生变化？如果不变，请你求出PH的长；如果变化，试说明理由．24．（12分）综合与实践：动手操作：某校八（1）班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后，利用手头上的一副三角板，他们将一块直角三角板DOE（DOE＝90°，∠E＝30°）的直角顶点O放置在另一块直角三角板ABC（∠C＝90°，AC＝BC）斜边AB的中点处，并将三角板DOE绕点O任意旋转．发现结论：（1）如图1，三角板DOE的两边DO，EO分别与另一块三角板的边AC，BC交于点P，Q（规定：此时点P，Q均在边AC，BC上运动），他们在旋转过程中，发现线段AP与CQ的长总相等及四边形OPCQ的面积不会发生变化．问题解决：①请你帮他们说明AP＝CQ的理由；②若AB＝12cm，请你帮他们求出四边形OPCQ的面积．拓展延申：（2）如图2，连接CD，当AB＝12cm，DE＝14cm时，那么直角三角板DOE在绕点O旋转一周的过程中，请你直接写出线段CD长的最小值和最大值．25．（14分）数学活动课上老师出示如下问题，供同学们探究讨论：如图，在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是线段BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在线段BE上截取BA＝BC，连接AC．试探究线段AE，BF，CD之间的数量关系．小敏与同桌小聪经过深入的思考讨论后，进行了如下探究：特殊入手，探索结论：（1）①如图1，若点C与点D重合，即线段CD＝0，观察此时线段AE，BF之间的数量关系是AE＝BF，即有：AE＝BF+CD，请你说明AE＝BF的理由；特例启发，猜测结论：②若点C不与点D重合，猜测线段AE，BF，CD之间的数量关系是 　 　，并给予证明；完成上面的问题后，老师继续提出下列问题，请同学们探究讨论：深入探究，拓展结论：（2）在上面的问题中，若把“点C是线段BD上的一个动点”改为“点C是射线BD上的一个动点，其它条件都不变．”，则当点C在线段BD的延长线上时，请你用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（自行画图探究，直接写出结果，不需要证明）．2022-2023学年福建省龙岩市上杭县城区初中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题。（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题的四个选项中只有一项符合题目要求）1．（4分）下列图案中，属于轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（4分）六边形的外角和为（　　）A．360° B．540° C．720° D．1080°【分析】根据多边形的外角和为360°直接得出答案．【解答】解：由多边形的外角和为360°可知，六边形的外角和为360°，故选：A．【点评】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是360°是正确判断的前提．3．（4分）以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（　　）A．1，1，2 B．2，3，6 C．3，4，5 D．4，4，9【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【解答】解：A、1+1＝2，不能构成三角形；B、2+3＜6，不能构成三角形；C、3+4＞5，能构成三角形．D、4+4＜9，不能构成三角形．故选：C．【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．4．（4分）一个正多边形的每一个外角为40°，则此正多边形的边数为（　　）A．8 B．9 C．10 D．12【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【解答】解：设正多边形的边数为n，多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得40，解得n＝9．故选：B．【点评】本题考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°．解答这类题往往一些学生因对正多边形的外角和知识不明确，将多边形外角和与内角和相混淆而造成错误计算，误选其它选项．5．（4分）已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为（　　）A．7 B．9 C．9或12 D．12【分析】根据2和5可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分类讨论求解．【解答】解：当2为腰时，三边为2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2＝12．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系定理．关键是根据2，5，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．6．（4分）如图，已知AB＝AD，BC＝DC，那么判定△ABC≌△ADC的依据是（　　）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB＝AD，BC＝DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC．【解答】解：在△ADC和△ABC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．7．（4分）如图，△ABC≌△ADE，点D在边BC上，若∠B＝70°，则∠CAE的度数是（　　）A．45° B．40° C．35° D．30°【分析】由△ABC≌△ADE可得AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，由等腰三角形的性质可得∠B＝∠ADB＝70°，即可求解．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∴∠B＝∠ADB＝70°，∴∠BAD＝40°＝∠CAE，故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，AB＝10cm，若BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE⊥AB于点E，则△ADE的周长为（　　）A．8 B．10 C．12 D．