4.4用尺规作三角形寒假预习自测北师大版数学七年级下册

4.4用尺规作三角形寒假预习自测北师大版数学七年级下册

限时：60分钟；满分：100分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题(共30分)

1．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（ ）

A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1

2．(本题3分)通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（  ）

A． B．

C． D．

3．(本题3分)如图，在外找一个点（与点A不重合），并以为一边作，使之与全等，且不是等腰三角形，则符合条件的点有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．(本题3分)如图，直线CP是AB的垂直平分线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：

甲：作∠ACP、∠BCP的角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；

乙：作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．

对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（  ）

A．两人都正确 B．两人都错误

C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确

5．(本题3分)如图，通过尺规作图，得到，再利用全等三角形的性质，得到了 ，那么，根据尺规作图得到的理由是（ ）

A． B． C． D．

6．(本题3分)如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（  　 ）

A． B． C． D．

7．(本题3分)如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（    ）

A．两角及夹边 B．两边及夹角 C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角

8．(本题3分)下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容

如图，已知，

求作：的角平分线．

作法如下：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交  ☺  于点；②分别以点  ⊕  为圆心，大于  ♡  的长为半径画弧，两弧在    内部交于点；③画射线，即为所求．

A．☺表示 B．⊕表示、 C．♡表示 D．表示

9．(本题3分)下列关于作图的语句正确的是（　　）

A．作∠AOB的平分线OE=3cm

B．画直线AB=线段CD

C．用直尺作三角形的高是尺规作图

D．已知A、B、C三点，过这三点不一定能画出一条直线

10．(本题3分)如图，已知∠AOB，用尺规作∠FCE，使∠FCE＝∠AOB，作图痕迹中弧FG是（    ）

A．以点E为圆心，OD为半径的弧

B．以点C为圆心，OD为半径的弧

C．以点E为圆心，DM为半径的弧

D．以点C为圆心，DM为半径的弧

二、填空题(共30分)

11．(本题3分)如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是__．

12．(本题3分)如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，下面作法中：①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；②作线段BC＝a；③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．正确顺序应为___．（填序号）

13．(本题3分)请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是_____．（填SAS、ASA、SSS或HL）

14．(本题3分)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是全等三角形判定定理中的________．

15．(本题3分)如图，△ABC中，点A的坐标为（0，-2），点C的坐标为（2，1），点B的坐标为（3，-1），要使△ACD与△ACB全等，那么符合条件的点D有_______个．

16．(本题3分)若满足∠AOB=30°，OA=4，AB=k的△AOB的形状与大小是唯一的，则k的取值范围是___．

17．(本题3分)如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为______．

18．(本题3分)画线段AB；延长线段AB到点C，使BC=2AB；反向延长AB到点D，使AD=AC，则线段CD=________AB．

19．(本题3分)在中给定下面几组条件：

①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；

②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；

③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；  

④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．

若根据每组条件画图，则能够唯一确定的是___________（填序号）.

20．(本题3分)已知线段a，b，c，求作，使．

①以点B为圆心，c的长为半径画弧；

②连接；

③作；

④以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A．

作法的合理顺序是__________．

三、解答题(共40分)

21．(本题8分)嘉淇同学要证，她先用下列尺规作图步骤作图：①；②以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接；③过点作，垂足为点．并写出了如下不完整的已知和求证．

（1）在方框中填空，以补全已知和求证；

（2）按嘉淇的想法写出证明过程．

22．(本题8分)画△ABC，使AB＝4cm，∠B＝40°，∠C＝60°．

23．(本题8分)如图，已知线段．

求作：直角，使，

作法：（1）作；

（2）以点C为圆心，__________为半径画弧，交射线于点B；

（3）以点B为圆心，__________为半径画弧，交射线于点A；

（4）连接__________，则就是所求．

24．(本题8分)如图，已知四个点、、、，根据下列要求画图：

（1）画线段、射线、直线；

（2）画；

（3）找一点，使既在直线上，又在直线上．

25．(本题8分)求证：全等三角形对应边上的中线相等.已知如图，，AD是△ABC的中线．

（1）求作的中线（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求证：

参考答案：

1．B

【详解】解：根据作图方法得点P在第二象限角平分线上，

∴P点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0，

∴2a+b=﹣1．

故选B．

2．A

【分析】作线段的垂直平分线可得线段的中点．

【详解】作线段的垂直平分线可得线段的中点．

由此可知：选项A符合条件，

故选A．

【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．

3．C

【分析】本题是开放题，要想使△A′BC与△ABC全等，先确定题中条件，再对应三角形全等条件求解．

【详解】解：如图：

以B点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，BA为半径上下画弧，两弧相交分别得到点、；以C点为圆心，CA为半径画弧，以B点为圆心，BA为半径画弧，两弧的交点得到点，所以符合条件的点A′有3种可能的位置．

