2022-2023学年浙江省南太湖联盟高二上学期9月联考数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省南太湖联盟高二上学期9月联考数学试题

一、单选题

1．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为（　　）

A．－1＋i B．1－i

C．－5－5i D．5＋5i

【答案】D

【分析】根据复数的几何意义即可求解.

【详解】因为由已知 ＝（2，3）， ＝（－3，－2），所以，

所以对应的复数为5＋5i；

故选：D.

2．已知集合 ，为整数集，则  

A．  B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据集合运算的定义计算即可.

【详解】由已知得，则 ；

故选：D．

3．已知，则的最小值为（    ）

A．3 B．2

C．4 D．1

【答案】A

【分析】因为，所以，将分离常数既可以用基本不等式求最值.

【详解】因为，所以，

由均值不等式可得，

当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为3，

故选：A

【点睛】本题主要考查了基本不等式求和的最小值，属于基础题.

4．已知，则等于（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件，利用诱导公式及同角三角函数的商数关系求即可.

【详解】由，即，

所以，

故选：D．

5．上、下底面面积分别为和，母线长为的圆台，其两底面之间的距离为（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据圆台底面半径，母线，高之间的关系求解.

【详解】设圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R，

因为上、下底面面积分别为36π和49π，所以，

因为，解得h＝4，即两底面之间的距离为4

故选：A

6．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行判断即可.

【详解】∵，∴，∴，，，

∴.

故选：A

7．有四个幂函数：①；②；③；④.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是且；（3）在上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，－个错误，则他研究的函数是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】B

【分析】分析每个幂函数的奇偶性、值域、单调性，根据题意，选择满足题意的即可.

【详解】①，定义域为关于原点对称.

因为，故为奇函数；

因为，故其值域为： 且；

其在是单调减函数.

在给出的函数性质中，有两个错误，故①不是研究的函数.

②，定义域为关于原点对称.

因为，故其在定义域是偶函数；

因为，故其值域为；

其在是单调增函数.

在给出的函数性质中，有两个正确，故②是研究的函数.

③，定义域为，关于原点对称.

因为，故其在定义域是奇函数；

因为，故其值域为；

其在上是单调增函数.

在给出的函数性质中，有两个错误，故③不是研究的函数.

④，其定义域为，关于原点对称.

因为，故其是奇函数；

因为，故其值域为；

其在定义域上单调递增.

在给出的函数性质中，有两个错误，故④不是研究的函数.

综上所述，研究的函数是②.

故选：.

8．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若，且，则的最小值是（    ）

A．3 B．4 C．9 D．16

【答案】A

【分析】利用向量的线性运算，结合数量积，可求得，确定其取值范围，再根据平方后的式子，即可求得答案.

【详解】因为，所以，

所以，即，则．

因为点P是圆O内部一点，所以，所以，

则，

当且仅当时，等号成立，故的最小值是3,

故选：A.

二、多选题

9．已知数据的平均数为，标准差为，则（    ）

A．数据的平均数为，标准差为

B．数据的平均数为，标准差为

C．数据的平均数为，方差为

D．数据的平均数为，方差为

【答案】BC

【分析】根据平均数、方差、标准差的定义逐项判断可得答案.

【详解】， ，

对于A，与不存在关系，不一定相等，故错误；

对于B，，，所以数据的标准差为，故正确；

对于C，，，故正确；

对于D，数据的平均数为，方差为

，故错误.

故选：BC.

10．将函数图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则的值可能为(    )

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据图象平移求出平移后函数解析式，根据正弦型函数的对称性即可求出的值．

【详解】平移后得到函数解析式为，

∵g(x)图象关于原点对称，即g(x)是奇函数，

∴，

∴，∴．

当k＝0时，φ＝；当k＝1，φ＝．

故选：BD．

11．三角形有一个角是，这个角的两边长分别为8和5，则（    ）．

A．三角形另一边长为7 B．三角形的周长为20

C．三角形内切圆周长为 D．三角形外接圆面积为

【答案】ABD

【分析】利用余弦定理求得第三边长，由此判断AB选项的正确性；利用三角形面积列方程，解方程求得内切圆的半径，进而求得内切圆的周长，由此判断C选项的正确性；利用正弦定理求得外接圆的半径，由此求得外接圆的面积，从而判断D选项的正确性.

【详解】可得另一边长为，

三角形的周长为20，则A正确，B正确；

设内切圆半径为，

则，

则，

则内切圆周长为，则C不正确；

设外接圆半径为，则，,

其面积为，

则D正确．

故选：ABD.

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形内切圆，外接圆有关计算.属于较易题.

12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（    ）

A．该半正多面体的体积为

B．该半正多面体过三点的截面面积为

C．该半正多面体外接球的表面积为

D．该半正多面体的顶点数、面数、棱数满足关系式

【答案】ACD

【分析】根据几何体的构成可判断A，由截面为正六边形可求面积判断B，根据外接球为正四棱柱可判断C，根据顶点，面数，棱数判断D.

【详解】如图，

该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的.

对于A， 因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：， 故正确；

对于B，过三点的截面为正六边形，所以，故错误；

对于C，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为,侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积，故正确；

对于D，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足，故正确.