14【分析】利用角平分线的性质可得DE＝DC，然后利用HL证明Rt△DEB≌Rt△DCB，从而利用全等三角形的性质可得BC＝BE＝6cm，进而可得AE＝4cm，最后利用等量代换可得△ADE的周长＝AC+AE，进行计算即可解答．【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE＝DC，在Rt△DEB和Rt△DCB中，，∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL），∴BC＝BE＝6cm，∵AB＝10cm，∴AE＝AB﹣BE＝4（cm），∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DC+AE＝AC+AE＝12（cm），故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．9．（4分）如图，AB＝AC，∠A＝60°，AE＝EC＝CD，则下列结论错误的是（　　）A．△ABC是等边三角形 B． C．BE⊥AC D．DE＝BF【分析】由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可得△ABC是等边三角形，故A正确；由“三线合一”可得BE⊥AC，故B正确；由EC＝CD，可知，∠D＝∠DEC＝30°，所以∠DFA＝90°，在Rt△AEF中，由含30°的直角三角形的三边关系可知，AFAEACBC，故B正确；由题可判断△BED是等腰三角形，则BE＝DE，在Rt△BEF中，显然BE≠BF，由此可得出结论．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，即选项A正确，不符合题意；∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC，∵AE＝EC，∴BE⊥AC且BE平分∠ABC，即选项C正确，不符合题意；∵EC＝CD，∴∠D＝∠DEC＝30°，∴∠AEF＝∠DEC＝30°，∴∠DFA＝90°，∴AFAEACBC，即选项B正确，不符合题意，∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠ABE＝30°，∴∠DBE＝∠D＝30°，∴BE＝DE，在Rt△BEF中，∠BFE＝90°，∴BE＝DE＞BF，故D错误，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含30°的直角三角形的三边关系等相关知识，熟知相关性质与判定是解题关键．10．（4分）如图，∠AOB＝35°，点C，D在∠AOB内部，连接OC，OD，CD，在射线OA上取一点E，在射线OB上取一点F，连接CE，EF，FD，得到四边形CEFD，若OC＝OD＝5，CD＝1，∠COD＝10°，则四边形CEFD周长最小值是（　　）A．5 B．6 C．7 D．11【分析】作C关于OA的对称点C′，D关于OB的对称点D′，连接OC′，OD′，CD′，CE，DF，判断出△C′OD′是等边三角形．四边形CEFD周长最小值是C′D′与CD的和．【解答】解：作C关于OA的对称点C′，D关于OB的对称点D′，连接OC′，OD′，CD′，CE，DF．∴EC＝EC′，FD＝FD′，当C′、E、F、D′共线时，CE+EF+FD最短．∵∠AOB＝35°，∠COD＝10°，∴∠AOC+∠BOD＝35°﹣10°＝25°，由对称性可知，∠C′OA＝∠AOC，∠D′OB＝∠DOB，∴∠C′OA+∠D′OB＝25°，∴∠C′OD′＝25°×2+10°＝60°．∴C′D′＝OC′＝5，∴四边形CEFD周长最小值是C′D′+CD＝5+1＝6．故选B．【点评】本题考查轴对称—最短路径问题，作出对称点，找到最短路径是解题的关键．二．填空题。（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，则∠B＝　50°　．【分析】根据三角形内角和定理解答即可．【解答】解：因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，所以∠B＝50°，故答案为：50°．【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据三角形内角和是180°解答．12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于D，则BD＝　3　．【分析】直接根据等腰三角形“三线合一”的性质进行解答即可．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于D，∴BDBC6＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．13．（4分）假定某天上午你在镜子里看到的时钟如图所示，则此时真正时间是 　9：25　．【分析】镜面图形与实际图形互为轴对称图形．钟表的时针实际指向9和10之间，分针指向25．【解答】解：作对称图形如下：则此时的准确时间是9：25．故答案为：9：25．【点评】本题考查的是轴对称的性质，掌握其性质是解决此题的的关键．14．（4分）如图，EB⊥AC于点B，AB＝DB＝3，AE＝CD，BC＝5，则DE的长为 　2　．【分析】证明Rt△ABE≌Rt△DBC（HL），可得BE＝BC＝5，进而根据线段的和差即可解决问题．【解答】解：∵EB⊥AC，∴∠ABE＝∠DBC＝90°，在Rt△ABE和Rt△DBC中，，∴Rt△ABE≌Rt△DBC（HL），∴BE＝BC＝5，∴DE＝BE﹣BD＝5﹣3＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．15．（4分）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于　108　度．【分析】根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，∠4，根据等腰三角形的内角和，可得∠7，根据角的和差，可得答案．【解答】解：如图，由正五边形的内角和，得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝108°，∠5＝∠6＝180°﹣108°＝72°，∠7＝180°﹣72°﹣72°＝36°．∠AOB＝360°﹣108°﹣108°﹣36°＝108°，故答案为：108．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角是解题关键．16．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（2，0），C（a，b），若点C满足|a+b|＜4，且△ABC为等腰直角三角形，则符合题意的点C共有 　4　个．