2023高考数学二轮专题导数38讲 专题16 导数中有关x与ex，lnx的组合函数问题

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专题16　导数中有关x与ex，lnx的组合函数问题
在函数的综合问题中，常以x与ex，lnx组合的函数为基础来命题，将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值).着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查．
六大经典超越函数的图象
函数
f(x)＝xex
f(x)＝
f(x)＝
图象



函数
f(x)＝xlnx
f(x)＝
f(x)＝
图象



考点一　x与lnx的组合函数问题
(1)熟悉函数f(x)＝h(x)lnx(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0))的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．

(2)熟悉函数f(x)＝(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0)，h(x)≠0)的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．

【例题选讲】
[例1]　设函数f(x)＝xlnx－＋a－x(a∈R)．
(1)若函数f(x)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；
(2)若a＝2，k∈N，g(x)＝2－2x－x2，且当x＞2时不等式k(x－2)＋g(x)＜f(x)恒成立，试求k的最大值．
分析　　(1)将原问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合思想进行求解；(2)将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解．
解析　(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1－ax－1＝ln x－ax，
令f′(x)＝0，可得a＝，
令h(x)＝(x＞0)，则由题可知直线y＝a与函数h(x)的图象有两个不同的交点，
h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝e，可知h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
h(x)max＝h(e)＝，当x→0时，h(x)→－∞，当x→＋∞时，h(x)→0，故实数a的取值范围为．
(2)当a＝2时，f(x)＝xln x－x2＋2－x，k(x－2)＋g(x)＜f(x)，
即k(x－2)＋2－2x－x2＜xlnx－x2＋2－x，整理得k(x－2)＜xlnx＋x，
因为x＞2，所以k＜．设F(x)＝(x＞2)，则F′(x)＝．
令m(x)＝x－4－2ln x(x＞2)，则m′(x)＝1－＞0，所以m(x)在(2，＋∞)上单调递增，
m(8)＝4－2ln 8＜4－2ln e2＝4－4＝0，m(10)＝6－2ln10＞6－2ln e3＝6－6＝0，
所以函数m(x)在(8，10)上有唯一的零点x0，
即x0－4－2ln x0＝0，故当2＜x＜x0时，m(x)＜0，即F′(x)＜0，当x＞x0时，F′(x)＞0，
所以F(x)min＝F(x0)＝＝＝，所以k＜，
因为x0∈(8，10)，所以∈(4，5)，故k的最大值为4．
点评　1．极值点问题通常可转化为零点问题，且需要检验零点两侧导函数值的符号是否相反，若已知极值点求参数的取值范围，一定要对结果进行验证．解答任意性(恒成立)、存在性(有解)问题时通常有分离参变量、分拆函数等求解方法，可根据式子的结构特征，进行选择和调整，一般可转化为最值问题进行求解．
2．对于有关x与lnx的组合函数为背景的试题，要求理解导数公式和导数的运算法则等基础知识，能够灵活利用导数研究函数的单调性，能够恰当地构造函数，并根据区间的不同进行分析、讨论，寻求合理的证明和解不等式的策略．
【对点训练】
1．若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．a