2023届北京市顺义区高三一模数学试题（word版）

顺义区2023届高三第一次统练

数学试卷

考生须知：

1．本试卷共5页，共两部分，第一部分共10道小题，共40分，第二部分共11道小题，共110分，满分150分．考试时间120分钟．

2．在答题卡上准确填写学校、姓名、班级和教育ID号．

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．

4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 在复平面内，复数对应点的坐标为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 的展开式中的常数项为　　

A.  B.  C. 6 D. 24

4. 若等差数列和等比数列满足，则的公差为（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

5. 函数的大致图象是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 若双曲线的离心率为，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知，，则“存在使得”是“”（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．于年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数．为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．若计算时取，则该蓄电池的常数大约为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 在棱长为1的正方体中，动点P在棱上，动点Q在线段上、若，则三棱锥的体积（    ）

A. 与无关，与有关 B. 与有关，与无关

C. 与都有关 D. 与都无关

10. 已知点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，则的最小值为（    ）

A. 0 B.  C.  D.

第二部分（非选择题   共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 函数的定义域为______________．

12. 已知圆，点A、B在圆M上，且为中点，则直线的方程为_____________．

13. 若存在使得，则m可取的一个值为_____________．

14. 在中，，，，则___________，_____________．

15. 如果函数满足对任意s，，有，则称为优函数．给出下列四个结论：

①为优函数；

②若为优函数，则；

③若为优函数，则在上单调递增；

④若在上单调递减，则为优函数．

其中，所有正确结论的序号是______________．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．

16. 已知函数的一个零点为．

（1）求A和函数的最小正周期；

（2）当时，若恒成立，求实数m的取值范围．

17. 为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据：

假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立．

（1）若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；

（2）从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望：

（3）从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）

18. 如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，，，E是的中点．

（1）求证：直线∥平面；

（2）已知，点M在棱上，且二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值．

条件①：平面平面；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

19. 已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间．

20. 已知椭圆经过点，离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．若以为邻边平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积是定值．

21. 已知为正整数数列，满足．记．定义A的伴随数列如下：

①；

②，其中．

（1）若数列A：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列；

（2）当时，若，求证：；

（3）当时，若，求证：．

顺义区2023届高三第一次统练

数学试卷

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】D

10.【答案】D

第二部分（非选择题   共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】（内的任一值均可）

14.【答案】    ① ##    ②.

15. 【答案】①②④

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．

16. 已知函数的一个零点为．

（1）求A和函数的最小正周期；

（2）当时，若恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）解方程即可求，然后把函数降幂，辅助角公式后再求周期.

（2）若恒成立，即求.

【小问1详解】

的一个零点为

，即，

所以函数的最小正周期为.

【小问2详解】

当时有最大值，即 .

若恒成立，即,

所以，故的取值范围为.

17. 为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据：

假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立．

（1）若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；

（2）从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望：

（3）从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）

【答案】（1）   

（2）分布列见解析，数学期望为1   

（3）2

【解析】

【分析】（1）结合表格中数据求出概率；

（2）先得到只服用药物A和只服用药物B的患者7天内康复的概率，得到X的可能取值及相应的概率，得到分布列和期望；

（3）求出只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率，利用独立性重复试验求概率公式得到，列出不等式组，求出，结合得到答案.

【小问1详解】

只服用药物A的人数为人，且能在14天内康复的人数有人，

故一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率为；

【小问2详解】

只服用药物A的患者7天内康复的概率为，

只服用药物B的患者7天内康复的概率为，

其中X的可能取值为，

，，

，

则分布列：

数学期望为；

【小问3详解】

只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率为，

，

令，即，

解得：，因为，所以.

18. 如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，，，E是的中点．

（1）求证：直线∥平面；

（2）已知，点M在棱上，且二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值．

条件①：平面平面；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）证明过程见详解   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据中位线定理和线面平行判定即可求解；（2）根据线面垂直的判定或性质，以及建立空间直角坐标系，利用法向量求解二面角的余弦值即可进一步得解.

【小问1详解】

取PA中点F，

连接，

因为E是的中点，F是PA中点，

所以是中位线，

所以平行且等于AD的一半，

因为，

所以平行于，

又，

所以与平行且相等，

所以四边形BCEF为平行四边形，

所以CE平行于BF，

而平面，

平面，

所以直线∥平面.

【小问2详解】

若选①：平面平面，

取AD中点O，

因为侧面为等边三角形，

所以平面，

易证平面，

以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

，,

所以,

所以，

所以

所以，

所以,,

设平面的一个法向量为，

所以，

令，

解得，

所以，

易知地面一个法向量为，

又二面角的大小为，

所以，

所以，

解得，

又点M在棱上，所以，

所以，

所以的值为.

若选②：

则取AD中点O，

因为侧面为等边三角形，

所以平面，

连接OA,OC,OD，

易知，

所以，

以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

，,

所以,

所以，

所以

所以，

所以,,

设平面的一个法向量为，

所以，

令，

解得，

所以，

易知地面一个法向量为，

又二面角的大小为，

所以，

所以，

解得，

又点M在棱上，所以，

所以，

所以的值为.

19. 已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】(1)当时，求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；

(2)对a进行分类讨论，由此求得的单调区间．

【小问1详解】

当时，，

所以

又因为，，

所以在处的切线方程为，即

【小问2详解】

由题意知，的定义域为R

①当时，，则当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增；

②当时，由得或，

（i）若，则，所以在R上单调递增，

（ii）若，则，

所以当或时，当时，

所以在上单调递减，在和上单调递增，

（iii）若，则，

所以当或时，当时，

所以在上单调递减，在和上单调递增，

综上所述，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；

当时，的单调递减区间是，单调递增区间是和；

当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；

当时，的单调递减区间是，单调递增区间是和．

20. 已知椭圆经过点，离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．若以为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积是定值．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由题意可得关于，，的方程组，求得，的值，则椭圆方程可求；

（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形是平行四边形，可得点坐标，把点坐标代入椭圆方程，得到，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形的面积为定值．

【小问1详解】

由题意，可得，解得，，，

所以椭圆为.

【小问2详解】

证明：把代入椭圆方程，

得，

所以，即，

设，，则，，

所以，

因为四边形是平行四边形，

所以，

所以点坐标为.

又因为点在椭圆上，

所以，即.

因为，

即.

又点到直线距离，

所以平行四边形的面积

，

即平行四边形的面积为定值.

21. 已知为正整数数列，满足．记．定义A的伴随数列如下：

①；

②，其中．

（1）若数列A：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列；

（2）当时，若，求证：；

（3）当时，若，求证：．

【答案】（1）；   

（2）见解析；    （3）见解析.

【解析】

【分析】（1）依题意，可直接写出相应的伴随数列；

（2）讨论，两种情况，利用反证法即可求解；

（3）讨论，两种情况，当时，由（2）的结论，中至少有两个1，利用反证法可得，根据的定义即可证明.

【小问1详解】

因为数列A：4，3，2，1，，

所以.

因为，

所以，，，

，.

故数列A的伴随数列为.

【小问2详解】

当时，，显然有；

当时，只要证明.

用反证法，假设，

则，从而，矛盾.

所以.

再根据为正整数，可知.

故当时，.

【小问3详解】

当时，，有，此时，命题成立；

当时，由（2）的结论，中至少有两个1，

现假设中共有个1，即

则.

因为若，则，矛盾.

所以.

根据的定义可知，，，

，

以此类推可知一直有，再由后面，可知；

另一方面与奇偶性相同，所以.

【点睛】定义新数列题目，要正确理解题目信息，将问题转化为熟悉的知识点进行求解,注意反证法的运用.