2023届上海市杨浦高级中学高三上学期开学摸底数学试题（解析版）

2023届上海市杨浦高级中学高三上学期开学摸底数学试题

一、单选题

1．设集合，，若，则实数a的取值范围是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求出集合B，再由求出实数a的范围.

【详解】或.

因为集合，，所以.

故选：D

2． 对于函数,“的图象关于轴对称”是“=是奇函数”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要

【答案】B

【详解】由奇函数，偶函数的定义,容易得选项B正确.

3．已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合函数的图象可得和，然后逐项分析即可求出结果.

【详解】由图象可知在定义域内单调递增，所以，

令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，

因此，故A错误；

，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；

因为，即，且，所以，故C正确；

因为，所以，即，故D错误，

故选：C.

4．已知点P是曲线上任意一点，记直线OP（O为坐标系原点）的斜率为k，则使得的点P的个数为（    ）.

A．0 B．仅有1个 C．仅有2个 D．至少有3个

【答案】B

【分析】由题意可知求点的个数等价于求的解的个数， 令，求，由的正负判断函数的单调性，从而得出的解的个数，得出选项.

【详解】解：由题意可知： ，求的点的个数即求的解的个数，即的解的个数.

令，则，因为，所以恒成立，又，所以恒成立，即在上单调递增；

所以至多有一解，又，，所以存在且只存在一点，使得.

故选：B

二、填空题

5．若集合，，则________

【答案】

【详解】由题意可得所以，填．

6．设是以2为周期的函数，且当时，则___________.

【答案】-1

【详解】∵是以2为周期的函数，且时，，

则.

【考点定位】函数求值

7．，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】利用不等式的性质可求的取值范围．

【详解】因为，故，

故，即所求的范围为：．

故答案为：．

【点睛】本题考查不等式的性质，注意同向不等式才具有可加性，本题属于容易题．

8．函数的定义域为_____________.

【答案】

【详解】要使函数有意义，需解得0<x≤1，所以定义域为(0，1]．

9．若幂函数的图像关于y轴对称，则实数______．

【答案】

【分析】根据幂函数的概念和性质计算即可

【详解】由幂函数可得，解得或，

又因为函数图像关于y轴对称，则a为偶数，所以．

故答案为：

10．若命题“存在，”是假命题，则实数m的范围是________.

【答案】

【分析】由题意可知此命题的否命题为真命题，求出的最小值即可.

【详解】因为命题“存在，”是假命题，

所以任意，是真命题，即恒成立，

令，

因为，所以为偶函数，

当时，为增函数，

所以当时，为减函数，

所以当时，取得最小值，即，

所以，

所以实数m的范围是，

故答案为：

11．已知，则的最小值为________.

【答案】18

【分析】由对数的运算性质与基本不等式求解

【详解】由题意得，，且

则，而，

当且仅当时等号成立，故最小值为18

故答案为：18

12．已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.

【答案】

【详解】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得.

【解析】本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.

13．曲线在点处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线方程.

【详解】由题意得，设，则，

故曲线在点处的切线斜率为，

而，

故曲线在点处的切线方程为 ，

即，

故答案为：

14．若，，且，则下列不等式：①；②；③；④，其中成立的是___________（写出所有正确命题的序号）.

【答案】①③④

【分析】对于①，利用基本不等式判断，对于②，平方后作差比较即可，对于③，利用基本不等式判断，对于④，对化简后利用基本不等式求解其最小值

【详解】对于①，因为，，且，所以，即，当且仅当时取等号，所以①正确，

对于②，因为，，所以，所以，所以②错误，

对于③，因为，，所以，所以，当且仅当时取等号，所以③正确，

对于④，因为，，且，所以，所以，当且仅当时取等号，所以④正确，

故答案为：①③④

15．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】采用分离参数法，可得，再令，对函数求导，利用函数单调性，可知在上单调递减，在上单调递增，根据最小值和单调区间，作出函数的图象，利用数形结合，即可求出结果.

【详解】解：令

则，

令，

则由知，

在上单调递减，在上单调递增

且，，.

，，

，

作出函数的图像，如下图所示：

所以函数在上有两个零点，则实数的取值范围为.

故答案为：.

16．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数则下面各选项中一定正确的序号是________.

①；②；③；④.

【答案】②③

【分析】将题干转化为抽象函数的性质，根据原函数与导函数图象间的关系可得解.

