2022-2023学年山西省吕梁市汾阳市八年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年山西省吕梁市汾阳市八年级（上）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省吕梁市汾阳市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1．（3分）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　　）
A．2，3，6 B．5，8，10 C．4，4，7 D．3，4，5
2．（3分）下列四个图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣2a）2＝4a2 B．x4•x4＝x16
C．（﹣b）7÷b5＝b2 D．（m2）3•m4＝m9
4．（3分）如图，A，B是池塘两侧端点，在池塘的一侧选取一点O，测得OA的长为6米，OB的长为6米，∠O＝60°，则A，B两点之间的距离是（　　）

A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
5．（3分）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC，若AB＝AC＝26cm，D是BC的中点，∠ABC＝30°，则AD的长为（　　）

A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm
6．（3分）“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为0.0000000004m，数据0.0000000004用科学记数法表示为（　　）
A．4×10﹣11 B．4×10﹣10 C．4×10﹣9 D．0.4×10﹣9
7．（3分）如图，这是平面镜成像的示意图，若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，平面镜所在点的竖线为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，某时刻火焰顶部S的坐标是（﹣1.5，1），则此时对应的虚像S'的坐标是（　　）

A．（1.5，﹣1） B．（1，1.5） C．（1，﹣1.5） D．（1.5，1）
8．（3分）下列分式中，与的值相等的是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，△ABC≌△A'BC'，过点C作CD⊥BC'，垂足为D，若∠ABA'＝55°，则∠BCD的度数为（　　）

A．25° B．35° C．45° D．55°
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分别是BD，BC上的动点，当CP+PQ取得最小值时，BQ的长是（　　）

A．8 B．10 C．12 D．16
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：3a2﹣3＝　 　．
12．（3分）如图，AB与OM相交于点A，与ON相交于点B，OP⊥AB，垂足为P．现要证明△AOP≌△BOP，若只添加一个条件，这个条件可以是 　 　.（不作辅助线，写出一个即可）

13．（3分）若一个正多边形的外角与其相邻的内角之比为1：5，则该正多边形的内角和的度数为 　 　．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，2），△OA'B'≌△AOB，若点A'在x轴的正半轴上，则位于第四象限的点B'的坐标是 　 　．

15．（3分）若关于x的方程无解，则m的值为 　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：2﹣1+23+（π﹣1）0；
（2）计算：（x+3y）（3x﹣y）+3y2．
17．（7分）如图，已知△ABC，D是AB延长线上一点，BD＝CB，DE∥BC，DE＝BA，连接BE，求证：BE＝CA．

18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）在AC上求作一点F，使点F到A，B两点之间的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）连接BF，若∠A＝50°，求∠FBC的度数．

19．（8分）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
20．（8分）（1）证明角平分线具有的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证．
如图1，已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：PD＝PE．
（2）如图2，在△OAB中，OP平分∠AOB，交AB于点P，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，OA＝OB＝6，若S△OAB＝15，求PD的长．


21．（9分）动点问题是数学学习中常见的问题，解决此类问题的关键是动中求静，运用分类讨论及数形结合的思想灵活解决问题．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，点P在线段BA上从点B出发向点A运动（点P不与点A重合），点P运动的速度为2cm/s；点Q在线段CB上从点C出发向点B运动（点Q不与点B重合），点Q运动的速度为3cm/s，设点P，Q同时运动，运动时间为ts．
（1）在点P，Q运动过程中，经过几秒时△PBQ为等边三角形？
（2）在点P，Q运动过程中，若某时刻△PBQ为直角三角形，请计算运动时间t．


22．（12分）有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．
（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含m，n的式子表示）．
①方法1：　 　；方法2：　 　；
②请写出（m+n）2，（m﹣n）2，4mn三个代数式之间的等量关系：　 　．
（2）若|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，求（a﹣b）2的值．
（3）如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），请画出该长方形，根据图形的面积关系，分解因式：m2+3mn+2n2＝　 　．


