2022-2023学年山西省吕梁市汾阳市九年级（上）期中数学试卷（含答案解析)

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2022-2023学年山西省吕梁市汾阳市九年级（上）期中数学试卷     疫情防控期间，无数医护人员坚守在抗疫防疫第一线，下列有关医护的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D.     将一元二次方程化成一般形式后二次项系数为正数，二次项系数和一次项系数分别是(    )A. 3、 B. 3、2 C. 3、 D. 3、1    若关于x的方程没有实数根，则k的值可能是(    )A.  B. 0 C. 2 D. 4    如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合、D均为格点，A的对应点是点，若点A的坐标为，点B的坐标为，则旋转中心O点的坐标为(    )A.
B.
C.
D. 或    如图，某公司准备在一个等腰直角三角形ABC的绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，其中点P在AC上点N，M分别在BC，AB上，记，，图中阴影部分的面积为S，若NP在一定范围内变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是(    )A. 一次函数关系，一次函数关系
B. 二次函数关系，一次函数关系
C. 二次函数关系，二次函数关系
D. 一次函数关系，二次函数关系    对于抛物线，下列判断正确的是(    )A. 顶点
B. 抛物线向左平移3个单位长度后得到
C. 抛物线与y轴的交点是
D. 当时，y随x的增大而增大    如图，在中，，将绕点O逆时针方向旋转，得到，连接则线段的长为(    )A. 2
B.
C. 3
D.     抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是(    )A.  B.
C. 或 D. 以上都不对    2022年5月10日，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行为庆祝共青团成立100周年，某学校举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制每两支球队之间都进行一场比赛，据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了x支球队参加比赛．根据题意可列方程是(    )A.  B.  C.  D. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误是(    )A.
B.
C.
D. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在第______象限．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为______.利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则______.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是______.
 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为、、若抛物线的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是______.
 用适当的方法解下列方程：
；
 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三个顶点的坐标分别为，，
请画出绕着原点O顺时针旋转的；
若的对应点分别为、、；请写出点、、的坐标，观察对应点之间的坐标特征，若点在上，写出点P的对应点的坐标．
若与关于原点O成中心对称，写出点A的对应点的坐标．
如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
求A、B、C三点的坐标；
证明为直角三角形．
2022年4月8日，新闻频道《朝闻天下》，报道了山东新泰《香椿进入收获期，“椿”意盎然助增收》，我市香椿畅销全国各地．当地某电商对一款成本价为30元的香椿商品进行直播销售，如果按每件40元销售，平均每月可卖出600件．通过市场调查发现，每件香椿商品售价每上涨1元，其月销售量就将减少10件．为了实现平均每月12000元的销售利润，
这种商品的售价应定为多少？
这时商家每月能售出该香椿商品多少件？问题提出
在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？
初步思考
同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
解：
因为，
所以
所以当时，的值最大，最大值是
所以当时，的值最大，最大值是
所以的最大值是
尝试应用
求代数式的最大值，并写出相应的x的值．
拓展提高
将一根长24cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点
求二次函数的解析式；
求的面积；
该二次函数图象上是否存在点D，使与的面积相等？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，，以D为顶点作，交边AC，BC于点M，N，，连接

探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下：如图1，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，，以D为顶点作，交边AC，BC于点M，N，，连接
先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明．
绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图2，其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
 请对慧慧同学所编制的问题进行解答．第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为，，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其解析式为
求b，c的值；
进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？

答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，，故本选项符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：
根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行判断．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
 2.【答案】A 【解析】解：，
，
二次项系数和一次项系数分别是3和，
故选：
先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式项的系数时，带着前面的符号．
 3.【答案】D 【解析】解：根据题意得，
解得，
所以k可以取
故选：
先根据判别式的意义得到，从而得到k的取值范围，然后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 4.【答案】A 【解析】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E，

