2022-2023学年变式题 2022年高考新高考全国Ⅰ卷数学高考真题变式题库（解析版）

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这是一份2022-2023学年变式题 2022年高考新高考全国Ⅰ卷数学高考真题变式题库（解析版），共159页。
2022年高考新高考全国Ⅰ卷数学高考真题变式题库
【原卷 1 题】知识点交集的概念及运算

【正确答案】
D
【试题解析】

1-1（基础）已知集合，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

1-2（基础）若集合，，则（）
A. B.
C. D.
【正确答案】 B

1-3（基础）已知集合，集合，则（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

1-4（基础）已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

1-5（巩固）已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

1-6（巩固）若集合，，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

1-7（巩固）已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

1-8（巩固）已知集合，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

1-9（提升）若集合，，则等于（）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

1-10（提升）已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

1-11（提升）已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

【原卷 2 题】知识点共轭复数的概念及计算,复数的除法运算

【正确答案】
D
【试题解析】

2-1（基础）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则为（）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

2-2（基础）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

2-3（基础）已知复数，是的共轭复数，则（）
A.0 B. C.1 D.2
【正确答案】 B

2-4（基础）已知（i为虚数单位），则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

2-5（巩固）已知，则（）
A.5 B. C. D.6
【正确答案】 C

2-6（巩固）已知复数满足，则复数的共轭复数（）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

2-7（巩固）若，则的值为（）
A. B.2 C. D.3
【正确答案】 D

2-8（巩固） i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为
A.i B. C. D.1
【正确答案】 C

2-9（提升）已知复数，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

2-10（提升）若，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

2-11（提升）已知复数，是z的共轭复数，则（）
A.0 B. C.1 D.2
【正确答案】 B

【原卷 3 题】知识点用基底表示向量

【正确答案】
B
【试题解析】

3-1（基础）在中，为边上的中线，在线段上，，则（）
A. B.
C. D.
【正确答案】 B

3-2（基础）在等边中，O为重心，D是的中点，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

3-3（基础）在中，点在线段上，且，则（）
A. B.
C. D.
【正确答案】 B

3-4（基础）在中，是边上一点，，则（）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A

3-5（巩固）在平行四边形中，，若交于点M，则（）
A. B.
C. D.
【正确答案】 B

3-6（巩固）如图所示，在中，是边的中线，是的中点，若，，则等于（）
A. B.
C. D.
【正确答案】 B

3-7（巩固）如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，且，则（）

A. B. C. D.
【正确答案】 C

3-8（巩固）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，线段交于点，设，，用，表示为（）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A

3-9（提升）地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压、耐磨、防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若，，则（）
A. B.
C. D.
【正确答案】 D

3-10（提升）如图所示，在由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形中，设，则（）
A. B.
C. D.
【正确答案】 D

3-11（提升）如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（）
A. B.
C. D.
【正确答案】 C

【原卷 4 题】知识点台体体积的有关计算

【正确答案】
C
【试题解析】

4-1（基础）紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（）

A. B. C. D.
【正确答案】 B

4-2（基础）海洋农牧化使人类可以像经营牧场和管理牛羊一样经营海洋和管理水生生物，从而实现海洋渔业资源利用与生态环境修复兼顾.不同的海洋牧场需要不同的鱼礁，其中一种鱼礁的形状如图所示，它是由所有棱长均为的四个正四棱锥水平固定在一个平面上，且上面四个顶点相连构成的几何体框架，则这个几何体框架的体积为（）(棱台体积公式：，，分别为棱台的上､下底面面积，为棱台的高)

A. B. C. D.
【正确答案】 B

4-3（基础）如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓为正四棱台，已知该四棱台的上底面棱长为，下底面棱长为，侧棱长为，则该款粉碎机进物仓的体积为（）

A. B. C. D.
【正确答案】 B

4-4（基础）某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为36cm，28cm的正四棱台，若棱台的高为3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（）

A. B. C. D.
【正确答案】 B

4-5（巩固）鼎是古代烹煮用的器物，它是我国青铜文化的代表，在古代被视为立国之器，是国家和权力的象征.图①是一种方鼎，图②是根据图①绘制的方鼎简易直观图，图中四棱台是鼎中盛烹煮物的部分，四边形是矩形，其中，，，点到平面的距离为，则这个方鼎一次最多能容纳的食物体积为（）
（假定烹煮的食物全在四棱台内）

A. B. C. D.
【正确答案】 D

4-6（巩固）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（）

A. B. C. D.
【正确答案】 C

4-7（巩固）中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一．”即：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有一外接球的表面积为的“刍童”如图所示，记为四棱台，其上、下底面均为正方形，且，则该“刍童”的体积为（）

A.224 B.448 C.或448 D.或224
【正确答案】 C

4-8（巩固）我国南北朝名著《张邱建算经》中记载：“今有方亭，下方三丈，上方一丈，高二丈五尺，预接筑为方锥，问：接筑高几何？”大致意思是：有一个正四棱台的上､下底面边长分别为一丈､三丈，高为二丈五尺，现从上面补上一段，使之成为正四棱锥，则所补的小四棱锥的高是多少？那么，此高和原四棱台的体积分别是(注：1丈等于10尺)（）
A.12.5尺､10833立方尺 B.12.5尺､32500立方尺
C.3.125尺､10833立方尺 D.3.125尺､32500立方尺
【正确答案】 A

