2023高考数学二轮专题导数38讲 专题24 极值点偏移之和(x1＋x2)型不等式的证明

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专题24　极值点偏移之和(x1＋x2)型不等式的证明
【例题选讲】
[例1](2013湖南)已知函数f(x)＝ex．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0．
解析　(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
f¢(x)＝()¢ex＋ex＝[＋]ex＝ex．
当x＜0时，f¢(x)＞0；当x＞0时，f¢(x)＜0．
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．
(2)法一：令函数F(x)＝f(x)－f(－x)，x∈(0，＋∞)，代入化简得F(x)＝．
再次局部构造辅助函数，令G(x)＝(1－x)ex－，求导得G′(x)＝－xe－x(e2x－1)．
当x∈(0，＋∞)时，G′(x)