期中模拟试题（一）-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（人教A版2019）

2020-2021学年高一数学下学期期中

模拟试题（一）

一．选择题

1．已知复数满足为虚数单位），则　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，

得，

故选B．

2．已知复数满足，则　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，

故选D．

3．已知，则复数　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，

，

，

故选C．

4．已知，两点，且，则点的坐标为　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，则，，

，

，，，即，，，

故，

解得，，

所以．

故选C．

5．已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，设与的夹角为，

若向量在向量上的投影向量为，

则，则有，

又，所以，

故选B．

6．已知是边长为4的等边三角形，为BC的中点，点在边AC上，设AD与BE交于点，则　　

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】C

【解析】因为是边长为4的等边三角形，为的中点，

所以，

由数量积的几何意义可知．

故选C．

7．已知，分别是正方体的棱，上的动点（不与顶点重合），则下列结论错误的是　　

A． B．平面平面 

C．四面体的体积为定值 D．平面

【答案】C

【解析】，分别是正方体的棱，上的动点（不与顶点重合），

对于，，，，、平面，

平面，

平面，，故正确；

对于，平面平面，平面与平面重合，

平面平面，故正确；

对于，到平面的距离为定值，到的距离为定值，

的长不是定值，四面体的体积不为定值，故错误；

对于，平面平面，平面，

平面，故正确．

故选C．

8．所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，

底面中心到顶点的距离为：；所以外接球的半径为：．

所以外接球的表面积为：．

故选C．

二．多选题

9．已知向量，，则　　

A． 

B．向量在向量上的投影向量为 

C．与的夹角余弦值为 

D．若，则

【答案】BCD

【解析】对于，向量，，所以，且，所以与不平行，错误；

对于，向量在向量上的投影向量为，所以正确；

对于，因为，所以，，所以正确；

对于，因为，所以，所以，选项正确．

故选BCD．

10．在中，如下判断正确的是　　

A．若，则为等腰三角形 

B．若，则 

C．若为锐角三角形，则 

D．若，则

【答案】BCD

【解析】，，，

或，或，

则为等腰或直角三角形． 故错误．

，，，，故正确．

为锐角三角形，为锐角，，，，，故正确．

，，，，故正确．

故选BCD．

11．如图，在正方体中，点，分别是棱，上异于端点的两个动点，且，则下列说法正确的是　　

A．三棱锥的体积为定值 

B．对于任意位置的点，平面与平面所成的交线均为平行关系 

C．的最小值为 

D．对于任意位置的点，均有平面平面

【答案】BD

【解析】对于，，面积不定，

而到平面的距离为定值，

不是定值，故错误；

对于，由于平面，则经过直线的平面与的所有交线均与平行，

根据平行的传递性，可得所有的交线也平行，故正确；

对于，设正方体棱长为1，，

则，，

则，

，故错误；

对于，由题意得直线与平面垂直，

对于任意位置的点，均有平面平面，故正确．

故选BD．

12．在棱长为2的正方体中，，分别为AB，的中点，则　　

A． 

B．平面 

C．平面 

D．过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为

【答案】BC

【解析】对于，，是与所成角（或所成角）的补角，

，，与不垂直，故错误；

对于，取中点，连接，，则，，

，，平面平面，

平面，平面，故正确；

对于，，，，

、平面，

平面，平面，，

同理，

，、平面，

平面，故正确；

对于，取中点，连接、，

则，，

，，平面平面，

平面，平面，

过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面为矩形，

，，

过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为，故错误．

故选BC．

三．填空题

13．己知是虚数单位，复数，则的虚部为　　．

【答案】

【解析】，

则的虚部为，

故答案为：．

14．已知向量，，若，则　　．

【答案】

【解析】，，解得，则，

，

．

故答案为：．

15．设，，向量，若且，则的值是　　．

【答案】3

【解析】因为，所以．又因为，所以，．

于是．

故答案为：3．

16．如图，在中，，，分别取三边的中点，，，将，，分别沿三条中位线折起，使得，，重合于点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，其外接球的半径为　　，三棱锥的体积为　　．

【答案】；．

【解析】由题意可知三棱锥的对棱分别相等，设，则，

将三棱锥补成长方体，则面对角线长度分别为：，，4，

三棱锥的外接球就是长方体的外接球，

长方体的长宽高分别为：，，，则，，．

所以，所以外接球的半径为：，

当时，外接球半径取得最小值，外接球的体积取得最小值，

此时，解得，，

所以三棱锥的体积为：．

故答案为：；．

四．解答题

17．已知，，．

（1）若，求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）或4．

【解析】（1），所以有，

（2）即可，解得或4．

18．已知复数，，为虚数单位．

（1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围；

（2）若，求的共轭复数．

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）复数，，

所以；

由该复数在复平面上对应的点在第四象限，

所以，

解得，

所以实数的取值范围是，；

（2）化简，

的共轭复数．

19．在中，角，，的对边分别为，，，．

（1）求；

（2）若，求的面积的最大值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为，

所以．

即，

由正弦定理得，

由余弦定理，

由为三角形内角得；

（2），

故，，

，

，

，

，

，

因为，

所以，

故，

所以．

故的面积的最大值．

20．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，点，，，．

（1）若，，求的最小值；

（2）若向量与向量共线，常数，求的值域．

【答案】（1）；（2）当时的值域为；时的值域为，．

【解析】（1），，

时，取最小值为；

（2），向量与向量共线，常数，

，，

①当即时，当时，取得最大值；时，取得最小值，此时函数的值域为．

②当即时，当时，取得最大值；时，取得最小值，此时函数的值域为，．

综上所述，当时的值域为；时的值域为，．

21．如图，在四边形中，，，，，为上的点且，若平面，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求四棱锥的侧面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：取的中点为，连结，，

因为为的中点，所以，

又因为平面，平面，所以平面，

又因为，，，所以，，

所以四边形是平行四边形，所以，

又因为平面，平面，所以平面，

又，，平面，所以平面平面，

又因为平面，所以平面；

（2）解：因为，所以，

又因为平面，所以，

又，，平面，所以平面，

又平面，所以，

所以，，为直角三角形，

因为，，，，

所以，

所以，

所以四棱锥的侧面积为．

22．如图，在三棱锥中，，，，为棱上一点，，棱的中点在平面上的射影在线段上．

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：如图，取的中点，连接，

，为的中点，则，

，，则，

又点在平面上的射影在线段上，平面，

而平面，，

，、平面，

平面；

（2）解：平面，平面，，

点为棱的中点，，，

又，、平面，平面，

而平面，，

，，，

，，，

在中，由，得，

，即，

，

．

三棱锥的体积为．