【详解】因为，均为偶函数，

所以，即，，

所以，，则，故③正确；

函数，的图象分别关于直线，对称，

又，且函数可导，由函数图象关于直线对称，所以其单调性在处改变，导数值为零，所以，，所以关于点对称，又图象关于对称，所以的周期为，所以，

所以，所以，故②正确，④错误；

若函数满足题设条件，则函数（为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故①错误；

故答案为：②③.

三、解答题

17．已知函数，．

(1)若，，求实数的取值范围；

(2)求证：R，．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据 的范围，去掉绝对值，然后分段求解不等式即可.（2）由绝对值的三角不等关系，可得，然后根据基本不等式即可求解.

【详解】(1)时， ，

故当时，，所以；

当时，显然成立，

当时，，解得：

综上，不等式的解集为

(2)．

18．已知关于的一元二次函数

(1)若的解集为或，求实数、的值．

(2)若实数、满足，求关于的不等式的解集．

【答案】(1)

(2)详见解析

【分析】（1）根据二次不等式的解集与系数的关系求解即可；

（2）化简可得，再分根据为分界点讨论的范围，再求解不等式即可

【详解】(1)的解集为或，

与是一元二次方程的两个实数根，

，解得．

(2)，关于的不等式化为：，

因式分解为：，

当时，化为，则；

当时，，解得，不等式的解集为；

时，，解得不等式的解集为；

时，，不等式化为：，解得或，不等式的解集为或．

19．为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额x（万元）在的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额x（万元）的增加而增加：②补助款不低于原纳税额的50%.经测算政府决定采用函数模型作为补助款发放方案.

(1)判断时是否满足条件，并说明理由；

(2)求同时满足条件①②时m的取值范围，

【答案】(1)不满足，理由见解析

(2)

【分析】（1）直接分析函数的单调性，在验证条件②是否满足即可；

（2）对分情况讨论，当时，显然满足条件①，当时，结合对勾函数的性质可求得的范围，条件②等价于不等式在上恒成立，分离参数求出的范围，最后取交集即可得解.

【详解】(1)解：时，，

因为函数在都是增函数，

所以函数在是增函数，

所以满足条件①，

又，所以不满足条件②，

所以时，不满足条件；

(2)解：当时，

函数在是增函数，函数是常数函数或在是增函数，

所以函数在是增函数，

故满足条件①，

当时，则，，

由对勾函数的性质可知，当时，单调递增，

所以，解得，

综上，函数满足条件①时，，

由条件②可知，，

即不等式在上恒成立，

即在上恒成立，

当时，取得最小值，

所以，

综上所述，同时满足条件①②时m的取值范围为.

20．已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求函数的解析式；

(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；

(3)解关于的不等式：.

【答案】(1)；

(2)函数在上是增函数，证明见解析；

(3).

【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；

（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；

（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】(1)解：因为函数是定义在上的奇函数，则，

即，可得，则，

所以，，则，因此，.

(2)证明：函数在上是增函数，证明如下：

任取、且，则

，

因为，则，，故，即.

因此，函数在上是增函数.

(3)解：因为函数是上的奇函数且为增函数，

由得，

由已知可得，解得.

因此，不等式的解集为.

21．对于两个定义域相同的函数和，若存在实数m、n使，则称函数是由“基函数和”生成的．

(1)若和生成一个偶函数，求的值；

(2)若由函数（，且）生成，求的取值范围：

(3)试利用“基函数和”生成一个函数，使之满足下列条件：①是偶函数；②有最小值1．求函数的解析式并进一步研究该函数的单调性．（无需证明）

【答案】(1)0.

(2).

(3)，在递减，在递增.

【分析】（1）由列方程，根据为偶函数求得的关系式，进而求得的值.

（2）由列方程组，化简后求得的关系式，利用导数求得的取值范围.

（3）构造函数，并证得其奇偶性和单调性.

【详解】(1)解：由为偶函数可知，

所以.

(2)解：由得，

所以，由于，所以可化简得，所以.

构造函数，，所以函数在上递增，在上递减，

所以函数在处，有极大值，在处有极小值.

所以的取值范围是.

(3)解：构造函数，，

所以为偶函数.由于，

所以有最小值符合题意.在递减，在递增.

另补证明：由于为偶函数，只需求得上的单调性.

构造函数，，由于时，，

故，所以函数在上递增.

根据复合函数单调性同增异减可知，函数在上递增.

根据为偶函数可知，函数在递减.

【点睛】本小题主要考查新定义函数的概念理解，考查利用导数、基本不等式等方法求最值，考查函数的单调性和奇偶性，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.