故选：C．

【点睛】本题考查了全等的判定综合．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法去求证．

4．D

【分析】先根据直线CP是AB的中垂线且交AB于P，判断出△ABC是等腰三角形，即AC=BC，再根据线段垂直平分线的性质通过全等证明AD=DC=CE=EB．

【详解】如图，

甲：虽然CP=AP，

但∠A≠∠ACP，

即∠A≠∠ACD．

乙：∵CP是线段AB的中垂线，

∴△ABC是等腰三角形，即AC=BC，∠A=∠B，

作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，

∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，

∵∠A=∠B，

∴∠ACD=∠BCE，

∵AC=BC，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD=EB，

∵AD=DC，EB=CE，

∴AD=DC=EB=CE．

故选D．

【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，还涉及等腰三角形的知识点，不是很难.

5．C

【分析】根据证明三角形全等可得结论．

【详解】解：连接CD、C′D′，

由作图可知，，，

在和中，

，

∴，

∴

故选：C．

【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

6．B

【详解】解：∵PB+PC=BC，PA+PC=BC，

∴PA=PB，

根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上，

故可判断B选项正确．

故选B．

7．B

【分析】观察图像可知已知线段AB，AC，∠A，由此即可判断．

【详解】解：根据作图痕迹可以知道，∠A为已知角，AB和AC是已知的边，

符合“两边及夹角”，

故选：B．

【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．

8．D

【分析】根据角平分线的尺规作图的做法即可求解.

【详解】尺规作∠AOB的平分线的作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交 OB于点；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点；③画射线，即为所求．

所以☺表示BC，⊕表示M、N，♡表示，表示∠AOB.

故选：D

【点睛】本题考查的是尺规作图-作角平分线，掌握角平分线的作法及作图语言是关键.

9．D

【详解】解：选项A，作∠AOB的平分线OE=3 cm，角平分线是射线，错误；

选项B，画直线AB=线段CD，直线没有长度，错误；

选项C，用直尺作三角形的高是尺规作图，尺规应有圆规，错误；

选项D，已知A、B、C三点，过这三点不一定能画出一条直线，正确；

故选D．

10．C

【分析】根据作一个角等于已知角的作图方法判断即可．

【详解】解：由作图可知，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．

故选：C．

【点睛】本题考查尺规作图，熟知作一个角等于已知角的基本作图步骤是解答本题的关键．

11．

【分析】根据作一个角等于已知角的作法和步骤解答．

【详解】在和△中，

，

△，

故答案为：．

【点睛】本题考查尺规作图的应用，熟练掌握用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法和步骤是解题关键．

12．②①③

【分析】根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答．

【详解】解：先作线段BC＝a，再分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A，然后连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．

故答案为：②①③．

【点睛】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，以及用简练、准确地运用几何语言表达作图方法与步骤的能力．

13．

【分析】由作法易得，得到三角形全等，由全等三角形的对应角相等可知．

【详解】解：由作法得，

依据可判定，

则．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和基本作图，关键是掌握全等三角形的判定定理．

14．

【分析】首先连接、，从作图可知，，即可判定，然后根据全等三角形对应角相等的性质，即可得出．

【详解】解：，

理由是：连接、，

从作图可知，，

∵在和中，

∴，

∴（全等三角形的对应角相等），

故答案为：．

【点睛】本题主要考查对尺规作图法作一个角等于已知角的理解，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．

15．3

【分析】根据全等三角形的判定方法结合坐标系得出符合题意的图形．

【详解】解：如图所示：要使△ACD与△ACB全等，那么符合条件的点D有 3个．

故答案为：3．

【点睛】此题主要考查了全等三角形判定以及坐标与图形的性质，熟练利用全等三角形的判定得出是解题关键．

16．k=2或k≥4．

【分析】分两种情况讨论，依据∠AOB=30°，OA=4，AB=k的△AOB的形状与大小是唯一的，即可得到k的取值范围．

【详解】解：如图所示，以点A为圆心，2为半径画弧，弧线与射线OB有唯一交点B，此时△AOB的形状与大小是唯一的；

以A为圆心，大于等于4为半径画弧，弧线与射线OB（不含端点）有唯一交点B'，此时△AOB'的形状与大小是唯一的；

综上所述，k的取值范围是k=2或k≥4．

故答案为k=2或k≥4．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，需要通过三角形的角与边的关系来判断，考虑最特殊的两种情况，即直角三角形以及等腰三角形．