【分析】根据题意，分三种情况讨论：①AB为腰，∠BAC＝90°；②AB为腰，∠ABC＝90°；③AB为斜边，∠ACB＝90°；确定符合条件的点C个数，再根据|a+b|＜4，便可解答．【解答】解：如图，①以AB为腰，∠BAC＝90°，则C1（﹣1，3），C2（﹣1，﹣3）；②AB为腰，∠ABC＝90°，则C3（2，3），C4（2，﹣3）；③AB为斜边，∠ACB＝90°，则C5（0.5，1.5），C6（0.5，﹣1.5）；∵|a+b|＜4，∴C2（﹣1，﹣3）和C3（2，3）不符合题意，其他4个符合题意．故答案为：4．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．三．解答题。（本大题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝50°，BD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．【分析】根据三角形的内角和定理，由∠A＝70°，∠C＝50°，得∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣70°﹣50°＝60°．根据角平分线的定义，由BD是△ABC的角平分线，得∠DBC30°．再根据三角形外角的性质，得∠ADB＝∠DBC+∠C＝30°+50°＝80°．【解答】解：∵∠A＝70°，∠C＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣70°﹣50°＝60°．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBC30°．∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝30°+50°＝80°．【点评】本题主要考查三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理以及三角形外角的性质是解决本题的关键．18．（8分）已知一个多边形的内角和是1080°，求这个多边形的边数．【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数n．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180°＝1080°解得：n＝8．故这个多边形的边数是八．【点评】考查了多边形内角与外角，已知多边形的内角和求边数，可以转化为解方程的问题解决．19．（8分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．【分析】利用SAS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠A＝∠D．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABC≌△DEF是解题的关键．20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）直接写出A，B，C的坐标：A　（4，3）　，B　（﹣1，2）　，C　（1，﹣1）　，并画出△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'（不写画法）；（2）在x轴上求作一点P，连接PA，PB，若点P满足PA+PB有最小值，请你在x轴上作出点P的位置，并直接写出点P的坐标为（ 　1　，　0　）．【分析】（1）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标；分别作出各点关于y轴的对称点A′，B′，C′，连接△A′B′C′即可；（2）作点B关于x轴的对称点B1，连接AB1交x轴于点P，则点P即为所求．【解答】解：（1）A，B，C的坐标：A（4，3），B（﹣1，2），C（1，﹣1）．△A′B′C′如图所示．故答案为：（4，3），（﹣1，2），（1，﹣1）；（2）点P的位置如图，P（1，0）．故答案为：1，0．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解题的关键．21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD．（1）请你按题意把图形补充完整（尺规作图，不写作法，需保留作图痕迹）；（2）若AB＝6，BC＝4，求△DBC的周长．【分析】（1）利用基本作图作AB的垂直平分线即可；（2）先根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，然后利用等线段代换得到△DBC的周长＝AB+BC．【解答】解：（1）如图，DE为所作；（2）∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴△DBC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝AB+BC＝6+4＝10．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．22．（10分）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向．（1）求B处到灯塔C的距离；（2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．【分析】（1）根据已知条件得到∠C＝30°﹣15°＝15°，求得∠BAC＝∠C，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）根据题意得∠BAC＝90°﹣75°＝15°，∠CBE＝90°﹣60°＝30°，AB＝15×2＝30（海里），∴∠C＝30°﹣15°＝15°，∴∠BAC＝∠C，∴BC＝AB＝30（海里），答：B处到灯塔C的距离为30海里；（2）过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，∵∠CBD＝30°，BC＝30（海里），∴CDBC＝15（海里），∵15＜16，∴若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角，正确地作出辅助线是解题的关键．23．（10分）如图，在等边△ABC中，点M在AB边上运动，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN，MN交AC于点P，过M作MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝4，请问：在点M运动的过程中，线段PH的长是否发生变化？如果不变，请你求出PH的长；如果变化，试说明理由．