23．（13分）综合与探究
问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到∠MDN，将∠MDN绕点D旋转，射线DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，如图1所示．
（1）操作发现：如图2，当E，F分别是AB，AC的中点时，试猜想线段DE与DF的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　．
（2）类比探究：如图3，当E，F不是AB，AC的中点，但满足BE＝AF时，判断△DEF的形状，并说明理由．
（3）拓展应用：①如图4，将∠MDN绕点D继续旋转，射线DM，DN分别与AB，CA的延长线交于E，F两点，满足BE＝AF，△DEF是否仍然具有（2）中的情况？请说明理由；
②若在∠MDN绕点D旋转的过程中，射线DM，DN分别与直线AB，CA交于E，F两点，满足BE＝AF，若AB＝a，BE＝b，则AE＝　 　（用含a，b的式子表示）．



2022-2023学年山西省吕梁市汾阳市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1．（3分）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　　）
A．2，3，6 B．5，8，10 C．4，4，7 D．3，4，5
【分析】直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案．
【解答】解：A．∵2+3＝5＜6，
∴不能组成三角形，符合题意
B．∵5+8＝13＞10，
∴能组成三角形，不符合题意；
C．∵4+4＝8＞7，
∴能组成三角形，不符合题意；
D．∵3+4＝7＞5，
∴能组成三角形，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
2．（3分）下列四个图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图标都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图标能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣2a）2＝4a2 B．x4•x4＝x16
C．（﹣b）7÷b5＝b2 D．（m2）3•m4＝m9
【分析】利用同底数幂的除法和同底数幂的乘法，幂的乘方、积的乘方运算计算即可．
【解答】解：（﹣2a）2＝4a2，A选项正确；
x4•x4＝x8，B选项错误；
（﹣b）7÷b5＝﹣b2，C选项错误；
（m2）3•m4＝m10，D选项错误，
故选：A．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法和同底数幂的乘法，幂的乘方、积的乘方运算．
4．（3分）如图，A，B是池塘两侧端点，在池塘的一侧选取一点O，测得OA的长为6米，OB的长为6米，∠O＝60°，则A，B两点之间的距离是（　　）

A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
【分析】说明△ABO是等边三角形，则AB＝OA＝6米．
【解答】解：∵OA的长为6米，OB的长为6米，
∴OA＝OB，
∵∠O＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝OA＝6米，
∴A，B两点之间的距离是6米，
故选：B．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键．
5．（3分）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC，若AB＝AC＝26cm，D是BC的中点，∠ABC＝30°，则AD的长为（　　）

A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得AD⊥BC，从而可得∠ADB＝90°，然后在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC＝26cm，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴ADAB＝13（cm），
故选：C．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
6．（3分）“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为0.0000000004m，数据0.0000000004用科学记数法表示为（　　）
A．4×10﹣11 B．4×10﹣10 C．4×10﹣9 D．0.4×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000000004＝4×10﹣10．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．（3分）如图，这是平面镜成像的示意图，若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，平面镜所在点的竖线为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，某时刻火焰顶部S的坐标是（﹣1.5，1），则此时对应的虚像S'的坐标是（　　）

A．（1.5，﹣1） B．（1，1.5） C．（1，﹣1.5） D．（1.5，1）
【分析】利用关于y轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：某时刻火焰顶部S的坐标是（﹣1.5，1），则此时对应的虚像S'的坐标是（1.5，1）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了镜面对称，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
8．（3分）下列分式中，与的值相等的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：，
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
9．（3分）如图，△ABC≌△A'BC'，过点C作CD⊥BC'，垂足为D，若∠ABA'＝55°，则∠BCD的度数为（　　）

A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】根据全等三角形的性质得出∠ABC＝∠A′BC′，可得∠DBC＝∠ABA'＝55°，根据直角三角形的两锐角互余求出答案即可．
【解答】解：∵△ABC≌△A'BC'，
∴∠ABC＝∠A′BC′，
∴∠ABC﹣∠A′BC＝∠A′BC′﹣∠A′BC，
∴∠DBC＝∠ABA'＝55°，
∵CD⊥BC'，
∴∠BCD＝90°﹣∠DBC＝35°，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和垂线的性质，能熟记全等三角形的对应角相等是解此题的关键．
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分别是BD，BC上的动点，当CP+PQ取得最小值时，BQ的长是（　　）

