4.5利用三角形全等测距离寒假预习自测北师大版数学七年级下册

这是一份4.5利用三角形全等测距离寒假预习自测北师大版数学七年级下册，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
4.5利用三角形全等测距离寒假预习自测北师大版数学七年级下册
限时：60分钟；满分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题(共30分)
1．(本题3分)小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块，你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（　　）

A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
2．(本题3分)如图，点B、D、C、F在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF．补充下列一个条件后，仍无法判定△ABC与△DEF全等的是（　　）

A．∠A＝∠E B．BD＝CF C．AC∥DE D．AC＝DE
3．(本题3分)如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE=3，AF=5，则AC的长为（   ）

A． B． C．10 D．8
4．(本题3分)如图，已知≌，，，则的长为（    ）

A． B． C． D．
5．(本题3分)如图，，，，，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与全等时，a的值为（    ）

A．2 B．3 C．2或3 D．2或
6．(本题3分)如图，，其中，，则（    ）

A．60° B．100° C．120° D．135°
7．(本题3分)已知图中的两个三角形全等，则∠等于（    ）

A． B． C． D．
8．(本题3分)已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　）

A．72° B．60° C．58° D．50°
9．(本题3分)如图，AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（　　）分钟后，△CAP与△PQB全等．

A．2 B．3 C．4 D．8
10．(本题3分)如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　）

A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤

二、填空题(共30分)
11．(本题3分)如图，的顶点、、都在小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形．则图中与有唯一公共顶点且与全等的格点三角形共有________个（不包括）．

12．(本题3分)如图，已知四边形ABCD中，，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以的速度沿运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_________时，能够使与全等．

13．(本题3分)如图，，，，，则的周长为________．

14．(本题3分)已知△ABC的三边长为x，3，6，△DEF的三边长为5，6，y．若△ABC与△DEF全等，则x+y的值为________．
15．(本题3分)如图：，，，那么的长为__．

16．(本题3分)如图，三角形ABC中，BD平分，若，则_______．

17．(本题3分)如图，，若，，则的长为______．

18．(本题3分)如图，，平分，，，则_____．

19．(本题3分)如果的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为3，，，若这两个三角形全等，则______．
20．(本题3分)如图，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝______°．


三、解答题(共40分)
21．(本题8分)如图，是格点三角形（顶点在网格线的交点上），请在下列每个方格纸上按要求画一个与全等的格点三角形．

(1)在图①中所画三角形与有一条公共边；
(2)在图②中所画三角形与有一个公共角；
(3)在图③中所画三角形与△有且只有一个公共顶点．
22．(本题8分)【问题情境】如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果米，那么间的距离为___________米．
【探索应用】如图2，在中，若，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是___________；
【拓展提升】如图3，在中，的延长线交于点F，求证：．

23．(本题8分)如图△ADF≌△BCE，∠B＝40°，∠F＝22°，BC＝2cm，CD＝1cm．求：
（1）∠1的度数；（2）AC的长．

24．(本题8分)【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到的理由是（    ）．
A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．ASA
(2)AD的取值范围是（    ）．
A．    B．    C．    D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．

25．(本题8分)如图，△ACB中，，，D为边BC上一点（不与点C重合），，点E在AD的延长线上，且，连接BE，过点B作BE的垂线，交边AC于点F．

(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)用等式表示线段AF与CD的数量关系，并证明．

参考答案：
1．B
【分析】根据题意应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
2．D
【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．
【详解】解：∵AB∥EF，
∴∠B＝∠F，
A、添加∠A＝∠E，利用ASA能判定△ABC与△DEF全等，不符合题意；
B、添加BD＝CF，得出BC＝FD，利用SAS能判定△ABC与△DEF全等，不符合题意；
C、添加AC∥DE，得出∠ACB＝∠EDF，利用AAS能判定△ABC与△DEF全等，不符合题意；
D、添加AC＝DE，不能判定△ABC与△DEF全等，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．
3．A
【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA=OC，AE=CE，证明△AOF≌△COE得出AF=CE=5，得出AE=CE=5，BC=BE+CE=8，由勾股定理求出AB=4，再由勾股定理求出AC即可．
【详解】解：如图，连结AE，

