2021-2022学年江西省萍乡市第二中学高二下学期第一次质量检测数学（理）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年江西省萍乡市第二中学高二下学期第一次质量检测数学（理）试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用基本初等函数的导数以及导数的运算法则即可求解.
【详解】A，，故A错误；
B，，故B正确；
C，，故C错误；
D，，故D错误.
故选：B
2．已知函数为的导函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【解析】求导，再由解方程得出的值.
【详解】，根据条件得，解得或.
故选：D
3．数列的前n项和，而，通过计算猜想（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用数列的前n项和，，代入即可计算，从而可以猜想
【详解】因为数列的前n项和，
，即，解得：
又，即，解得：
又，即，解得：
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题以数列为载体，考查归纳推理，解题的关键是根据条件，求出前几项，并发现规律，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于基础题.
4．“分析法”的原理是“执果索因”，若用分析法证明，所索的“因”是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用分析法推理即可.
【详解】要证，
只要证①，
要证①，只要证，所以所索的“因”是.
故选：C.
5．如图是函数f（x）及f（x）在点A处切线的图像，则（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】A
【解析】由图可知该直线为曲线在点A处的切线，求出直线方程，根据导数的几何意义，则可得到及的值，即解得结果.
【详解】该切线方程为：，
即，则，
又由导数的几何意义可知，，
所以.
故选：A.
【点睛】本题考查了直线的方程，导数的几何意义，属于基础题.
6．设大于0，则3个数：的值（ ）
A．都大于2B．至少有一个不大于2
C．都小于2D．至少有一个不小于2
【答案】D
【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案
【详解】因为，，都大于0，
∴，
当且仅当时取等号，
若，，，
则，与前面矛盾
所以三个数，，的值至少有一个不小于2.
故选：D.
7．平面几何中，有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意，画出图象，如图，
由棱长为可以得到，，
在直角三角形中，根据勾股定理可以得到，
把数据代入得到，
所以棱长为的三棱锥内任一点到各个面的距离之和为；
8．用数学归纳法证明 ，从到，不等式左边需添加的项是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】分析：分析，时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果.
详解：时，左边为,
时，左边为,
所以左边需添加的项是 ，选B.
点睛：研究到项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.
9．若函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对求导，得到，令，得到，即可得到，然后求即可.
【详解】由，得，令，则，解得，所以，.
故选：D.
10．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则（ ）
A．B．3C．6D．
【答案】A
【分析】根据题目所给的式子的求值方法，先对式子换元，并列出方程，再解方程即可求得.
【详解】令，则两边平方可得，
即,解得（舍去）
故选：A
11．已知函数，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】求出由得，令，判断出的单调性并利用单调性可得的最小值可得答案.
【详解】，因为函数在上单调递减，
所以，即，
令，由于在都是增函数，
所以在单调递增，所以，
所以，又，解得.
故选：D.
【点睛】本题考查了利用函数的单调性求参数的范围问题，关键点是令并求出最小值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
12．已知函数在上有极值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】求导可得，则在上有变号零点，令，利用二次函数的性质可求得的取值范围．
【详解】，设，
函数在区间上有极值，
在上有变号零点，即在上有解，
令，由可得，即，
得到，解得： ．
故选：．
二、填空题
13．观察下列式子：根据以上式子可以猜想：__________．
【答案】
【分析】确定不等式左边各式的分子为1，分母是自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，即可得结论
【详解】解：由已知的式子：
故可得，
故答案为：
14．甲乙丙三个人在一起聊天，每周从星期一到星期日每人连续两天说谎（包括星期日和星期一），其余五天必说真话，且任意两人不会在同一天说谎.已知周一时，乙说：“我昨天说谎了.”周二时，丙说：“太巧了，我昨天也说谎了.”则三个人都没说谎的是星期______.
【答案】一
【解析】分4种情况讨论，乙丙均说真话；乙说真话，丙说谎；乙说慌，丙说真话；乙丙均说慌，找出矛盾，即可得答案.
【详解】解：如果乙丙均说真话，则乙星期六和星期天说谎，丙星期天和星期一说谎，与任意两人不会在同一天说谎矛盾；
如果乙说真话，丙说谎，则乙星期六和星期天说谎，丙星期二和星期三说谎，此时甲星期四和星期五说谎，符合题意，则三个人都没说谎的是星期一；
如果乙说慌，丙说真话，则乙星期一和星期二说谎，丙星期天和星期一说谎，与任意两人不会在同一天说谎矛盾；
如果乙丙均说慌，则乙星期一和星期二说谎，丙星期二和星期三说谎，与任意两人不会在同一天说谎矛盾；
综上所述，三个人都没说谎的是星期一.