A．8 B．10 C．12 D．16
【分析】作点Q关于BD的对称点H，则PQ＝PH，CP+PQ＝CP+PH，当C、H、P三点在同一直线上，且CH⊥AB时，CP+PQ＝CH为最短．
【解答】解：如图，作点Q关于BD的对称点H，则PQ＝PH，BH＝BQ．
∴CP+PQ＝CP+PH，
∴当C、H、P三点在同一直线上，且CH⊥AB时，CP+PQ＝CH为最短．
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BHBC24＝12，
∴BQ＝12．
故选：C．

【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：3a2﹣3＝　3（a+1）（a﹣1）　．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：3a2﹣3，
＝3（a2﹣1），
＝3（a+1）（a﹣1）．
故答案为：3（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（3分）如图，AB与OM相交于点A，与ON相交于点B，OP⊥AB，垂足为P．现要证明△AOP≌△BOP，若只添加一个条件，这个条件可以是 　OA＝OB　.（不作辅助线，写出一个即可）

【分析】添加OA＝OB，可根据SAS证明△AOP≌△BOP即可．
【解答】解：添加OA＝OB，理由如下：
∵OP平分∠MON，
∴∠AOP＝∠BOP，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
故答案为：OA＝OB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
13．（3分）若一个正多边形的外角与其相邻的内角之比为1：5，则该正多边形的内角和的度数为 　1800°　．
【分析】设正多边形的每个外角的度数为x°，与它相邻的内角的度数为5x°，根据邻补角的定义得到x+5x＝180，解出x＝30，然后根据多边形的外角和为360°即可计算出多边形的边数，最后求出内角和即可．
【解答】解：设正多边形的每个外角的度数为x°，与它相邻的内角的度数为5x°，依题意有：
x+4x＝180，
解得x＝30，
所以这个正多边形的边数为：360°÷30°＝12，
所以这个正多边形的内角和的度数为：
（12﹣2）•180°＝1800°．
故答案为：1800°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握多边形的外角定理：多边形的外角和为360°，以及多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，2），△OA'B'≌△AOB，若点A'在x轴的正半轴上，则位于第四象限的点B'的坐标是 　（3，﹣2）　．

【分析】根据点A、B的坐标求出OA＝3，OB＝2，根据全等三角形的性质得出OA′＝OA＝3，A′B′＝OB＝2，再求出点B′的坐标即可．
【解答】解：∵点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，2），
∴OA＝3，OB＝2，∠AOB＝90°，
∵△OA'B'≌△AOB，
∴OA′＝OA＝3，A′B′＝OB＝2，∠B′A′O＝90°，
∵点B′在第四象限，
∴点B′的坐标是（3，﹣2），
故答案为：（3，﹣2）．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的性质，能熟记全等三角形的对应边相等是解此题的关键．
15．（3分）若关于x的方程无解，则m的值为 　0或4　．
【分析】求解方程可得x，再由方程无解可得m﹣4＝0，即可求m的值．
【解答】解：，
2（2x+1）＝mx，
4x+2＝mx，
（4﹣m）x＝﹣2，
∵方程无解，可分为以下两种情况：
①分式方程没有意义时，
x＝0或，
此时m＝0，
②整式不成立时，
4﹣m＝0，
∴m＝4，
故答案为：0或4．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解的意义是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：2﹣1+23+（π﹣1）0；
（2）计算：（x+3y）（3x﹣y）+3y2．
【分析】（1）先算乘方，后算加法；
（2）去括号，合并同类项．
【解答】解：（1）原式8+1
＝9；
（2）原式＝3x2+8xy﹣3y2+3y2
＝3x2+8xy．
【点评】本题考查多项式与多项式相乘、实数的运算、零指数幂、负整数指数幂，掌握这几个知识点的综合应用是解题关键．
17．（7分）如图，已知△ABC，D是AB延长线上一点，BD＝CB，DE∥BC，DE＝BA，连接BE，求证：BE＝CA．

