2023届高考数学二轮复习专题1第2讲三角恒等变换与解三角形作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题1第2讲三角恒等变换与解三角形作业含答案，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二篇　专题一　第2讲　三角恒等变换与解三角形一、选择题1．已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα等于(　A　)A．　　 B．　　C．　　 D．【解析】由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以sin α＝＝＝.2．若sinα＝－，且a∈，则＝(　D　)A．　　 B．－　　C．2　　 D．－2【解析】sin α＝－，可得＝－，所以＝－，解得tan＝－3或tan ＝－，又a∈，∴∈，∴tan ＝－3，故＝＝－2.故选D.3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b＝2，且2acosB－acosC＝ccosA＋a－b，则△ABC面积的最大值是(　B　)A．　　 B．　　C．2　　 D．【解析】由正弦定理得：2sin A cos B－sin A cos C＝sin C cos A＋sin A－sin B，所以2sin A cos B＝sin (A＋C)＋sin A－sin B＝sin A，又由0＜A＜π，可得sin A＞0，则有cos B＝，又0＜B＜π，则sin B＝，由余弦定理得：cos B＝＝，所以a2＋c2＝ac＋4≥2ac，所以ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，则S△ABC＝ac sin B≤×4×＝，故选B.4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB＋bcosA＝2ccosC，c＝，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为(　D　)A．1＋　　 B．2＋C．4＋　　 D．5＋【解析】在△ABC中，a cos B＋b cos A＝2c cos C，则sin A cos B＋sin B cos A＝2sin C cos C，即sin (A＋B)＝2sin C cos C，∵sin (A＋B)＝sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝，由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，即(a＋b)2－3ab＝c2＝7，又S＝ab sin C＝ab＝，∴ab＝6，∴(a＋b)2＝7＋3ab＝25，即a＋b＝5，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.5．设α，β为锐角，且2α－β＝，＝1，则x＝(　A　)A．1　　 B．2　　C．　　 D．【解析】∵2α－β＝，∴β＝2α－，∴＝1，即＝1，∴x＝cos 2α＋tan αsin 2α＝cos 2α＋2sin2α＝1，故选A.6．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且(a－b)·sinA＝csinC－bsinB，若△ABC的面积为3，则c的最小值为(　A　)A．2　　 B．4　　C．2　　 D．4【解析】∵(a－b)·sin A＝c sin C－b sin B，∴a2－ab＝c2－b2，∴a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，∵0＜C＜π，∴C＝，∵S＝ab sin C＝3，∴ab＝12，∵c2＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝12(当且仅当a＝b＝2时取等号)，∴c≥2，∴c的最小值为2，故选A.7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是(　D　)A．cosC＝　　 B．sinB＝C．a＝3　　 D．S△ABC＝【解析】因为A＋3C＝π，A＋B＋C＝π，所以B＝2C.由正弦定理＝，得＝，即＝，所以cos C＝，故A错误；因为cos C＝，所以sin C＝，所以sin B＝sin 2C＝2sin Ccos C＝2××＝，故B错误；因为cos B＝cos 2C＝2cos2C－1＝－，所以sinA＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝×＋×＝，则cos A＝，所以a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(2)2＋32－2×2×3×＝1，所以a＝1，故C错误；S△ABC＝bc sin A＝×2×3×＝，故D正确．8．已知f(x)＝(1＋cos2x)sin2x(x∈R)，则下面结论不正确的是(　D　)A．f(x)的最小正周期T＝B．f(x)是偶函数C．f(x)的最大值为D．f(x)的最小正周期T＝π【解析】因为f(x)＝(1＋cos2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos4x)，∵f(－x)＝f(x)，∴T＝＝，f(x)的最大值为×2＝.故选D.二、填空题9．已知tan＝，则＝__－__．【解析】因为tan ＝，所以＝，即＝，解得tan α＝－，所以＝＝tanα－＝－.10．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且＝，则A＝____.【解析】由正弦定理＝＝，得＝，整理得b2－a2＝2ac sin B－c2，即b2＋c2－a2＝2ac sin B＝2bc sin A，由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bc cos A，∴2bc cos A＝2bc sin A，即cos A＝sin A，∴tan A＝1，∴A＝.11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝a，a＝2，c＝，则角C＝____．【解析】由b＝a，得sin B＝sin A.因为sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)，所以sin A cos C＋cos A sin C＝sin Acos C＋sin A sin C(sin C≠0)，所以cos A＝sin A，所以tan A＝.因为0＜A＜π，所以A＝.由正弦定理＝，得sin C＝.因为0＜C＜，所以C＝.12．(2022·山东省师范大学附中月考)在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，且4a2＝b2＋2c2，则的最大值为____．【解析】由题意知，4a2＝b2＋2c2⇒b2＝4a2－2c2＝a2＋c2－2ac cos B，整理，得2ac cos B＝－3a2＋3c2⇒cos B＝，因为＝＝＝，代入cosB＝，整理得＝－，令t＝，则＝－(9t2－22t＋9)＝－＋，所以≤，所以≤，故的最大值为.三、解答题13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sinCcosA＝2sinAsinB，2b＝3c.(1)求A；(2)若D是AB边的中点，CD＝，求△ABC的面积．【解析】(1)因为3sin C cos A＝2sin A sin B，由正弦定理，可得3c cos A＝2b sin A.结合2b＝3c，则有sin A＝cos A，所以tan A＝1，又因为A∈，所以A＝.(2)因为2b＝3c，D是AB边的中点，所以AD＝.在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2＋b2－2AD·b cos A，即()2＝＋b2－2··b cos ，解得b＝3或b＝－3(舍去)，则c＝2.故△ABC的面积S＝bc sin A＝×3×2×＝3.