2022-2023学年浙江省浙东北联盟高二上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省浙东北联盟高二上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．某校举行演讲比赛，邀请7位评委分别给选手打分，得到7个原始评分．在评定选手成绩时，从这7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征保持不变的是（    ）

A．众数 B．标准差 C．平均数 D．中位数

【答案】D

【分析】根据评分的规则容易判断选项.

【详解】7个数去掉一个最高分，去掉一个最低分，显然中位数是不变的；

故选：D.

2．已知，，三点共线，则实数（    ）

A．10 B．4 C．－4 D．－10

【答案】A

【分析】根据三点共线可得，，写出斜率相等的表达式即可求出参数的值

【详解】由题可得：，

故选：A

3．若点不在圆的外部，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得且，求解即可.

【详解】解：因为点不在圆的外部，

所以且，

化简得：

解得：.

故选：B.

4．某旅行社统计了三条路线的旅游人数，具体分布如下表（每人参加且仅参加一条路线）：

现要对这三条路线的选择情况进行抽样调查，从参加这三条路线的人中采用按小组分层随机抽样的方法抽取60人，从参加南北湖景区路线的人中抽出16人，则（    ）A．30              B．60              C．80              D．100

【答案】B

【分析】由分层抽样按比例求出各景区抽取的人数后可得值．

【详解】设东湖景区抽取的人数为，则，，

从而西塘古镇景区抽取的人数为，

因此，．

故选：B．

5．已知椭圆：的左、右焦点分别为，．若斜率为1，且过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．12

【答案】C

【分析】利用椭圆的定义即可求解

【详解】由椭圆：可得，

因为，在椭圆上，根据椭圆的定义可得，

所以的周长为，

故选：C

6．已知直线：，：，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用充要条件的定义判断.

【详解】解：当时，直线：，：，则，

当时，，即，

解得 ，

故“”是“”的充要条件，

故选：C

7．已知点，，若直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设点，根据得到动点的轨迹方程，依题意可得直线与圆有交点，即圆心到直线的距离小于等于半径，即可得到不等式，解得即可.

【详解】解：设点，

点，，，

，整理得，

即点在圆 上，

又直线上存在点使得，

圆与直线有交点，

圆心到直线的距离，

解得，即.

故选：C．

8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，其中为右焦点，两曲线在第一象限的交点为，离心率分别为，．若线段的中垂线经过点，则（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】B

【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，利用中垂线可得到，利用椭圆和双曲线的定义可得到，即可求得答案

【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，

因为线段的中垂线经过点，所以是以为底边的等腰三角形，

则，

由椭圆和双曲线的定义可得，

两式相加得，两边同时除以得，

所以，

故选：B

二、多选题

9．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新的样本数据，，…，，则（    ）

A．新样本数据的极差是原样本数据极差的2倍

B．新样本数据的方差是原样本数据方差的2倍

C．新样本数据的中位数是原样本数据中位数的2倍

D．新样本数据的平均数是原样本数据平均数的2倍

【答案】ACD

【分析】根据平均数、极差、方差、中位数的定义及性质判断即可.

【详解】解：设样本数据，，…，的最大值为，最小值为，

平均数为，中位数为，方差为，则极差为，

所以新的样本数据，，…，的最大值为，最小值为，

平均数为，中位数为，方差为，则极差为，

即新样本数据的极差是原样本数据极差的倍，新样本数据的方差是原样本数据方差的倍，

新样本数据的中位数是原样本数据中位数的倍，新样本数据的平均数是原样本数据平均数的倍.

故选：ACD

10．已知曲线：，则（    ）

A．若，则曲线为圆

B．若，则曲线为双曲线

C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则其离心率

D．若曲线为焦点在轴上的双曲线，则其渐近线方程为

【答案】BD

【分析】根据圆、椭圆、双曲线的定义对选项逐一判断即可.

【详解】对于A选项，时表示圆，故A错误.

对于选项B，时表示焦点在轴或者轴上的双曲线.故B正确

对于选项C，曲线为焦点在轴上的椭圆，则，故C错误.

对于选项D，曲线为焦点在轴上的双曲线，则其渐近线方程为

故D错误.