【分析】证明△BED≌△BAC（SAS），即可解决问题．
【解答】证明：∵DE∥BC，
∴∠DBE＝∠CBA，
在△BED和△BAC中，
，
∴△BED≌△BAC（SAS），
∴BE＝CA．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到△BED≌△BAC．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）在AC上求作一点F，使点F到A，B两点之间的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）连接BF，若∠A＝50°，求∠FBC的度数．

【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于F点；
（2）利用等腰三角形的性质得到∠FBA＝∠A＝50°，∠ABC＝∠C＝65°，再利用角的和差关系解答即可．
【解答】解：（1）如图，点F就是所求的点；

（2）∵FA＝FB，∠A＝50°，
∴∠FBA＝∠A＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C（180°﹣∠A）（180°﹣50°）＝65°，
∴∠FBC＝∠ABC﹣∠FBA＝65°﹣50°＝15°，
即∠FBC的度数为15°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
19．（8分）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
【分析】（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为（x+5）元，由题意：用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为2m盆，由题意：资金不超过600元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为（x+5）元，
由题意得：，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
则x+5＝15，
答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元；
（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为2m盆，
由题意得：15m+10×2m≤600，
解得：m，
∵m为正整数，
∴m的最大值为17，
答：购买吊兰的数量最多是17盆．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
20．（8分）（1）证明角平分线具有的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证．
如图1，已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：PD＝PE．
（2）如图2，在△OAB中，OP平分∠AOB，交AB于点P，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，OA＝OB＝6，若S△OAB＝15，求PD的长．


【分析】（1）利用AAS证明△PDO≌△PEO，即可解决问题；
（2）根据角平分线的性质可得PD＝PE，所以S△AOP＝S△BOP，进而可得PD的长．
【解答】（1）证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP＝∠EOP，
在△PDO和△PEO中，
，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD＝PE；
（2）解：∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD＝PE，
∵OA＝OB＝6，
∴S△AOP＝S△BOP，
∵S△OAB＝15，
∴S△AOP＝S△BOP15，
∴OA•PD，
∴6PD＝15，
∴PD．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解答本题的关键得到△PDO≌△PEO．
21．（9分）动点问题是数学学习中常见的问题，解决此类问题的关键是动中求静，运用分类讨论及数形结合的思想灵活解决问题．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，点P在线段BA上从点B出发向点A运动（点P不与点A重合），点P运动的速度为2cm/s；点Q在线段CB上从点C出发向点B运动（点Q不与点B重合），点Q运动的速度为3cm/s，设点P，Q同时运动，运动时间为ts．
（1）在点P，Q运动过程中，经过几秒时△PBQ为等边三角形？
（2）在点P，Q运动过程中，若某时刻△PBQ为直角三角形，请计算运动时间t．


【分析】（1）由等边三角形的判定，当PB＝BQ时，△PBQ是等边三角形，由此即可解决问题；
（2）分两种情况，由直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵点P运动的速度为2cm/s，点Q运动的速度为3cm/s，
∴BP＝2t（cm），BQ＝（6﹣3t）（cm），
当PB＝BQ时，△PBQ是等边三角形，
∴2t＝6﹣3t，
∴t＝1.2，
∴在点P，Q运动过程中，经过1.2秒时△PBQ为等边三角形．
（2）①当∠BPQ＝90°时，

∵∠B＝60°，
∴∠BQP＝30°，
∴PBBQ，
∴2t（6﹣3t），
∴t，
②当∠BQP＝90°时，∠BPQ＝30°，

∴BQPB，
∴6﹣3t2t，
∴t＝1.5，
∴在点P，Q运动过程中，若△PBQ为直角三角形，ts或t＝1.5s．
【点评】本题考查等边三角形的性质和判定，关键是分情况讨论．
22．（12分）有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．
（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含m，n的式子表示）．
①方法1：　（m﹣n）2　；方法2：　（m+n）2﹣4mn　；
②请写出（m+n）2，（m﹣n）2，4mn三个代数式之间的等量关系：　（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn　．
（2）若|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，求（a﹣b）2的值．
（3）如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），请画出该长方形，根据图形的面积关系，分解因式：m2+3mn+2n2＝　m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n）　．