4-9（提升）对24小时内降水在平地上单位面积的积水厚度（mm）进行如下规定：
积水厚度区间

级别
小雨
中雨
大雨
暴雨
小明用一个圆台形容器（如图）接了24小时雨水，则这天的降雨属于哪个等级（）

A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨
【正确答案】 B

4-10（提升）斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有．图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体．本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是400cm2，900cm2，高为9cm，长方体形凹橹的体积为4300cm3，那么这个斗的体积是（）
注：台体体积公式是V（S'S）h．

A.5700cm3 B.8100cm3 C.10000cm3 D.9000cm3
【正确答案】 C

4-11（提升）《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事。通过讲述一只乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理。如图2所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为3厘米，瓶底直径为9厘米，瓶口距瓶颈为厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为厘米现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移厘米，若只有当水位线到达瓶口时，乌鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是？（石子体积均视为一致）
圆台体积公式：，其中，为圆台高，为圆台下底面半径，为圆台上底面半径（）

A.2颗 B.3颗 C.4颗 D.5颗
【正确答案】 C

【原卷 5 题】知识点实际问题中的组合计数问题,计算古典概型问题的概率

【正确答案】
D
【试题解析】

5-1（基础）将编号为的小球放入编号为的小盒中，每个小盒放一个小球.则恰有一个小球与所在盒子编号相同的概率为（）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

5-2（基础）随机抛郑两枚均匀骰子，观察得到的点数，则得到的两个骰子的点数之和能被3整除的概率是（）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

5-3（基础）抛掷红、白两颗骰子，当白色骰子的点数为2或4时，两颗骰子的点数之积大于10的概率是（）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

5-4（基础）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

5-5（巩固）自然对数的底数，e是一个奇妙有趣的无理数，它取自数学家欧拉Euler的英文字头．某教师为帮助同学们了解“e”，让同学们从小数点后的3位数字7，1，8随机选取两位数字，整数部分2不变，那么得到的数字不大于2.78的概率为（）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

5-6（巩固）在数字电路中通常采用二进制进行计数和运算，二进制数就是各位上为数字0或1的数，且每个位置均可为0．二进制数可转化为十进制数，例如三位二进制数011，转化为十进制数就是．则从所有的三位二进制数中随机抽取一个，该二进制数对应的十进制数大于3的概率为（）．
A. B. C. D.
【正确答案】 C

5-7（巩固）据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为( )

A. B. C. D.
【正确答案】 A

5-8（巩固）在一个长度为的数字序列中，当且仅当相邻元素差的绝对值经过排序后正好是从1到，则认定该数字序列存在“有趣的跳跃”如果一组数经过排序后存在“有趣的跳跃”，则称这组数为“有趣的跳跃数组”.例如，因为差的绝对值分别为2，1，所以存在“有趣的跳跃”，这组数为“有趣的跳跃数组”现从这六个数中一次任取3个数，则这3个数是“有趣的跳跃数组”的概率为（）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

5-9（提升）将3个1和5个0随机排成一行，则3个1任意两个1都不相邻的概率为（）．
A. B. C. D.
【正确答案】 D

5-10（提升）定义：，当时，称这个数为波动数，由组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为（）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

5-11（提升）从中任取2个不同的数，则的概率是（）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

【原卷 6 题】知识点由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）

【正确答案】
A
【试题解析】

6-1（基础）已知函数，的最小正周期为，函数的图象关于直线对称，且满足函数在区间上单调递增，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

6-2（基础）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则下列点的坐标为的对称中心的是（）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

6-3（基础）若函数是周期函数，最小正周期为．则下列直线中，图象的对称轴是（）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

6-4（基础）已知函数的最大值与最小值的差为，其图像与轴的交点坐标为，且图像的两个相邻的对称中心间距离为，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

6-5（巩固）若函数的部分图象如图所示，则的值是（）

A. B. C. D.
【正确答案】 A

6-6（巩固）已知函数的图像如图所示.，则（）

A. B. C. D.
【正确答案】 C

6-7（巩固）已知函数的图像经过点，则的最小正周期为（）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

6-8（巩固）已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，．当取得最小值时，函数的解析式为（）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A

6-9（提升）如图，A，B是函数图像上的两个最高点，点是图像上的一个对称中心，若为直角三角形，则（）

A. B. C. D.
【正确答案】 B

6-10（提升）已知函数的部分图象如图所示，则在区间上的值域为（）

A. B. C. D.
【正确答案】 B

6-11（提升）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，）的图象与y轴的交点为M（0，1），与x轴正半轴最靠近y轴的交点为N（3，0），y轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为B，C．若△OBC的面积为（其中O为坐标原点），则函数f（x）的最小正周期为（）
A.5 B.6 C.7 D.8
【正确答案】 D

