第六章 平面向量及其应用【知识梳理】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（人教A版2019）
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知识梳理
第六章 平面向量及其应用
一、向量的有关概念
名称 | 定义 |
向量 | 既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或称模) |
零向量 | 长度为零的向量叫作零向量，其方向是任意的，零向量记作0 |
单位向量 | 长度等于1个单位的向量 |
平行向量 | 表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这两个向量叫作平行向量，平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行 |
相等向量 | 长度相等且方向相同的向量 |
相反向量 | 长度相等且方向相反的向量 |
二、平面向量的线性运算
| 定义 | 法则(或几何意义) | 运算律 |
加 法 | 求两个向量和的运算 | 三角形法则 平行四边形法则 | (1)交换律:a+b=b+a; (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c) |
减 法 | 向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差 | —— | |
数 乘 | 实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa | (1)模:|λa|=|λ|·|a|; (2)方向: 当λ>0时,λa与a的方向相同; 当λ<0时,λa与a的方向相反; 当λ=0时,λa=0 | 设λ,μ是实数. (1)λ(μa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb |
三、共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.
四、平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
五、平面向量的数量积及坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=,a·b=|a|·|b|·cos<a,b>=x1x2+y1y2.
六、余弦定理及其推论
1.余弦定理
三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.
2.推论
cos A=,cos B=,cos C=.
七、正弦定理及其常见变形
1.正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即===2R(R为△ABC外接圆半径).
2.常见变形
a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,
sin A=,sin B=,sin C=,
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,
=2R.
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