故选：BD

11．已知圆：与圆：相交于，两点，则（    ）

A．的面积为

B．直线的方程为

C．在经过，两点的所有圆中，的面积最小

D．若是圆和圆边界及内部的一点，则

【答案】BC

【分析】根据题意两圆方程作差即可得到直线的方程，即可判断B，且根据圆心的坐标可得为圆的直径，即可判断AC,然后将转化为点与圆上及圆内斜率的范围，结合图形即可判断D.

【详解】

因为圆：与圆：

两圆作差可得

即直线的方程为，故B正确；

且圆：，即，即圆心,

半径，所以圆心在直线的方程上，

所以在经过，两点的所有圆中，的面积最小，故C正确；

且，又圆：，即，即圆心，半径，即到直线的距离

所以，故A错误；

设，过点的直线与相切于点，过点的直线与相切于点，

显然直线的斜率存在且不为0，设的斜率为

则直线，

所以

求得或（舍）

同理设直线的斜率为

则直线

即

求得或（舍）

所以或，故D错误

故选:BC.

12．1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，设定点，，其中，动点满足（且为常数），化简可得曲线：，则（    ）

A．原点在曲线的内部

B．曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形

C．若，则的最大值为

D．若，则存在点，使得

【答案】BCD

【分析】对于A，将原点坐标代入方程判断，对于B，对曲线方程以代，代进行判断，对于C，利用曲线方程求出的取值范围，结合两点间的距离公式进行判断，对于D，若存在点，使得，然后由化简计算即可判断.

【详解】对于A，将代入方程，得，所以当时，原点在曲线上，所以A错误，

对于B，以代，得，得，所以曲线关于轴对称，

代，得，得，所以曲线关于轴对称，

以代，代，得，得，所以曲线关于原点对称，所以曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以B正确，

对于C，当时，由，得，解得，

所以，

所以，所以的最大值为，所以C正确，

对于D，若存在点，使得，则，因为，所以，所以，

所以由，得，所以，所以，反之也成立，所以当，则存在点，使得，所以D正确，

故选：BCD

三、填空题

13．已知抛物线的顶点为原点，准线为，则抛物线的方程为_________．

【答案】

【分析】根据题意设出抛物线的标准方程求解即可．

【详解】解：由题意设抛物线的方程为，

，

，

∴ 抛物线的标准方程为．

故答案为：．

14．在某次数学测验中，6位学生的成绩分别为：78，85，，82，75，80，他们的平均成绩为81，则他们成绩的75%分位数为_________．

【答案】85

【分析】根据百分位数的定义求解即可．

【详解】解：由题意知，

解得，

把这组数据按从小到大的顺序记为：75,78,80,82,85,86，

指数，

因此，这组数据的75%分位数为85．

故答案为：85．

15．已知直线：，：，若，则实数_________．

【答案】－3或0

【分析】直线垂直，分斜率存在与不存在两种情况进行讨论，斜率存在，乘积为-1，可得答案.

【详解】当时，直线：，：，此时显然，符合题意；

当时，整理可得直线：，：，

由，则，解得.

故答案为：－3或0

16．直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围为_________．

【答案】

【分析】由，得当时，，当，根据直线与曲线恰有两个交点，数形结合求得m的取值范围.

【详解】由，得当时，，当时，

当时，直线为与曲线恰好有两个交点，符合题意

当时，直线方程为，直线过定点，

若，则曲线为以为圆心，1为半径的圆轴正半轴的部分，因为直线与曲线恰有两个交点，则 即，解得，

若曲线为双曲线轴负半轴的部分，因为直线与曲线恰有两个交点，双曲线的渐近线为 则

综上：的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．求满足下列条件的直线方程．

(1)直线的倾斜角为，且经过点；

(2)直线过点，且在两坐标轴上的截距相等．

【答案】(1)；

(2)或．

【分析】（1）先求出直线的斜率，然后利用点斜式可求出直线方程，

（2）分截距等于零和截距不为零两种情况求解.