【原卷 7 题】知识点比较指数幂的大小,用导数判断或证明已知函数的单调性,比较对数式的大小

【正确答案】
C
【试题解析】

7-1（基础）已知是自然对数的底数，是圆周率，下列不等式中，，，，正确的个数为（）
A.0 B.1 C.2 D.3
【正确答案】 D

7-2（基础）已知实数a，b，c满足，且，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

7-3（基础）设，，，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

7-4（巩固）已知，则（）
A. B.
C. D.
【正确答案】 C

7-5（巩固）设，，，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

7-6（巩固）设，，，（其中自然对数的底数）则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

7-7（巩固）已知，，，则a，b，c的大小关系是（）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A

7-8（提升），则a，b，c的大小顺序为（）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A

7-9（提升）实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

7-10（提升）设，，．则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

7-11（提升）设，，，，，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

【原卷 8 题】知识点由导数求函数的最值（不含参）,锥体体积的有关计算,球的体积的有关计算,多面体与球体内切外接问题

【正确答案】
C
【试题解析】

8-1（基础）已知是边长为3的等边三角形，三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上，则三棱锥的体积的最大值为（）．
A. B. C. D.
【正确答案】 C

8-2（基础）端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗．四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体．广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内部放入一个蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，当这个蛋黄的体积为时，则该正四面体的高的最小值为（）
A.4 B.6 C.8 D.10
【正确答案】 C

8-3（基础）已知一个棱长为2的正方体玻璃容器内（不计玻璃的厚度）放置一个正四面体，若正四面体能绕着它的中心（即正四面体内切球的球心）任意转动，则正四面体棱长的最大值为（）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

8-4（基础）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点，满足面ABC，，若，则该“鞠”的体积的最小值为（）

A. B. C. D.
【正确答案】 C

8-5（巩固）已知球体的半径为3，当球内接正四棱锥的体积最大时，正四棱锥的高和底面边长的比值是（）
A.1 B. C. D.2
【正确答案】 A

8-6（巩固）已知三棱锥的体积为，其外接球的体积为，若，，则线段SA的长度的最小值为（）
A. B.8 C. D.7
【正确答案】 C

8-7（巩固）设P､A､B､C､D是表面积为的球的球面上五点，四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为（）
A. B.18 C.20 D.
【正确答案】 D

8-8（巩固）某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半径为的球上，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积是（）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

8-9（提升）如图，四边形为正方形，四边形为矩形，且平面与平面互相垂直.若多面体的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为

A. B. C. D.
【正确答案】 B

8-10（提升）已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，，点B在AC上的射影为D，则三棱锥体积的最大值为
A. B. C. D.
【正确答案】 D

8-11（提升）已知三棱锥的外接球O半径为2，球心O到所在平面的距离为1，则三棱锥体积的最大值为（）
A. B. C. D.3
【正确答案】 A

8-12（提升）在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高
A. B. C. D.
【正确答案】 D

【原卷 9 题】知识点求异面直线所成的角,求线面角

【正确答案】
A B D
【试题解析】

9-1（基础）如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（）

A.直线BC与平面所成的角等于 B.点到平面的距离为
C.异面直线和所成的角为. D.线段长度的最小值为
【正确答案】 ABD

9-2（基础）关于正方体，下列说法正确的是（）
A.直线平面
B.若平面与平面的交线为l，则l与所成角为
C.棱与平面所成角的正切值为
D.若正方体棱长为2，P，Q分别为棱的中点，则经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形的周长为
【正确答案】 ABD

9-3（基础）一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论正确的是（）

A. B.与所成的角为
C. D.与所成的角为
【正确答案】 AD

9-4（基础）如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）
A.两条异面直线和所成的角为
B.直线与平面所成的角等于
C.点D到面的距离为
D.三棱柱外接球半径为
【正确答案】 BCD

9-5（巩固）已知正方体的棱长为1，下面选项正确的是（）
A.直线与平面不垂直
B.四面体的体积为
C.异面直线与直线所成角的为
D.直线与平面所成的角为
【正确答案】 BCD

9-6（巩固）在棱长为1的正方体中，O为正方形的中心，则下列结论错误的是（）
A.
B.∥平面
C.点B到平面的距离为
D.直线与直线的夹角为
【正确答案】 CD

9-7（巩固）如图，正方形的棱长为1，线段有两个动点，，且，则下列结论正确的是（）
A.
B.异面直线所成角为定值
C.直线与平面所成角为定值
D.以为顶点的四面体的体积不随位置的变化而变化
【正确答案】 ACD

9-8（巩固）如图，点是棱长为的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（）

A.有无数个点满足
B.当点在棱上运动时，的最小值为
C.若，则动点的轨迹长度为
D.在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
【正确答案】 AC

9-9（提升）在正方体中，分别为的中点，则下列结论中正确的是（）
A.
B.二面角的正切值为
C.异面直线与所成角的余弦值为
D.点到平面的距离是点到平面的距离的2倍
【正确答案】 BCD

9-10（提升）如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的是（）
A.三棱锥的体积随着点的运动而变化
B.异面直线与所成角的取值范围是
C.直线平面
D.三棱锥的外接球表面积的最小值为
【正确答案】 BC