17．52°

【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．

【详解】解：由作图可知，OD=OE=OF，EF=DE，

∴△ODE≌△OFE（SSS），

∴∠EOD=∠EOF=26°，

∴∠BOD=2∠AOB=52°，

故答案为：52°．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，基本作图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

18．6

【分析】先根据题意分别画出各线段，再结合图形利用线段的和差即可得出答案．

【详解】（1）画线段AB；

（2）延长线段AB到点C，使BC=2AB；

（3）反向延长AB到点D，使AD=AC；

由图可知，BC=2AB，AD=AC=3AB，故CD=6AB．

故答案为6．

【点睛】本题只要根据题意画出图形，根据各线段的长可直接解答，比较简单．

19．①③④

【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．

【详解】解：①符合全等三角形的判定定理SAS，即能画出唯一三角形，正确；

②根据BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC和△BCD，

错误；

③符合全等三角形的判定定理HL，即能画出唯一三角形，正确；

④∵∠ABC为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确.

故答案为：①③④．

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定的几种方法即可，结合已知逐个验证，要找准对应关系．

20．③①④②

【分析】根据作三角形的步骤：第一步先作一条线段等于三角形的一边，第二步以已作的线段的两个端点为圆心，以对应的长为半径画弧确定交点位置，最后顺次连接即可，由此进行判断即可．

【详解】解：先作，再以点B为圆心，c的长为半径画弧；接着以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A，然后连接，则即为所求．

故答案为：③①④②．

【点睛】本题主要考查了用尺规作图—作三角形的步骤，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

21．（1）BE；BF；（2）见解析

【分析】（1）以点 B 为圆心， BC 长为半径画弧得到BC=BE，根据题目第一句话得AE=BF；

（2）根据平行线的性质得到∠AEB=∠FBC，然后根据AAS证明△ABE≌△FCB，然后利用全等三角形的性质即可证明．

【详解】（1）∵以点B为圆心，BC长为半径画弧

∴BC=BE

根据已知条件第一句话，得到AE=BF

故答案为：BE；BF；

（2）证明：∵CF⊥BE，

∴∠BFC=90°，

又∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠FBC．

∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，

∴BE=BC，

在△ABE与△FCB中，

∴△ABE≌△FCB，

∴AE=BF

【点睛】本题考查了尺规作图，和三角形全等的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定条件，和性质是本题的关键．

22．见解析

【分析】先作∠ABC=40°，再在射线BA是截取BA=4cm，然后以A为项点，AB为边在∠ABC内部作∠BAC=80°， AC与BC相交于C即可得△ABC．

【详解】解：如图，△ABC即为所求作．

∵∠ABC=40°，∠BAC=80°，

∴∠ACB=180°-40°-80°=60°，

又∴AB=4cm，

∴△ABC即为所求作．

【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握基本作图一作一角等于已知角，作一线段等于已知线段，属于基础题型．

23．（2）a的长；（3）c的长；（4）

【分析】作∠MCN＝90°，在射线CM上截取BC＝a，以B为圆心，c的长为半径画弧，交射线CN于点A，连接AB，△ABC就是所求．

【详解】作法：（1）作；

（2）以点C为圆心，a的长为半径画弧，交射线于点B；

（3）以点B为圆心，c的长为半径画弧，交射线于点A；

（4）连接就是所求如图所示：

故答案为：a的长；c的长；．

【点睛】此题主要考查的是作一条线段等于已知线段的作法以及直角三角形的作法，要灵活掌握．

24．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．

【分析】（1）连接AB可得线段AB，连接DC，并向DC方向延长可得射线DC；连接AD，并向两边无限延长可得直线AD；

（2）作射线DB，可得∠CDB；

（3）作直线BC，与直线AD的交点即为点P．

【详解】（1）如图，线段，射线，直线为所作；

（2）如图，为所作；

（3）如图，点为所作．

【点睛】本题考查直线、线段、射线的概念，射线有一个端点，可以向一方无限延伸；直线没有端点，可以向两方无限延伸；线段有两个端点；熟练掌握概念是解题关键．

25．（1）见解析；（2）见解析．

【分析】（1）做线段的垂直平分线，找到的中点，连接 与中点即可．

（2）由已知全等三角形得到相关条件，从而证明，就可得出对应线段相等．

【详解】解：（1）如图：即为所求．

（2），

，

∵，分别是与的中线，

，

，

，

．

【点睛】本题主要考查线段中垂线的画法、三角形全等的证明等相关知识点，能够根据条件灵活选用定理是解题的关键．