点E即为旋转中心，，
故选：
画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
本题考查坐标与图形变换旋转，解题关键在于理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
 5.【答案】D 【解析】解：设为常数，
在中，，，
为等腰直角三角形，
，
四边形PMBN是矩形，
，
，
即，
与x成一次函数关系，
，
与x成二次函数关系．
故选：
设为常数，根据等腰直角三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，得到，根据三角形和矩形的面积得到结论．
本题考查了二次函数的应用．一次函数的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出函数解析式是解题的关键．
 6.【答案】C 【解析】解：A、，
抛物线的顶点，故错误，本选项不符合题意，
B、抛物线向左平移3个单位长度后得到，，故错误，即本选项不符合题意，
C、当时，，抛物线与y轴的交点是，故正确，本选项符合题意，
D、，
开口向下，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，故错误，本选项不符合题意，
故选：
根据二次函数解析式结合二次函数的性质以及平移的规律，即可得出结论．
本题考查了二次函数的性质二次函数的图象与几何变换，根据二次函数的性质和平移的规律逐一对照四个选项即可得出结论．
 7.【答案】D 【解析】解：将绕点O逆时针方向旋转，
，，
，
故选：
由旋转的性质可得，，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理掌握旋转的性质是解题的关键．
 8.【答案】D 【解析】解：抛物线上有两点，，且，
，
，或或，
故选：
根据二次函数的性质判断即可．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
 9.【答案】B 【解析】解：由题意得，
故选：
设一共邀请了x支球队参加比赛，赛制为单循环形式每两支球队之间都进行一场比赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数队数，进而得出方程是解题关键．
 10.【答案】C 【解析】解：由图象可知，当时，，故A项正确，不符合题意；
抛物线开口向下，，与y轴的交点为，
，，，
，，故B、D项正确，不符合题意；
抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在原点和点之间，
另一个交点在与之间，
当时，，故C项错误，符合题意，
故选：
根据二次函数图象判断出a，b，c的正负关系，对称轴，顶点坐标等，再进行判断即可．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
 11.【答案】三 【解析】解：点与点关于原点对称，
，
解得：，
点即在第三象限．
故答案为：三．
直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，再利用各象限内点的坐标特点得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的坐标特点，正确得出m，n的值是解题关键．
 12.【答案】 【解析】解：，
抛物线的顶点坐标为
故答案为：
首先配方得出二次函数顶点式进而得出答案．
此题主要考查了二次函数的图象与性质，正确利用配方法求出二次函数顶点式的形式是解题关键．
 13.【答案】6 【解析】解：方程，
移项得：，
配方得：，即，
方程配方为，
，，
则
故答案为：
方程移项后，两边加上一次项一半的平方，利用完全平方公式配方得到结果，求出m与n的值，即可求出mn的值．
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 14.【答案】， 【解析】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标，
即，
故答案为：，
利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题．
 15.【答案】 【解析】解：正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为、、
，
当抛物线经过点时，则，
当抛物线经过时，，
观察图象可知，
故答案为：
求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 16.【答案】解：，
，
或，
解得，；
，
，
，
，
， 【解析】根据因式分解法解一元二次方程即可；
根据公式法解一元二次方程即可．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 17.【答案】解：如图，即为所求；

，，，点的坐标；
点的坐标为 【解析】根据旋转的性质即可画出绕着原点O顺时针旋转的；
根据旋转的性质，结合即可解决问题；
根据与关于原点O成中心对称，进而可以写出点A的对应点的坐标．
本题考查了作图-旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
 18.【答案】解：对于抛物线，当时，则，
解得，；
当时，，
，，
证明：连接AC，BC，
，，，
，，
；
，
，
，
是直角三角形． 【解析】令，则，解方程求出x的值即得到点A、B的坐标；令，求出y的值，即得到点C的坐标；
先由点A、B、C的坐标分别求出OA、OB、OC的长，再根据勾股定理分别求出、、，可得，即可根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形．
此题重点考查二次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理的应用等知识，正确地求出点A、B、C的坐标是解题的关键．
 19.【答案】解：设这种商品的涨价x元，根据题意得，
，
解得，，，
，，
答：这种商品的售价应定为60元或70元；
，，
答：这时商家每月能售出该香椿商品400件或300件． 【解析】设这种商品的涨价x元，根据题意得方程解方程即可得到结论；
根据题意列式计算即可得到结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 20.【答案】解：

，
当时，原式有最大值，最大值为59；
设一段为x，则另一段为，
根据题意得：


，
当时，S有最小值，最小值为18，
则两个正方形面积之和有最小值，此时这根铁丝剪成两段后的长度12cm，12cm，这两个正方形面积的和为 【解析】原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值，以及此时x的值即可；
设一段为x，则另一段为，表示出两个正方形的面积之和S，利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出最小值，以及此时x的值即可．
此题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 21.【答案】解：把代入得，
解得，
抛物线解析式为；
当时，，
解得，，
，
当时，，
，
的面积；
存在．
设，
与的面积相等，
，
即，
解方程得，，
此时D点坐标为或；
解方程得，，
此时D点坐标为；
综上所述，D点坐标为或或 【解析】把A点代入中求出c的值，从而得到抛物线解析式；
先解方程得到，再确定，然后利用三角形面积公式计算；
设，根据三角形面积公式得到，然后解方程得到D点坐标．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 22.【答案】解：，理由如下：
把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，，
，，，，
，
四边形ACBD是矩形，
，
四边形ACBD是正方形，
，
，
，
，
如图，将绕点D逆时针旋转得到，

，，，，
，，
点E，点A，点M三点共线，
在和中，
，
≌，
，
；
如图，将绕点D逆时针旋转得到，

同理可证≌，
，
 【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
先证四边形ACBD是正方形，可得，由旋转的性质可得，，，，由“SAS”可证≌，可得，可得结论；
方法同，由“SAS”可证≌，可得，可得结论；
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．  23.【答案】解：作轴于点E，
，着陆坡AC的坡角为，，
点A的坐标为，，，
，
点B的坐标为，
点，点在二次函数的图象上，
，
解得，
即b的值是，c的值是65；
①设x关于t的函数解析式是，
因为点，在该函数图象上，
，
解得，
即x关于t的函数解析式是；
②设直线AB的解析式为，
点，点在该直线上，
，
解得，
即直线AB的解析式为，
则，
当时，h取得最值，此时，
，
时，h取得最值，符合题意，
将代入，得：，
解得，
即当t为时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是 【解析】根据题意，可以求得点A和点B的坐标，然后代入二次函数解析式，即可得到b、c的值；
①根据题意，可以得到x关于t的函数图象经过的两个点，然后根据待定系数法，即可得到x关于t的函数的解析式；
②先求出直线AB的解析式，再根据题意，可以表示出h，然后根据二次函数的性质，可以求得当h为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，并求出这个最大值．
本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．