9-11（提升）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，G为C1D1的中点，点P在线段B1C上运动，点Q在棱C1C上运动，M为空间中任意一点，则下列结论正确的有（　　）
A.直线BD1⊥平面A1C1D
B.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
C.PQ+QG的最小值为
D.当MA+MB＝4时，三棱锥A﹣MBC体积最大时其外接球的表面积为.
【正确答案】 ACD

9-12（提升）如图，正方体的棱长为4，则下列命题正确的是（　　）

A.两条异面直线和所成的角为45°
B.若分别是的中点，过三点的平面与正方体的下底面相交于直线，且，则
C.若平面，则平面截此正方体所得截面面积最大值为
D.若用一张正方形的纸把此正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是128
【正确答案】 BCD

【原卷 10 题】知识点求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究函数的零点,求已知函数的极值点

【正确答案】
A C
【试题解析】

10-1（基础）已知函数，现给出下列结论，其中正确的是（）
A.函数有极小值，但无最小值
B.函数有极大值，但无最大值
C.若方程恰有一个实数根，则
D.若方程恰有三个不同实数根，则
【正确答案】 BD

10-2（基础）已知，下列说法正确的是（）
A.在处的切线方程为 B.的单调递减区间为
C.的极大值为 D.方程有两个不同的解
【正确答案】 BC

10-3（基础）对于函数，下列结论中正确的是（）
A.在(0，＋∞)上单调递增 B.在上单调递减
C.有最小值 D.有两个零点
【正确答案】 BC

10-4（基础）已知函数，则（）
A.在上单调递增 B.的极小值为2
C.的极大值为－2 D.有2个零点
【正确答案】 AD

10-5（巩固）函数在上的最值情况为（）
A.最大值为12 B.最大值为5
C.最小值为 D.最小值为
【正确答案】 AC

10-6（巩固）若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的可能取值是（）
A.0 B.1 C.2 D.3
【正确答案】 ABC

10-7（巩固）已知函数，是的导函数，下列结论正确的有（）
A.，
B.若，则是的极值点
C.若是的极小值点，则在上单调递增
D.若，则函数至少存在一个极值点
【正确答案】 AC

10-8（巩固）设函数的导函数为，则（）
A. B.是函数的极值点
C.存在两个零点 D.在(1，+∞)上单调递增
【正确答案】 AD

10-9（提升）已知函数，下列命题正确的是（）
A.若是函数的极值点，则
B.若是函数的极值点，则在上的最小值为
C.若在上单调递减，则
D.若在上恒成立，则
【正确答案】 ABC

10-10（提升）已知函数，下列说法中正确的是（）
A.函数在原点处的切线方程是
B.是函数的极大值点
C.函数在上有3个极值点
D.函数在上有3个零点
【正确答案】 ABD

10-11（提升）（多选）已知函数，其导函数为，给出以下命题正确的是（）
A.的单调递减区间是
B.的极小值是
C.当时，对任意的且，恒有
D.函数有且只有一个零点
【正确答案】 ABCD

【原卷 11 题】知识点根据抛物线方程求焦点或准线,判断直线与抛物线的位置关系,求直线与抛物线相交所得弦的弦长

【正确答案】
B C D
【试题解析】

11-1（基础）设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（）
A.若，则
B.若点到焦点的距离为3，则的坐标为.
C.若，则的最小值为.
D.过焦点做斜率为2的直线与抛物线相交于，两点，则
【正确答案】 AC

11-2（基础）已知抛物线的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（）
A.若，则
B.以为直径的圆与准线相切
C.为定值
D.过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条
【正确答案】 ABC

11-3（基础）已知抛物线的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点在抛物线上．则（）
A. B.当轴时，
C.为定值1 D.若，则直线的斜率为
【正确答案】 BCD

11-4（基础）设抛物线的焦点为，则下列说法正确的是（）
A.点在轴上
B.点的坐标为
C.设过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，则
D.设过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，则
【正确答案】 ACD

11-5（巩固） P为抛物线C：准线上的一点，PA，PB为C的两条切线，，为切点，Q为线段AB的中点，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.的最小值为2
【正确答案】 BD

11-6（巩固）已知F是抛物线y2 = 2px（p > 0）的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，则下列说法正确的是（）
A.以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切
B.若抛物线上的点T（2，t）到点F的距离为4，则抛物线的方程为y2 = 4x
C. 为定值
D.|MN|的最小值为
【正确答案】 ACD

11-7（巩固）已如斜率为k的直线l经过抛物线的焦点且与此抛物线交于，两点，，直线l与抛物线交于M，N两点，且M，N两点在y轴的两侧，现有下列四个命题，其中为真命题的是（）．
A.为定值 B.为定值
C.k的取值范围为 D.存在实数k使得
【正确答案】 ACD

11-8（巩固）已知抛物线，焦点为F，直线l与抛物线交于A，B两点，则下列选项正确的是（）
A.当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切
B.若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为1
C.若，则弦长AB最小值为8
D.当直线l过焦点F且斜率为2时，，，成等差数列
【正确答案】 ABC

11-9（提升）已知抛物线的准线方程为，焦点为，为坐标原点，，是上两点，则下列说法正确的是（）
A.点的坐标为
B.若，则的中点到轴距离的最小值为8
C.若直线过点，则以为直径的圆过点
D.若直线与的斜率之积为，则直线过点
【正确答案】 AD