设AC交EF于O，
依题意，有AO＝OC，∠AOF＝∠COE，∠OAF＝∠OCE，
所以，△OAF≌△OCE（ASA），
所以，EC＝AF＝5，
因为EF为线段AC的中垂线，
所以，EA＝EC＝5，
又BE＝3，由勾股定理，得：AB＝4，
所以，AC＝
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、勾股定理，熟练掌握是解题的关键.
4．C
【分析】根据全等三角形的性质，可得，，即可求解．
【详解】解：≌，，，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
5．D
【分析】根据题意，可以分两种情况讨论，第一种△CAP≌△PBQ，第二种△CAP≌△QBP，然后分别求出相应的a的值即可．
【详解】解：当△CAP≌△PBQ时，则AC=PB，AP=BQ，
∵AC=6，AB=14，
∴PB=6，AP=AB-PB=14-6=8，
∴BQ=8，
∴8÷a=8÷2，
解得a=2；
当△CAP≌△QBP时，则AC=BQ，AP=BP，．
∵AC=6，AB=14，
∴BQ=6，AP=BP=7，
∴6÷a=7÷2，
解得a=，
由上可得a的值是2或，
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确有两种情况，利用数形结合的思想解答．
6．C
【分析】由全等三角形的性质，先求出，即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到．
7．D
【分析】根据全等三角形的性质：全等三角形对应角相等，即可得到结论．
【详解】 图中的两个三角形全等， 为 和 的夹角
又第一个三角形中 和 的夹角为

故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，准确找到对应角是解题的关键．
8．A
【分析】根据全等三角形的性质可直接得出答案．
【详解】解：∵两个三角形全等，
∴的度数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
9．C
【分析】设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12−x）m，分两种情况：①若BP＝AC，则x＝4，此时AP＝BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，则12−x＝x，得出x＝6，BQ＝12≠AC，即可得出结果．
【详解】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，
分两种情况：
①若BP＝AC，则x＝4，
∴AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP＝AP，则12﹣x＝x，
解得：x＝6，BQ＝12≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．
10．C
【分析】根据三角形中线的定义可得，根据等地等高的三角形面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应边相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴和面积相等，故①正确；
而和不一定相等，故②不正确；
在和中，
，
∴，故③正确；
∴，
∴，故④正确；
∵，
∴，故⑤错误，
正确结论为：①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等地等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
11．13
【分析】以C点为唯一公共点，其它两点在格点上作出与全等的三角形即可．
【详解】解：如图所示：与有唯一公共顶点且与全等的格点三角形共有13个，
故答案为：13．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键．
12．3或
【分析】根据①当时，；②当时，两种情况进行讨论，从而可求点Q的运动速度；
【详解】解：设运动时间为ts；
①当时，，Q的运动速度等于P点运动速度；
②当时，，则，
∴点Q的运动速度：；
故答案为：3或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
13．
【分析】根据全等三角形的性质求出，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴的周长为：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的性质．掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
14．8
【分析】根据全等三角形对应边相等解答即可．
【详解】解：因为△ABC与△DEF全等，
所以x=5，y=3，
所以x+y=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键．
15．3
【分析】由全等的条件即可得EF=7，由CF=EF-EC 即可求得结果．
【详解】，
，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，题目很简单．
16．8
【分析】延长AD交BC与点E，证可得，由可得，进而即可求解；
【详解】解：如图，延长AD交BC与点E，

∵BD平分
∴
∵BD=BD
∴
∴AB=BE
∴
∵
∴
∴
∵AD=DE，
∴
∴
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、角平分线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．2
【分析】由全等三角形的性质可得出，从而由求解即可．
【详解】∵，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查全等三角形的性质．掌握全等三角形的对应边相等是解题关键．
18．4
【分析】在BC上截取BE＝AB，利用“边角边”证明△ABD≌△EBD，根据全等三角形对应边相等可得DE＝AD，由全等三角形对应角相等可得∠BED＝∠A，然后求出∠C＝∠CDE，根据等角对等边可得CE＝DE，等量代换得到EC＝AD，则BC＝BE+EC＝AB+AD即可求出AD长．
【详解】解：（1）在BC上截取BE＝BA，如图，

