高考专题2 第3讲 三角恒等变换与解三角形（学生版）

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考点一 三角恒等变换
1．三角求值“三大类型”
“给角求值”“给值求值”“给值求角”．
2．三角恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cs2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cs2α＝(sin2α＋cs2α)＋cs2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化．
【热点突破】
【典例】1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α等于( )
A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(5),9)
(2)已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β等于( )
A.eq \f(5π,12) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
【方法总结】
(1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．
(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．
【拓展训练】1 (1)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan α＝eq \f(cs 2β,1－sin 2β)，则( )
A．α＋β＝eq \f(π,2) B．α－β＝eq \f(π,4)
C．α＋β＝eq \f(π,4) D．α＋2β＝eq \f(π,2)
(2)(tan 10°－eq \r(3))·eq \f(cs 10°,sin 50°)＝________.
【要点提炼】
考点二 正弦定理、余弦定理
1．正弦定理：在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccs A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccs A，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc).
3．三角形的面积公式：S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A.
【热点突破】
考向1 求解三角形中的角、边
【典例】2 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(asin C,1－cs A)＝eq \r(3)c.
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝10，△ABC的面积S△ABC＝4eq \r(3)，求a的值．
考向2 求解三角形中的最值与范围问题
【典例】3 (2020·新高考测评联盟联考)在：①a＝eq \r(3)csin A－acs C，②(2a－b)sin A＋(2b－a)sin B＝2csin C这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝eq \r(3)，而且________．
(1)求角C；
(2)求△ABC周长的最大值．
【拓展训练】2 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为( )
A．4π B．2π C．π D.eq \f(π,2)
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝3B，则eq \f(a,b)的取值范围是( )
A．(0,3) B．(1,3) C．(0,1] D．(1,2]
(3)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tan C＝eq \f(12,5)，a＝b＝eq \r(13)，BC边上的中点为D，则sin∠BAC＝________，AD＝________.
专题训练
一、单项选择题
1．(2020·全国Ⅲ)在△ABC中，cs C＝eq \f(2,3)，AC＝4，BC＝3，则cs B等于( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
2．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(2),2)
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，eq \f(sin 2C,1－cs 2C)＝1，B＝eq \f(π,6)，则a的值为( )
A.eq \r(3)－1 B．2eq \r(3)＋2
C．2eq \r(3)－2 D.eq \r(2)＋eq \r(6)
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acs B＋bcs A＝2ccs C，c＝eq \r(7)，且△ABC的面积为eq \f(3\r(3),2)，则△ABC的周长为( )
A．1＋eq \r(7) B．2＋eq \r(7)
C．4＋eq \r(7) D．5＋eq \r(7)
5．若α，β都是锐角，且cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq \f(3,5)，则cs β等于( )
A.eq \f(2\r(5),25) B.eq \f(2\r(5),5)
C.eq \f(2\r(5),25)或eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(\r(5),5)或eq \f(\r(5),25)
6．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c.若A＝120°，a＝1，则2b＋3c的最大值为( )
A．3 B.eq \f(2\r(21),3) C．3eq \r(2) D.eq \f(3\r(5),2)
二、多项选择题
7．(2020·临沂模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2eq \r(3)，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是( )
A．cs C＝eq \f(\r(3),3) B．sin B＝eq \f(\r(2),3)
C．a＝3 D．S△ABC＝eq \r(2)
8．已知0<θA.eq \f(n,1＋m) B.eq \f(m,1＋n) C.eq \f(1－n,m) D.eq \f(1－m,n)
三、填空题
9．(2020·保定模拟)已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1,2)，则eq \f(sin 2α－cs2α,1＋cs 2α)＝________.
10．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且eq \f(b＋a,sin C)＝eq \f(2asin B－c,sin B－sin A)，则A＝________.
11．(2020·全国Ⅰ)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝eq \r(3)，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cs∠FCB＝________.
12．(2020·山东省师范大学附中月考)在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，且4a2＝b2＋2c2，则eq \f(S,a2)的最大值为________．
四、解答题
13．(2020·全国Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
14．(2020·重庆模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A)．
(1)求角C；
(2)若c＝2eq \r(10)，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．
条件①：△ABC的面积S＝4且B>A；
条件②：cs B＝eq \f(2\r(5),5).