期中模拟试题（二）-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（人教A版2019）

2020-2021学年高一数学下学期期中

模拟试题（二）

一．选择题

1．已知向量，，是线段AB的中点，则点的坐标是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由线段的中点公式可得，，故点的坐标是，

故选B．

2．若复数满足，则　　

A． B． C．5 D．

【答案】D

【解析】由，

得，

，

则．

故选D．

3．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为　　

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】由，

得，

复数的虚部为．

故选A．

4．复数的共轭复数的虚部为　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

，

复数的共轭复数的虚部为，

故选D．

5．已知向量，满足，，则向量，的夹角为　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，设向量，的夹角为，

若，则，，

若，则，

解可得，

又由，故，

故选C．

6．已知向量，，且，则　　

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】A

【解析】向量，，且，

可得，解得，

所以，，

所以．

故选A．

7．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是　　

A．，，， B．，， 

C．， D．，

【答案】D

【解析】，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，

对于，，，，，也可能相交，所以不正确；

对于，，，也可能异面，所以不正确；

对于，，有可能，所以不正确；

对于，，，满足直线与平面垂直的性质，所以正确．

故选D．

8．四面体中，面ABC，，，，则四面体外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设外接圆的圆心为，四面体外接球的球心为，半径为，

连接，，，

由正弦定理可得，即，，，

即四面体外接球的表面积为，

故选A．

二．多选题

9．是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论正确的是　　

A．是单位向量 B． C． D．

【答案】ABD

【解析】．，由得，，是单位向量，该选项正确；

．，，该选项正确；

，由得，，即，，该选项错误；

．，由上面得，，，该选项正确．

故选ABD．

10．在中，角，，所对的边分别为，，．若，角的角平分线交BC于点，，，以下结论正确的是　　

A． B． 

C． D．的面积为

【答案】ACD

【解析】因为，

由正弦定理可得，，

所以，

因为，

所以即，

，

 由角平分线定理可得，，

设，，则，，

中，由勾股定理可得，，

解可得，即，，

，

所以．

故选ACD．

11．在正方体中，为底面ABCD的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段AP的中点，则　　

A．与是异面直线 

B．存在点使得平面 

C．平面平面 

D．过，，三点的正方体的截面一定是等腰梯形

【答案】BCD

【解析】对于，因为，，共线，又，交于点，即，，，共面，因此与共面，故选项不正确；

对于，当为的中点时，平面，故选项正确；

对于，，，，，平面，

平面，平面，

平面平面，故选项正确；

对于，过，，三点的正方体的截面与相交于点，则，且，因此一定是等腰梯形，故选项正确．

故选BCD．

12．在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则　　

A． 

B．平面 

C．平面 

D．过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为

【答案】BC

【解析】对于，，是与所成角（或所成角）的补角，

，，与不垂直，故错误；

对于，取中点，连接，，则，，

，，平面平面，

平面，平面，故正确；

对于，，，，

、平面，

平面，平面，，

同理，

，、平面，

平面，故正确；

对于，取中点，连接、，

则，，

，，平面平面，

平面，平面，

过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面为矩形，

，，

过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为，故错误．

故选：BC．

三．填空题

13．已知虚数单位，若复数的虚部为，则　　．

【答案】

【解析】，

复数的虚部为，

，解得，

，

．

故答案为：．

14．已知向量，若向量与反向，且，则向量的坐标是　　．

【答案】

【解析】因为：向量，

，

向量与反向，且

．

故答案为：．

15．已知向量，，且，则　　．

【答案】1

【解析】根据题意，向量，，则．

因为，所以，解得，

故答案为：1．

16．直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，，若球的表面积为，则这个三棱柱的体积为　　．

【答案】

【解析】设和△的外心分别为、，连接，

可得外接球的球心为的中点，连接、、、、、，

中，，

，，

根据正弦定理，得外接圆半径

球的表面积为，，，

△中，，可得，

直三棱柱的底面积，

直三棱柱的体积为．

故答案为：．

四．解答题

17．已知复满足为实数，为纯虚数，其中是虚数单位．

（1）求实数，的值；

（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2），.

【解析】（1）由，得，

，

再由题意可得：，解得；

（2）由（1）得，，

则

，

则，即．

实数的取值范围是，．

18．已知复数，，为虚数单位．

（1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围；

（2）若，求的共轭复数．

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）复数，，

所以；

由该复数在复平面上对应的点在第四象限，

所以，

解得，

所以实数的取值范围是，；

（2）化简，

的共轭复数．

19．（1）设，是正交单位向量，如果，，，若、、三点在一条直线上，且．求、的值．

（2）已知，，点在线段的延长线上，且，求点坐标．

【答案】（1）或；（2）.

【解析】（1）以为原点，， 的方向分别为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，

则，，，

，，

又，，三点在一条直线上，

，

，与联立，

解得或；

（2），，

，，设，

点在线段的延长线上，且，

，

即，，

，解得，．

．

20．如图，在四棱柱中，四边形是边长等于2的菱形，，平面，，分别是，的中点，交于点，点为的中点

（1）求证：平面；

（2）若与平面所成的角为，求三棱锥的表面积．

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】（1）连接，由于点为的中点，为的中点，所以，

由于平面，平面，

所以平面．

（2）连接，由于四边形为边长为2的菱形，．

所以为等边三角形．

所以，，且，

由于与平面所成的角为，且，

由于平面，

则：，

所以，

由于平面，平面，

所以．

又，，

，平面，

所以平面，

则：，

所以三棱锥的表面积为：．

21．已知的内角，，所对的边分别是，，，其面积．

（1）若，，求；

（2）求的最大值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），可得，

，可得，

，

，

，，

由正弦定理，可得，

又，为锐角，

．

（2），

令，则，

原式，，，

当时，，此时，原式的最大值为．

22．如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面．

（Ⅰ）证明：直线平面；

（Ⅱ）若，为线段的中点，求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（Ⅰ）证明：取的中点，连接，

为等边三角形，，

又平面，平面平面，平面平面，

平面，

平面，，

底面为正方形，，

，，平面，

平面；

（Ⅱ）解：，由（Ⅰ）得平面，

点到平面的距离，

底面为正方形，，

又平面，平面，

平面，

，两点到平面的距离相等，均为，

又为线段的中点．

点到平面的距离，

由（Ⅰ）知，平面，

平面，，

．

故三棱锥的体积为．