【详解】（1）因为直线的倾斜角为，

所以直线的斜率为，

因为直线经过点，

所以直线的方程为，即，

（2）当直线的截距为0时，设直线的方程为，

因为直线过点，所以，

所以直线为，

当直线在两坐标轴上的截距不为零时，由题意设直线的方程为，

因为直线过点，

所以，得，

所以直线的方程为，即，

综上，直线的方程为或．

18．城市道路由于通勤、施工等因素，容易出现早晚高峰．一般地，工作日早高峰时段通常在7：00－9：00，晚高峰时段通常在17：00－19：00．为了衡量某路段在某一段时间内的拥堵程度，通常采用的指标之一是路段的汽车平均行驶速度，即在该时间段通过该路段的汽车的平均速度．路段通常可分为快速路、主干路、次干路、支路，根据不同路段与汽车平均行驶速度，可将拥堵程度分为1到5级．等级划分如表（单位：）：

某大桥是连接两地的快速路．今在某高峰时段监测大桥的汽车平均行驶速度，得到如下频率分布直方图．

(1)求车速在内的频率；

(2)根据统计学知识，估计该时段大桥拥堵程度的等级．

【答案】(1)0.05

(2)2级

【分析】（1）由各组的频率和为1，可求出，从而可求出车速在内的频率；

（2）根据频率分布直方图求出平均速度，再根据等组划分的标准可得结论.

【详解】（1），解得，

所以车速在内的频率为0.05．

（2）由频率分布直方图得，汽车平均行驶速度为

，        

该时段大桥拥堵程度为2级．

19．平面直角坐标系中，，，动点满足．

(1)求点的轨迹方程；

(2)过点作轴上的垂线，为垂足．若_________，当点运动时，求点的轨迹方程．

在① ，② 这两个条件中任选一个，补充到横线中，并求解问题．

（若选择多个条件作答，则按照第一个解答计分）

【答案】(1)

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）设点，根据直接写出点P的轨迹方程；

（2）把P点的坐标用M点的坐标表示，利用点P在单位圆上代入即可求得点M的轨迹方程．

【详解】（1）解：设点，

则，

化简得．

（2）解：若选择 ① ，设，，，

，

，

，

解得，

从而，

即点的轨迹方程为．

若选择② ，同理可得

，

从而，

则点的轨迹方程为．

20．已知圆经过点和，圆心在直线上．

(1)求圆的方程；

(2)若，分别是圆和圆：上的点，点是直线上的点，求的最小值，以及此时点的坐标．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）根据圆心在AB的中垂线上，先求得中垂线的方程，然后联立，求得圆心，进而求得半径；

（2）根据三角形两边之和大于第三边分析得到取最小值时点P为直线与的交点，求出两直线交点坐标即可．

【详解】（1）解：由题意知的中点坐标为，，

∴ 直线的中垂线为，

联立，

解得，

即圆的圆心为，半径，

其方程为．

（2）解：注意到点和点在直线两侧，

直线与两圆分别相离， 画出示意图如下：

，

当且仅当在线段上时取等号，

此时点P为直线与的交点，

过的直线方程为，

联立，

，

．

21．已知双曲线：经过点，焦点到渐近线的距离为．

(1)求双曲线的方程；

(2)若直线与双曲线相交于，两点，是弦的中点，求的长度．

【答案】(1);

(2).

【分析】(1)由焦点到渐近线的距离为，可得，再代入点，即可求得双曲线方程;

(2)由的中点为，可求得直线的方程为，联立直线与双曲线的方程可得，再由弦长公式计算即可.

【详解】（1）解：若焦点，其到渐近线的距离，

又因为双曲线：经过点，

所以，解得，                

所以双曲线的方程为；

（2）解：设点，，

因为是弦的中点，

则．

由于，

则，

所以，

从而直线的方程为，

即．                

联立，

得，

所以，            

从而．

22．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线（异于轴）交椭圆于，两点，直线与交于点，直线与交于点．记直线和的斜率分别为，，求证：为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据左、右焦点分别为，得到c，再利用离心率求解；

（2）设直线：，与椭圆方程联立，分别得到直线和直线的方程求得点M的坐标，同理得到点N的坐标，再利用斜率公式求解证明.

【详解】（1）解：由题意知，又，

则，，

所以椭圆方程为．

（2）设直线：，，．

联立，则，

．    

直线的方程为，

直线的方程为．

联立这两个直线方程，解得，从而，

即．

同理，解得．        

直线的斜率，

，

则，即证．