故选：ACD

三、填空题

13．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_________．

【答案】

【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案．

【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，

则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率，

故该密码被成功破译的概率．

故答案为：．

14．写出一个与向量的夹角为45°的向量__________．（答案不唯一写出一个即可）

【答案】（1，0）（答案不雅一）

【分析】根据向量数量积的坐标运算求夹角即可.

【详解】设，则

故可取

故答案为：

15．如图，已知，D是中点，则点B到平面的距离是___________.

【答案】

【分析】证明，得线面垂直，从而得点到平面的距离，由此易得其长度．

【详解】因为，所以，

所以，，

又D是中点，所以，

，平面，所以平面，的长就是点B到平面的距离，

由已知，，

故答案为：．

16．已知函数若方程有6个不同的实数解，则m的取值范围是________．

【答案】

【分析】作出的图像，令，问题等价于关于t的方程在上有两个不等实数根，再分解因式求解即可.

【详解】函数的图象如图所示．

令，则方程有6个不等实数解，

等价于关于t的方程在上有两个不等实数根，

令，

则解得且．

故答案为：.

【点睛】方法点睛：研究方程问题，一方面用函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．

四、解答题

17．在锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求角C的大小；

(2)若，，求△ABC的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理得到，根据△ABC是锐角三角形求出角C的值；

（2）根据余弦定理求出，再利用面积公式求出答案.

【详解】(1)由及正弦定理得．

因为，故，

又△ABC是锐角三角形，所以；

(2)由余弦定理得:，

解得：或（舍去）．

故．

18．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，其中．

(1)求及在上的投影向量；

(2)证明 ，，三点共线，并求当时的值．

【答案】(1)，在上的投影向量为；

(2)证明见解析；

【分析】（1）利用数量积的坐标运算算出，接着先算，，接着利用投影公式算出答案；

（2）先利用得到且，利用题意算出能得到，再结合公共点能得到三点共线，最后，最终算出的值

【详解】(1)因为，，

所以，

，，

所以在上的投影向量为

(2)证明：因为，所以且，

因为，，，

所以，

即，又有公共点，所以，，三点共线；

因为，所以，即

19．已知函数.

(1)求的最小正周期和对称中心坐标

(2)当时，求的最大值和最小值．

【答案】(1)，，

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得最小正周期与对称中心；

（2）利用整体代入法求最值.

【详解】(1)由已知，

所以最小正周期，

令，，

得，，

所以对称中心为，；

(2)当时，，

所以，

故，

所以函数的最大值为，最小值为.

20．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），……，[80，90），[90，100]．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数（保留一位小数）；

(3)从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．

【答案】(1)

(2)76.4

(3)

【分析】(1)根据频率分布直方图的各个小矩形的面积之和为1求出a；

(2)根据频率分布直方图估计中位数；

(3)根据频率分布直方图求出从评分在和的人中抽取的人数，再根据古典概型计算概率.

【详解】(1)由频率分布直方图得：

，解得．

(2)评分在的概率为，评分在的概率为，该企业的职工对该部门评分的50%分位数位于，所以50%分位数为；

(3)受访职工中评分在的有：人，记为，，，

受访职工中评分在的有：人，记为，，

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有的可能结果有10种，分别为：

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

此2人评分都在包含的基本事件有，，，，，，共3个，

从评分在的受访职工中，随机抽取2人，此2人评分都在的概率．

21．已知定义域为的函数是奇函数．

(1)求的值；

(2)判断函数的单调性并证明；

(3)若关于的不等式在有解，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)减函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）根据奇函数的性质，利用进行求解．

（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．

（3）结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化，利用参变分离的思想结合函数有解的条件进行转化．

【详解】(1)由为定义在上奇函数，可知，解得．则，

，故．

(2)由单调递增可知在上为减函数，证明如下：

对于任意实数，，不妨设，

递增，且，，，，

故在上为减函数．

(3)由为奇函数得：，等价于．

又由在上为减函数得：，即；

因为，所以．原问题转化为在上有解，

，当且仅当，即时，等号成立，

当时，取得最大值．，解得，

的取值范围是．

22．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，点分别在线段和上，且．

（1）求证：平面；

（2）设二面角大小为，若，求直线和平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）连接，交于，只须证明平行于平面内直线即可；

（2）取中点，连接、，可得为二面角的平面角，再在中利用余弦定理求出，过点作交于点，可证平面，即为点到平面的距离，又平面，则也为点到平面的距离，再利用等面积法求出，再求长，二者之比即为所求．

【详解】（1）证明：连接，交于，

因为，，所以，，

因为，所以，

，所以，

因为平面，平面，所以平面；

（2）解：取中点，连接、，

因为为正三角形，所以，，

因为为直角梯形，，，，所以四边形为矩形，

所以，因为，所以平面，所以平面平面，

所以为二面角的平面角，

所以，设，由余弦定理得，

于是，整理得，解得或（舍去），

过点作交于点，

因为，平面，所以平面，又面，所以面平面，面平面，平面，

所以平面，

所以为点到平面的距离，

因为，平面，平面，所以平面，

所以也为点到平面的距离，因为，所以，所以，即，解得，由，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：

①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；

②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．

(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．