11-10（提升）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（）
A.点M到直线l的距离为定值 B.以为直径的圆与l相切
C.的最小值为32 D.当最小时，
【正确答案】 BCD

11-11（提升）已知P为抛物线C：上的动点，在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，，，则（）
A.的最小值为4
B.若线段AB的中点为M，则的面积为
C.若，则直线l的斜率为2
D.过点作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，且满足EF平分，则直线GH的斜率为定值
【正确答案】 ACD

11-12（提升）已知抛物线的焦点为F，准线与x轴交于点P，直线与抛物线交于M，N两点，则下列说法正确的是（）
A. B.
C.若，则 D.若，则∠MPF的最大值为
【正确答案】 AC

【原卷 12 题】知识点抽象函数的奇偶性,函数对称性的应用,函数与导函数图象之间的关系

【正确答案】
B C
【试题解析】

12-1（基础）已知函数，对于任意，则
A.的图象经过坐标原点 B.
C.单调递增 D.
【正确答案】 ABD

12-2（基础）已知函数为偶函数，且，则下列结论一定正确的是（）
A.的图象关于点中心对称 B.是周期为的周期函数
C.的图象关于直线轴对称 D.为偶函数
【正确答案】 AD

12-3（基础）已知定义在上的函数满足：是奇函数，是偶函数.则下列选项中说法正确的有（）
A. B.周期为2
C.的图象关于直线对称 D.是奇函数
【正确答案】 ACD

12-4（巩固）若函数是周期为2的奇函数，则下列选项一定正确的是（）
A.函数图象关于点对称 B.函数的周期为1
C. D.
【正确答案】 AC

12-5（巩固）已知函数的定义域，且，若，则（）
A.
B.在上是偶函数
C.若，，则函数在上单调递增
D.若，，则
【正确答案】 ACD

12-6（巩固）已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件，且函数为奇函数，则以下结论正确的是（）
A.函数f（x）是周期函数； B.函数f（x）的图象关于点对称；
C.函数f（x）为R上的偶函数； D.函数f（x）为R上的单调函数.
【正确答案】 ABC

12-7（巩固）定义在上的函数满足，且在上是增函数，给出下列真命题的有（）
A.是周期函数；
B.的图象关于直线对称；
C.在上是减函数；
D..
【正确答案】 ACD

12-8（提升）已知函数的定义域为，对任意，满足，，且对任意，，则下列选项中，正确的是（）
A.
B.为偶函数
C.对任意，
D.在上为增函数
【正确答案】 ACD

12-9（提升）已知函数的图象关于直线对称，函数对于任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是（）
A. B.
C. D.
【正确答案】 AD

12-10（提升）已知定义域为的函数对任意的实数，满足，且，并且当时，，则下列选项中正确的是（）
A.函数是奇函数
B.函数在上单调递增
C.函数是以2为周期的周期函数
D.
【正确答案】 ABC

12-11（提升）已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（）
A.当时，
B.任意，
C.存在非零实数，使得任意，
D.存在非零实数，使得任意，
【正确答案】 ABD

【原卷 13 题】知识点两个二项式乘积展开式的系数问题

【正确答案】
-28
【试题解析】

13-1（基础）的展开式中常数项为___________.
【正确答案】

13-2（基础）在展开式中，的系数为________.
【正确答案】 7

13-3（基础）的展开式的中的系数是______．
【正确答案】 5

13-4（基础）的展开式中的系数为_______．
【正确答案】 24

13-5（巩固）在的展开式中，x的系数为_________．
【正确答案】 17

13-6（巩固）展开式中的常数项是______．
【正确答案】

13-7（巩固）展开式中含项的系数为___________.
【正确答案】

13-8（巩固）的展开式中，项的系数是___________.（用数字作答）
【正确答案】 65

13-9（提升）的展开式中的项前的系数为___________.
【正确答案】 180

13-10（提升）在的展开式中，常数项为______.
【正确答案】 7

13-11（提升）的展开式中的系数为___________.（用数字作答）.
【正确答案】

【原卷 14 题】知识点判断圆与圆的位置关系,圆的公切线方程

【正确答案】

【试题解析】

14-1（基础）圆：与圆：的公切线条数为____________.
【正确答案】 3

14-2（基础）设圆，圆，则圆有公切线___________条.
【正确答案】 2

14-3（基础）圆和圆的公切线条数为_________条.
【正确答案】

14-4（基础）已知圆,圆,则两圆公切线的方程为__________．
【正确答案】

14-5（巩固）圆与圆，则圆A与圆B的公切线方程为___________.
【正确答案】，，或

14-6（巩固）如图，平面直角坐标系中，已知圆和圆均与直线：及轴相切，且圆和圆相切于点（4，2），则两圆心的距离___________.