【分析】（1）①从“整体”和“部分”两个方面分别表示阴影部分的面积即可；
②由①中两种方法所表示的面积相等可得答案；
（2）根据非负数的定义可得a+b＝6，ab＝4，再根据（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab进行计算即可；
（3）求出所拼成的长方形的长、宽以及总面积即可．
【解答】解：（1）①方法1：图2中阴影部分是边长为（m﹣n），因此面积为（m﹣n）2，
方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为（m+n）的正方形减去4个长为m．宽为n的长方形面积，因此有（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；
②由①得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（2）∵|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，|a+b﹣6|≥0，|ab﹣4|≥0，
∵a+b﹣6＝0，ab﹣4＝0，
即a+b＝6，ab＝4，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
＝36﹣16
＝20．
故答案为：20；
（3）1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为m2+2n2+3mn，
而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为（m+2n），宽为（m+n）的长方形，
所以有m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n）．
故答案为：m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n）．
【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是关键．
23．（13分）综合与探究
问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到∠MDN，将∠MDN绕点D旋转，射线DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，如图1所示．
（1）操作发现：如图2，当E，F分别是AB，AC的中点时，试猜想线段DE与DF的数量关系是 　DE＝DF　，位置关系是 　DE⊥DF　．
（2）类比探究：如图3，当E，F不是AB，AC的中点，但满足BE＝AF时，判断△DEF的形状，并说明理由．
（3）拓展应用：①如图4，将∠MDN绕点D继续旋转，射线DM，DN分别与AB，CA的延长线交于E，F两点，满足BE＝AF，△DEF是否仍然具有（2）中的情况？请说明理由；
②若在∠MDN绕点D旋转的过程中，射线DM，DN分别与直线AB，CA交于E，F两点，满足BE＝AF，若AB＝a，BE＝b，则AE＝　a﹣b或a+b　（用含a，b的式子表示）．


【分析】（1）可证明四边形AEDF是正方形，进而得出结果；
（2）连接AD，证明△DBE≌△DAF，进而得出结论；
（3）②方法与（2）相同；
②分为当点E在线段AB上和在AB的延长线上，容易得出结果．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝BD＝CDBC，
∵点E是AB的中点，点F是AC的中点，
∴DE⊥AB，DF⊥AC，AEAB，AFAC，
∴四边形AEDF是矩形，
∵AB＝AC，
∴AE＝AF，
∴矩形AEDF是正方形，
∴DE＝DF，∠EDF＝90°，
故答案为：DE＝DF，DE⊥DF；
（2）如图1，

△DEF是等腰直角三角形，理由如下：
连接AD，
由上知：AD＝BC，∠ADB＝90°，
∴∠ADE+∠BDE＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴∠B＝∠C＝45°，∠DAC＝∠BAD45°，AD＝BDBC，
∴∠B＝∠DAC，
∵BE＝AF，
∴△DBE≌△DAF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADF＝∠BDE，
∴∠ADE+∠ADF＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
（3）①如图2，

△DEF仍是等腰直角三角形，理由如下：
连接AD，
由上知：∠DAC＝∠ABC＝45°，AD＝BD，
∴180°﹣∠DAC＝180°﹣∠ABD，
∴∠FAD＝∠DBE，
∵BE＝AF，
∴△DBE≌△DAF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADF＝∠BDE，
同（2）可得：∠EDE＝90°，
∴△DEF仍是等腰直角三角形；
②如图1，
AE＝AB﹣BE＝a﹣b
如图2，
AE＝AB+BE＝a+b，
故答案为：a﹣b或a+b．
【点评】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
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