故答案为：一.
【点睛】本题主要考查了推理与论证，抓住乙和丙说真话和假话的日期特点，是本题推理的关键所在.
15．函数有三个零点，则的取值范围为_______.
【答案】
【分析】利用导数讨论函数的单调性，求出函数的极大值和极小值，结合题意列出不等式组，解不等式组即可.
【详解】因为函数，
所以，
令或，
所以函数在和上为减函数，在上为增函数，
所以当时，取得极小值，且，
当时，取得极大值，且，
又函数有三个零点，所以，解得.
故答案为：
16．曲线与直线相切，则______．
【答案】1
【分析】由曲线与直线相切，得到，再根据切点得到，联立方程组，即可求解．
【详解】由题意，函数，可得，
设切点为，则，
因为曲线与直线相切，可得，即，①
又由，即切点为，可得，②
联立①②，可得．
故答案为：1
三、解答题
17．证明以下结论：
(1)已知，求证：；
(2)若均为实数且．求证：中至少有一个大于0．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）利用作差法证明即可；
（2）假设均不大于0，由条件和不等式的性质可以推出矛盾，可得假设不成立，从而命题得证．
【详解】（1）．
，，
，
.
（2）假设均不大于0，即，，，
由不等式的性质得：，
则，即，这显然不成立，
故假设不成立，所以中至少有一个大于0．
18．已知函数
(1)求在处的切线的方程.
(2)求的单调区间和极值.
【答案】(1)；
(2)增区间为，减区间；极大值为极小值.
【分析】（1）求得，，根据导数的几何意义，直接写出切线方程即可；
（2）根据导函数函数值的正负，即可判断函数单调性以及极值.
【详解】（1）因为，故可得，
，，
故在处的切线的方程为：，即.
（2）因为，
令，解得；令，解得；
则在单调递增，在单调递减，在单调递增，
故的单调增区间为，单调减区间，
且的极大值为的极小值为.
19．已知数列的前项和为，其中且．
（1）试求：，的值；
（2）由此猜想数列的通项公式；
（3）用数学归纳法加以证明．
【答案】（1），；（2）猜想：；（3）证明见解析.
【分析】（1）由已知可得，结合可求出，而，再将的值代入可求出，
（2）由，，，从而可猜想数列的通项公式，
（3）检验时等式成立，假设当时猜想成立，然后证明时命题也成立即可
【详解】（1）因为且．
所以，解得，
因为，所以
解得．
（2）由，，，…，猜想：．
（3）证明：①当时，，等式成立；②假设当时猜想成立，即
那么，当时，由题设，得，，
所以，，
．因此，，
所以．这就证明了当时命题成立．
由①②可知命题对任何都成立．
20．已知函数为奇函数，且在处取极大值2．
(1)求函数的解析式；
(2)记，讨论函数的单调性；
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据为奇函数求得，再根据函数极值点和极值求得，则问题得解；
（2）求得 ，对参数分类讨论，利用导数的正负即可判断函数的单调性.
【详解】（1）因为为奇函数，故对任意的恒成立，
即，恒成立，故；
则，；
当时，恒成立，在上单调递增，不满足题意，故舍去；
当时，令，解得
显然在单调递增，在单调递减，
根据题意无解，不满足题意；
当时，恒成立，在上单调递减，不满足题意，故舍去；
当时，令，解得
显然在单调递减，在单调递增，
根据题意，即，又，解得，
故.
（2）根据（1）可得：，，
当时，则，在恒成立，此时在单调递减；
当时，令，解得（舍）或，
故此时在单调递增，在单调递减；
综上所述，当时，在单调递减；
当时，在单调递增，在单调递减.
21．已知函数.
(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；
(2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围
(3)若在定义域内有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义得到处切线的斜率，然后利用垂直列方程求解即可；
（2）根据在上单调递增，得到在上恒成立，然后分离参数得到，将恒成立问题转化为最值问题，然后求最值即可；
（3）分和两种情况讨论的单调性，然后利用零点存在性定理求解即可.
【详解】（1），则，
因为切线与直线垂直，所以，解得.
（2），则，
在上单调递增，所以在上恒成立，即，
令，则，当时取得最小值，，所以.
（3）当时，，则单调递增，不可能有两个零点；
当时，时，；时，，则在上单调递增，上单调递减，
，解得，此时，，，令，则，，所以当时，单调递减，，所以当时，，即,
所以所以有两个零点，故.
22．求下列函数的导数．
（1）（为常数）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用导数运算法则可求得原函数的导数;
（2）利用复合函数的求导法则以及导数的运算法则可求得原函数的导数
【详解】（1）由可得；
（2）由可得