2022-2023学年河北省保定市第三中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省保定市第三中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解一元二次不等式化简集合，再利用集合交集的定义求解即可.

【详解】由解得，

所以，所以，

故选：A.

2．设命题，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】直接根据全称命题的否定，即可得到结论.

【详解】因为命题，，

所以： ，.

故选：D

3．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由真数大于0，二次根式下被开方数不小于0可得．

【详解】由题意，解得．

故选：C．

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据指数函数的单调性以及必要不充分条件的定义证明即可.

【详解】，∵为单调递增函数，∴，则，∴，反之不成立，所以“”是“”的必要不充分条件

故选：B

5．设，则，，则，，的大小关系是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对数的运算、指数运算的性质，结合对数函数的性质、指数函数的性质进行求解判断即可.

【详解】，所以有，

因为，所以有，

故选：B

6．已知，则等于（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】B

【分析】应用诱导公式及正余弦的齐次式，将题设等式转化为，即可求值.

【详解】，

∴，可得.

故选：B.

7．已知函数且的图像过定点，且角的终边过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对数型函数过定点求得，利用三角函数的定义求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可.

【详解】因为当时，，所以过定点，

由三角函数的定义可得，，，

所以，

故选：D

8．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用零点存在性定理即可判断.

【详解】；；

；

故选：B

【点睛】本题主要考查了求函数零点所在区间，属于基础题.

9．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论．

【详解】记，函数定义域为，则，函数为奇函数，排除BC，又时，，排除D．

故选：A．

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

10．已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意作函数与的图象，从而可得，，从而得到结果．

【详解】由题意作函数与的图象如下，

∵方程有四个不同的解，且，

∴关于对称，即，

当得或，则，故，

故选：A.

二、多选题

11．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】逐一判断奇偶性和单调性即可求解

【详解】对于A：的定义域为，且，

所以为奇函数，故A错误；

对于B：的定义域为，且，所以为偶函数，

当时，由一次函数的性质可知，在上单调递增，

即在上单调递增，故B正确；

对于C：的定义域为，且，

所以为偶函数，由幂函数的性质可知，在上单调递增，故C正确；

对于D：的定义域为，且，

所以为奇函数，故D错误；

故选：BC

12．给出下列函数：① ；② ；③ ；④ ．其中最小正周期为 的有（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】ABC

【分析】根据三角函数的性质求解即可.

【详解】解：对于①，，最小正周期为，正确；

对于②，，由于的最小正周期为，故的最小正周期为，正确；

对于③，，最小正周期为，正确；

对于④，，最小正周期为，错误；

故选：ABC

13．函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ）．

A．该函数的解析式为

B．该函数图象的对称中心为，

C．该函数的单调递增区间是，

D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象

【答案】ACD

【分析】根据图象可得函数的解析式，然后根据三角函数的性质及图象变换规律逐项分析即得.

【详解】由题图可知，，周期，

所以，则，

因为当时，，即，

所以，，即，，

又，故，从而，故A正确；

令，，得，，故B错误；

令，，

得，，故C正确；

函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，

可得到，故D正确．

故选：ACD.

14．已知函数，则下列结论中正确的是（    ）.

A．是函数的一个单调减区间

B．的解集为

C．若，则，或

D．方程必有两个实数根

【答案】BC

【解析】根据符合函数的单调性即可判断A；分段解不等式再求并集即可判断B；分段解方程即可判断C；利用函数与交点的个数，即可判断D

【详解】对于A：当时，，是由与复合而成，而与都是减函数，

由复合函数的单调性法则可得在上是增函数，故A错误；

对于B：如图，当时，由 ，，，所以不成立；

当时，，也即 ，解得，所以的解集为，故B成立；

对于C，当时，，即，解得，

当时，，即，解得，故C正确；

对于D，方程的根是函数与交点的个数，

如图，函数与只有一个交点，故方程只有一个实数根，故D错误.

故选：BC

【点睛】本题主要考查了函数的单调性，分段函数解不等式和解方程，函数与方程等，属于中档题.

三、填空题

15．若，则________.

【答案】

【解析】由，根据三角函数的诱导公式进行转化求解即可．

【详解】，

，

则，

故答案为：．

16．已知，则________.

【答案】

【分析】由二倍角公式，商数关系变形然后代入已知计算．

【详解】由题意

故答案为：．

17．设，则______.

【答案】1

【解析】根据指数式与对数式的互化，得到，，再结合对数的运算法则，即可求解.

【详解】由，可得，，

所以.

故答案为：.

18．已知且，对任意且，不等式恒成立，则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】根据题意得到在上单调递减，结合复数函数的单调性的判定方法，得到，再结合对数函数的定义域和二次函数的性质，列出不等式，即可求解．

【详解】因为对任意且，不等式恒成立，

所以在上单调递减，

因为在上单调递减，由复合函数的单调性知，

又由对数函数的定义域知，当时，恒成立，

可得，解得，

综上可得；，所以实数的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

19．计算

(1)已知，，.求和的值

(2)

【答案】(1),

(2)0

【分析】（1）利用同角三角函数关系和正切的两角和公式求解即可；

（2）利用对数和指数的运算求解即可.

【详解】（1）因为，，所以，，

因为，所以，.

（2）原式.

20．已知函数（且）.

(1)判断的奇偶性并予以证明；

(2)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集.

【答案】(1)奇函数，证明见解析

(2)

【分析】（1）先求定义域，再由奇偶性定义证明即可；

（2）根据解集得出，，再利用对数函数的单调性解不等式即可.

【详解】（1）要使有意义，必须且，

解得，所以的定义域为.

是奇函数.

证明如下：

的定义域为，关于原点对称，

∵，

∴为奇函数.

（2）由不等式的解集为，

∴得，，

∴，得，

∵为减函数，

∴

解得：，所以解集为.

21．已知函数，且函数的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．

(1)求的值和函数的单调递增区间；

(2)求函数在区间上的值域．

【答案】(1)；，

(2)

【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，再由题设条件得到，从而求得，再利用正弦函数的单调性及整体代入法求得的单调递增区间；

（2）先由得到，再结合正弦函数的性质即可求得，从而得到的值域．

【详解】（1）因为，

因为函数的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，

所以，即，则，即，又，故，

所以，

令，，得，，

所以函数的单调递增区间为，.

（2）因为，所以，

故，则，即，

所以函数的值域为．

22．为了在冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层､某栋房屋要建造能使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的建造成本是6万元，该栋房屋每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元.设为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.

(1)求和的表达式；

(2)当隔热层修建多少厘米厚时，总费用最小，并求出最小值.

【答案】(1)，

(2)隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元

【分析】(1)由已知，又不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元．所以可得C（0）＝5，由此可求，进而得到．由已知建造费用为6x，根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），可得f（x）的表达式．

(2)由(1)中所求的f（x）的表达式，利用基本不等式求出总费用f（x）的最小值．

【详解】（1）因为，

若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，所以，故，

因为为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和，

所以.

（2），

当且仅当，即时，等号成立，

即隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元.