【正确答案】 5

14-7（巩固）已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则4a2＋b2＝________．
【正确答案】 1

14-8（巩固）已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为_________.
【正确答案】

14-9（提升）已知两圆，，则两圆的位置关系为___________，两圆的公切线方程为___________.（用一般式表示）
【正确答案】内切

14-10（提升）已知圆：和：恰好有三条公切线，则的取值范围是___________.
【正确答案】

14-11（提升）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆，若过第四象限的直线是两圆的公切线，且两圆在公切线的同一侧，则直线l的方程为________.
【正确答案】

【原卷 15 题】知识点求过一点的切线方程,求某点处的导数值

【正确答案】

【试题解析】

15-1（基础）若函数存在平行于轴的切线，则实数取值范围是______.
【正确答案】

15-2（基础）如果函数在区间内存在与x轴平行的切线，则实数b的取值范围是___________.
【正确答案】

15-3（基础）已知函数f（x）＝x3－3x，若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y＝f（x）的三条切线，则实数m的取值范围为________．
【正确答案】

15-4（基础）若过点的任意一条直线都不与曲线相切，则的取值范围是________．
【正确答案】

15-5（巩固）已知函数，函数，若曲线和存在公切线，则a的取值范围为___________.
【正确答案】

15-6（巩固）已知函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是______．
【正确答案】

15-7（巩固）已知函数，若过点存在三条直线与曲线相切，则的取值范围为___________．
【正确答案】

15-8（巩固）若曲线与直线相切，则实数的最大值是___________.
【正确答案】 2

15-9（提升）已知函数，是其导函数，若曲线的一条切线为直线：，则的最小值为___________.
【正确答案】

15-10（提升）设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是___________.
【正确答案】

15-11（提升）已知.若曲线存在两条过点的切线，则的取值范围是___________.
【正确答案】或

【原卷 16 题】知识点椭圆中焦点三角形的周长问题,根据离心率求椭圆的标准方程

【正确答案】
13
【试题解析】

16-1（基础）已知分别为椭圆的左右焦点，倾斜角为的直线经过，且与椭圆交于两点，则△的周长为___．
【正确答案】 20

16-2（基础）已知分别为椭圆的左右焦点，直线椭圆交于两点，则△的周长为_________.
【正确答案】

16-3（基础）椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上异于左右顶点的任意一点，、的中点分别为M、N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则的周长是_____．

【正确答案】

16-4（基础）已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上异于顶点的任意一点，为坐标原点.若点是线段的中点，则的周长为___________.
【正确答案】或

16-5（巩固）如果椭圆的焦点坐标为，离心率为，过作直线交椭圆于两点，则的周长为_________.
【正确答案】 6

16-6（巩固）已知AB是过椭圆左焦点F1的弦，且|AF2|＋|BF2|＝8，其中F2是椭圆的右焦点，则弦AB的长是___．
【正确答案】 12

16-7（巩固）已知椭圆的左焦点为是上关于原点对称的两点，且，则的周长为___________．
【正确答案】 14

16-8（巩固）短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为__________．
【正确答案】

16-9（提升）已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，若点M是线段的中点，则的周长为______.
【正确答案】 8

16-10（提升）点为椭圆的右焦点，在椭圆上运动，点，则周长的最大值为_________.
【正确答案】

16-11（提升）椭圆的左、右焦点分别为、，弦过点，若的内切圆周长为，，两点的坐标分别为，，则 ________．
【正确答案】或

【原卷 17 题】知识点裂项相消法求和,累乘法求数列通项,利用an与sn关系求通项或项,利用等差数列通项公式求数列中的项

【正确答案】

【试题解析】

17-1（基础）已知数列满足，且，是的前n项和．
1、求；
2、若为数列的前n项和，求证：．
【正确答案】 1、； 2、证明见解析.

17-2（基础）已知数列的前项和为，，.
1、求数列的通项公式和前项和；
2、设，数列的前项和记为，证明：.
【正确答案】 1、， 2、证明见解析

17-3（基础）已知正项数列的前项和满足：.
1、求数列的通项公式；
2、令，求证：数列的前项和.
【正确答案】 1、 2、证明见解析

17-4（基础）已知数列满足：对任意，有.
1、求数列的通项公式;
2、设，证明：.
【正确答案】 1、 2、证明见解析

17-5（巩固）已知数列的前n项和为，且.
1、求数列的通项公式；
2、若数列的前n项和为，求证：.
【正确答案】 1、 2、证明见解析

17-6（巩固）已知等比数列公比为正数，其前项和为，且.数列满足：.
1、求数列的通项公式：
2、求证：.
【正确答案】 1、 2、证明见解析

17-7（巩固）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为．
1、试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；
2、若，求的前n项和，并证明：．
【正确答案】 1、，， 2、，证明见解析

17-8（巩固）已知等差数列的前n项和为，且，；数列的前n项和，且，数列的，．
1、求数列、的通项公式；
2、若数列满足：，当时，求证：．
【正确答案】 1、， 2、证明见解析

17-9（提升）正项递增数列的前项和为，.
1、求的通项公式；
2、若，，，数列的前项和为，证明：.
【正确答案】 1、或 2、证明见解析

17-10（提升）已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足．
1、求出，的通项公式；
2、设数列的前n项和为，求证：．
【正确答案】 1、，； 2、证明见解析