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
在△ABD和△BED中，
，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴DE＝AD，∠BED＝∠A，
又∵∠A＝2∠C，
∴∠BED＝∠C+∠EDC＝2∠C，
∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC，
∴EC＝AD，
∴BC＝BE+EC＝AB+AD，
∵BC＝10，AB＝6，
∴AD＝10﹣6＝4；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
19．6或
【分析】根据全等三角形的对应边相等分类讨论，分别求出x值判断即可．
【详解】解：∵和全等，
∴当时，解得：，
∴；
当时，解得：，
∴；
∴综上所述，或6．
故答案为：6或．
【点睛】此题考查的是根据全等三角形的性质求字母的值，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．
20．30
【分析】本题实际上是全等三角形的性质以及根据三角形内角和等于180°来求角的度数．
【详解】∵△ABC≌△A1B1C1，
∴∠C1=∠C，
又∵∠C=180°-∠A-∠B=180°-110°-40°=30°，
∴∠C1=∠C=30°．
故答案为30．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质；解答时，除必备的知识外，还应将条件和所求联系起来，即将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；
（2）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；
（3）根据题意以及网格的特点画出图形即可．
（1）
如图①所示，△ABD即为所求；
（2）
如图②所示，△DEC即为所求；
（3）
如图③所示，△AED即为所求，

【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．（1）100米；（2）1＜AD＜4；（3）见详解
【分析】（1）证明△ABC≌△DEC，由全等三角形的性质即可得AB＝DE；
（2）延长到点E使，再连接，由“SAS”可证△ADC≌△EDB，可得AC＝BE＝3，由三角形三边关系可得1＜AD＜4；
（3）在BC上截取BG＝AF，易证△ABG≌△ADF，可得DF＝AG和∠DFA＝∠BGA，即可求证△ACG≌△EAF，可得GE＝AF，即可解题．
【详解】（1）解：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB=100米；
故答案为：100米
（2）延长到点E使，再连接
如图所示

∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC＝BE＝3，
∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案为：1＜AD＜4；
（3）证明：在BC上截取BG＝AF，

∵∠BAD＝∠CAE＝∠ACB＝90°
∴∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠DAF＝90°
∴∠CBA＝∠DAF，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF，（SAS）
∴DF＝AG，∠DFA＝∠BGA，
∴∠EFA＝∠CGA，
∵在△ACG和△EAF中，
，
∴△ACG≌△EAF（AAS）
∴EE＝AG＝FD．
∴
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
23．（1）；（2）
【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，即可求解；
（2）由全等三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：（1）∵
∴
由三角形外角的性质可得：
∠1的度数为
（2）∵
∴
∴
即AC的长为
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，涉及了三角形外角的性质，掌握全等三角形的有关性质是解题的关键．
24．(1)B
(2)C
(3)见解析

【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．
【详解】（1）∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
（2）∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=6，AE=2AD，
∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选：C．
（3）延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM．

∵AD是△ABC中线
∴CD＝BD
∵在△ADC和△MDB中

∴
∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等）
∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等）
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角）
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠M，
∴BF＝BM（等角对等边）
又∵BM＝AC，
∴AC＝BF．
【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析

【分析】（1）根据题目步骤作图即可；
（2）过E作EM⊥BC于M，先由中线倍长证明，得到，再证明，得到；
（3）由（2）中全等可得到，即可推理出．
【详解】（1）依题意补全图形如下：

（2）过E作EM⊥BC于M

在和中

∴(AAS)
∴
∵
∴
∵BE⊥BF
∴
在和中

∴ (ASA)，
∴
（3），证明如下：  
由（2）得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是根据倍长中线模型作垂直构造全等．