【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；（2）由等边三角形的性质可知AH＝HQ，再由全等三角形的性质可知QP＝PC，即可解决问题．【解答】（1）证明：如图，过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：在点M运动的过程中，线段PH的长不发生变化，理由如下：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QPAC，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，∴PH＝2，即在点M运动的过程中，线段PH的长不发生变化，PH的长为2．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．24．（12分）综合与实践：动手操作：某校八（1）班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后，利用手头上的一副三角板，他们将一块直角三角板DOE（DOE＝90°，∠E＝30°）的直角顶点O放置在另一块直角三角板ABC（∠C＝90°，AC＝BC）斜边AB的中点处，并将三角板DOE绕点O任意旋转．发现结论：（1）如图1，三角板DOE的两边DO，EO分别与另一块三角板的边AC，BC交于点P，Q（规定：此时点P，Q均在边AC，BC上运动），他们在旋转过程中，发现线段AP与CQ的长总相等及四边形OPCQ的面积不会发生变化．问题解决：①请你帮他们说明AP＝CQ的理由；②若AB＝12cm，请你帮他们求出四边形OPCQ的面积．拓展延申：（2）如图2，连接CD，当AB＝12cm，DE＝14cm时，那么直角三角板DOE在绕点O旋转一周的过程中，请你直接写出线段CD长的最小值和最大值．【分析】（1）①连接CO，根据等腰直角三角形的性质得到；∠BCO＝∠A＝45°，CO⊥AB，根据全等三角形的性质得到AP＝CQ；②根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论；（2）如图2，当点D，C，O在一条直线上，且点C在点D和点O之间时，线段CD长的最小，如图3，当点D，C，O在一条直线上，且点，O在点D和点C之间时，线段CD长的最大，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）①理由是：连接CO，∵△ABC是等腰直角三角形，O是AB的中点，∴；∠BCO＝∠A＝45°，CO⊥AB，∵∠DOE＝90°∴∠AOP＝∠COQ，在△AOP和△COQ中，，∴△AOP≌△COQ（ASA），∴AP＝CQ；即：AP与CQ的长总相等；②∵△AOP≌△COQ，∴S△AOP＝S△COQ，∴S四边形CPOQ＝S△COQ+S△COP＝S△AOP+S△COP＝S△AOC，∵，∴S四边形CPOQ＝18即：四边形OPCQ的面积总是一个定值为18；（2）如图2，当点D，C，O在一条直线上，且点C在点D和点O之间时，线段CD长的最小，∵∠DOE＝90°，∠E＝30°，DE＝14cm，∴ODDE＝7cm，∵AB＝12cm，∴OCAB＝6cm，∴线段CD长的最小值为OD﹣OC＝1；如图3，当点D，C，O在一条直线上，且点，O在点D和点C之间时，线段CD长的最大，∵∠DOE＝90°，∠E＝30°，DE＝14cm，∴ODDE＝7cm，∵AB＝12cm，∴OCAB＝6cm，∴线段CD长的最大值为OD+OC＝7+6＝13（cm）．【点评】本题是四边形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，正确地作出图形是解题的关键．25．（14分）数学活动课上老师出示如下问题，供同学们探究讨论：如图，在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是线段BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在线段BE上截取BA＝BC，连接AC．试探究线段AE，BF，CD之间的数量关系．小敏与同桌小聪经过深入的思考讨论后，进行了如下探究：特殊入手，探索结论：（1）①如图1，若点C与点D重合，即线段CD＝0，观察此时线段AE，BF之间的数量关系是AE＝BF，即有：AE＝BF+CD，请你说明AE＝BF的理由；特例启发，猜测结论：②若点C不与点D重合，猜测线段AE，BF，CD之间的数量关系是 　AE＝BF+CD　，并给予证明；完成上面的问题后，老师继续提出下列问题，请同学们探究讨论：深入探究，拓展结论：（2）在上面的问题中，若把“点C是线段BD上的一个动点”改为“点C是射线BD上的一个动点，其它条件都不变．”，则当点C在线段BD的延长线上时，请你用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（自行画图探究，直接写出结果，不需要证明）．【分析】（1）①如图1，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，过D作DG⊥EF于G，由等边三角形的性质得到EG＝FG，AG＝BG，进而利用线段的和差即可得到结论；②在BE上截取BG＝BD，连接DG，得到△GBD是等边三角形，由①得GE＝BF，根据线段的和差即可得到结论；（2）分两种情况画图解答：①如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；②如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．【解答】解：（1）①AE＝BF，理由是：∵BA＝BC，∠EBD＝60°，∴△ABC是等边三角形，如图，过D作DG⊥EF于G，∴EG＝FG，AG＝BG，∴EG﹣AG＝FG﹣BG，∴AE＝BF；②AE＝BF+CD，证明：如图，在BE上截取BG＝BD，连接DG，∵BA＝BC，∴BG﹣BA＝BD﹣BC，∴AG＝CD，∵∠EBD＝60°，BG＝BD，∴△GBD是等边三角形，∴由（1）的结论可得：EG＝BF，∴AE＝EG+AG＝BF+CD；故答案为：AE＝BF+CD；（2）根据题意分两种情况：①当BC＜BE时，数量关系是：BF＝AE+CD，理由如下：如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，∴AE＝EG﹣AG，∴AE＝BF﹣CD；②当BC＞BE时，数量关系是：CD＝AE+BF，理由如下：如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，∴AE＝AG﹣EG，∴AE＝CD﹣BF．【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/30 21:55:37；用户：刘世阳；邮箱：zhaoxia41@xyh.com；学号：39428214