17-11（提升）已知数列的前项和为，且有．
1、求数列的通项公式；
2、设为数列的前项和，证明：．
【正确答案】 1、 2、证明见解析

【原卷 18 题】知识点正弦定理边角互化的应用,基本不等式求和的最小值

【正确答案】

【试题解析】

18-1（基础） △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．
【正确答案】（1）；（2）．

18-2（基础）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若，求面积的最大值以及周长的最大值．
【正确答案】（1）；（2）面积的最大值为，周长最大值为

18-3（基础）在中，角，，的对边分别为，，，若，边的中线长为1．
（1）求角；
（2）求边的最小值．
【正确答案】（1）；（2）．

18-4（巩固）在△中，角所对的边分别为，且 .
（1）求证：；
（2）求的最大值.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）

18-5（巩固）已知的角对边分别为，.
1、求；
2、若，求的取值范围.
【正确答案】 1、； 2、

18-6（巩固）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为s，且．
1、求A；
2、若，求△ABC的面积的最大值．
【正确答案】 1、 2、

18-7（巩固）已知的内角的对边分别为，若．
（1）求角C
（2）若的面积为，则的最小值．
【正确答案】（1）；（2）80．

18-8（提升）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）设点是的中点，若，求的取值范围.
【正确答案】（1）；（2）.

18-9（提升）在中，内角的对边分别为已知
（1）求的外接圆直径；
（2）求周长的取值范围.
【正确答案】（1）1；（2）.

18-10（提升）在中，角，，所对的边分别为，，，且.
1、求；
2、若的面积，求周长的最小值.
【正确答案】 1、； 2、.

18-11（提升）已知中，，，是角，，所对的边，，且.
1、求；
2、若，在的边，上分别取，两点，使沿线段折叠到平面后，顶点正好落在边（设为点）上，求此情况下的最小值.
【正确答案】 1、 2、

【原卷 19 题】知识点求点面距离,面面角的向量求法

【正确答案】

【试题解析】

19-1（基础）如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB，D，E分别为棱C1C、B1C1的中点.

（1）求点B到平面ACE的距离；
（2）求二面角B－A1D－A的余弦值.
【正确答案】（1）；（2）

19-2（基础）如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，.

（1）求点A到平面SBC的距离；
（2）求二面角的大小.
【正确答案】（1）；（2）.

19-3（基础）如图，在长方体中，，，为的中点．

（1）证明：；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的平面角的余弦值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

19-4（基础）如图，在长方体中，，，点E是棱AB的中点．

（1）证明：；
（2）求点E到平面的距离；
（3）求二面角的余弦值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

19-5（巩固）如图，在长方体中，，，E、M、N分别是、、的中点.

（1）证明：平面；
（2）求点C到平面的距离；
（3）设P为边上的一点，当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

19-6（巩固）如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，，是的中点，，垂足为.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的正弦值.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）1.

19-7（巩固）如图，正三棱柱中，，点，分别为，的中点.

（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值.
【正确答案】（1）；（2）.

19-8（巩固）已知正三棱柱底面边长为2，M是BC上一点，三角形是以M为直角顶点的等腰直角三角形.
1、证明M是BC中点；
2、求二面角的大小；
3、直接写出点C到平面的距离.
【正确答案】 1、证明见解析 2、 3、

19-9（提升）如图，三棱柱的棱长均为2，点在底面的射影O是的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
【正确答案】（1）；（2）.

19-10（提升）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，，，，．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

19-11（提升）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．

（1）求点到平面的距离；
（2）设是线段上的动点，当直线与所成的角的余弦值为时，求二面角的余弦值．
【正确答案】（1）；（2）．

【原卷 20 题】知识点独立性检验解决实际问题,计算条件概率

【正确答案】
（1）答案见解析
（2）（i）证明见解析；(ii)R=6
【试题解析】

20-1（基础）某校举行青年教师视导活动，对48位青年教师的备课本进行了检查，相关数据如下表：
性别
等第
合计
良好
优秀
男教师
a
10
18
女教师
10
20

合计

30
48
附：（其中）．
临界值表：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
1、是否有的把握认为备课本是否优秀与性别有关？
2、从48本备课本中不放回的抽取两次，每次抽取一本，求第一次取到女教师备课本的条件下，第二次取到优秀备课本的概率．
【正确答案】 1、没有的把握认为备课本是否优秀与性别有关 2、

20-2（基础） 2017年8月27日~9月8日，第13届全运会在天津举行.4年后，第14届全运会将于2021年9月15日~27日在西安举行.为了宣传全运会，西安某大学在天津全运会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看天津全运会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：

收看
没收看
男生
60
20
女生
20
20
（1）根据右表说明，能否有99%的把握认为，学生是否收看开幕式与性别有关？
附：，其中.

0.10
0.05
0.025
0.01
0.005

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2021年西安全运会志愿者宣传活动.若从这8人中随机选取2人到校广播站开展全运会比赛项目宣传介绍，
①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到一名男生一名女生的概率；
②记为入选的2人中的女生人数，求随机变量的分布列及数学期望.
【正确答案】 (1) 有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关；（2）①；②答案见解析.

20-3（基础）茶是中国颇受青睐的传统饮品．于爱茶的人而言，不仅迷恋于茶恬淡的气味与味道，泡茶工序带来的仪式感也是个修身养性静心的方式．但是细细品来，茶饮复杂的味型之中，总能品出点点的苦和淡淡的涩，所以也有人并不喜欢饮茶．在人们的固有印象中，总觉得中年人好饮茶，年轻人对饮茶持有怎样的态度呢？带着这样的疑问，高二3班的小明同学做了一项社会调查．调查针对身边的同学与方便联系的家长，共回收了200份有效问卷．为了提高统计工作的效率，小明只记录了问卷中三项有效数据，

喜欢饮茶
不喜欢饮茶
合计
家长
60

120
学生

50

合计

1、请将上面的信息表格补充完整（请在答题卡中画表格作答）；
2、从这200人中随机选取2人，已知选取的2人中有人喜欢饮茶，求其中有学生的概率；
3、请利用独立性检验相关的知识帮小明同学形成这次调查的结论．
公式：

0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【正确答案】 1、表格见解析 2、 3、答案见解析

20-4（巩固）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒、保质保量”成为口罩生产线上的重要标语．

（1）在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检．已知批次的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为，．
①求批次I成品口罩的次品率．
②第四道工序中红外线自动检测为次品的口罩会被自动淘汰，合格的口罩进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次I的成品口罩红外线自动检测显示合格率为92%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.
（2）已知某批次成品口罩的次品率为，设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产线后批次的口罩的次品率．某医院获得批次，的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用．经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示，求，并判断是否有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？
附：．

0.050
0.010
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828

【正确答案】（1）①，②；（2），有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关．

20-5（巩固）某种病菌在某地区人群中传播，目前临床医学研究中已有费用昂贵但能准确检测出个体是否带菌的方法.现引进操作易、成本低的新型检测方法：每次只需检测，两项指标，若指标的值大于4且指标的值大于100，则检测结果呈阳性，否则呈阴性.为考查该检测方法的准确度，随机抽取50位带菌者（用“*”表示）和50位不带菌者（用“”表示）各做一次检测，他们检测后的数据，制成统计图：

（1）从这100名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，求检测结果呈阳性的概率；
（2）完成下列列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为“带菌”与“检测结果呈阳性”有关？

检测结果呈阳性
检测结果呈阴性
合计
不带菌者

带菌者

合计

（参考公式：，其中）

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【正确答案】（1）；（2）表格见解析，能.

20-6（巩固）今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣.某大学学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的直方图(引体向上个数只记整数）.学生发展中心为进一步了解情况，组织了两个研究小组

（1）第一小组决定从单次完成1-15个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，①单次完成11-15个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这11人中抽取2人进行个别访谈，已知抽到的其中一个男生单次完成了3个引体向上，求抽到的另一个男生单次完成了11-15个引体向上的概率是多少？
（2）第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的列联表.

学业优秀
学业不优秀
总计
体育成绩不优秀
100
200
300
体育成绩优秀
50
50
100
总计
150
250
400
请你根据联表判断是否有%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？
参考公式及数据

0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001

0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828

【正确答案】（1）①②（2）有

20-7（巩固）近日，为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了新冠疫苗免费接种的宣传和调查．调查数据如下：共95份有效问卷，40名男性中有10名不愿意接种疫苗，55名女性中有5名不愿意接种疫苗．
(1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关?

愿意接种
不愿意接种
合计
男

女

合计

（2）从不愿意接种的15份调查问卷中得到拒绝接种新冠疫苗的原因：有3份身体原因不能接种；有2份认为新冠肺炎已得到控制，无需接种：有4份担心疫苗的有效性：有6份担心疫苗的安全性．求从这15份问卷中随机选出2份，在已知至少有一份担心疫苗安全性的条件下，另一份是担心疫苗有效性的概率．
附：

0.050
0.010
0.005

3.841
6.635
7.879

【正确答案】（1）列联表见解析；有；（2）．

20-8（提升）深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队.在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考查甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：

球队胜
球队负
总计
甲参加

甲未参加

总计

1、求、、、、的值，据此能否有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；
2、根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：、、、，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为：、、、.则：
①当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
②当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用乙球员？
附表及公式：

.
【正确答案】 1、，，，有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关
2、①；②；③多让乙球员担当守门员，来扩大赢球场次

20-9（提升） 2021年6月2日巴蜀中学成功地举办了一年一度的大型学生社团文化节，吸引了众多学生．巴蜀中学目前共有社团近40个，由高一和高二学生组成，参加社团的学生共有四百人左右．已知巴蜀中学高一和高二的所有学生中男生与女生人数比为6：4，为了解学生参加社团活动的情况，按性别采用分层抽样的方法抽取部分学生，统计得到如下等高累积型条形图：

（1）求巴蜀中学参加社团的学生中，任选1人是男生的概率；
（2）若抽取了100名学生，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为巴蜀中学高一和高二学生的性别与参加学生社团有关联？请说明理由．

参加社团
未参加社团
合计
男生

女生

合计

附：，
临界值表：

0.1
0.05
0.01

2.706
3.841
6.635

【正确答案】（1）：（2）填表见解析；性别与参加社团无关；答案见解析．

20-10（提升）一家大型超市委托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄在[20，60]内的顾客中，随机抽取了200人，调查结果如图：

（1）为推广移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有10000人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关：

年龄