2021-2022学年江西省抚州市临川第一中学高二下学期第一次月考数学（理）试题含解析

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2021-2022学年江西省抚州市临川第一中学高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出集合，再求出即可.【详解】由集合，集合，得.故选：C.2．下列求导运算错误的是（     ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【分析】根据基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则计算即可.【详解】，故A求导正确；，则，故B求导错误.，故C求导正确；，故D求导正确.故选：B.3．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是A．甲所得分数的极差为22B．乙所得分数的中位数为18C．两人所得分数的众数相等D．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数【答案】D【分析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C正确；甲的平均分为，乙的平均分为 ，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误，故选D.【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.4．用数学归纳法证明不等式()时，以下说法正确的是（       ）A．第一步应该验证当时不等式成立B．从“到”左边需要增加的代数式是C．从“到”左边需要增加项D．从“到”左边需要增加的代数式是【答案】D【解析】根据题意可知可以判定A错误；根据n=k+1和n=k时不等式左边的式子的变化情况作差可以判定BCD.【详解】第一步应该验证当时不等式成立，所以不正确；因为，所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；所以从“到”左边需要增加项，所以不正确.故选:D.【点睛】本题考查数学归纳法证明中的关键步骤，关键要清楚不等式左边的和式的结构特征，特表要注意首项，末项和项数的变化情况.5．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（       ）A．在区间上，函数是增函数 B．在区间上，函数是减函数C．为函数的极小值点 D．2为函数的极大值点【答案】D【分析】根据导函数与原函数的关系可求解.【详解】对于A，在区间，，故A不正确；对于B，在区间，，故B不正确；对于C、D，由图可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，所以为函数的极大值点，故C不正确，D正确.故选：D6．“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据绝对值的定义可得且，然后利用充分、必要条件的定义判定.【详解】且，所以“”是“”的充分不必要条件，故选:A.7．阅读如图的程序语句，输出的结果为（       ）A．17 B．10 C．9 D．5【答案】C【分析】根据程序语句，模拟程序运行得出结果.【详解】第一次运行程序，，第二次运行程序，，第三次运行程序，，此时，跳出循环，输出.故选：C8．观察下列一组数据…则从左到右第一个数是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先计算前行数字的个数，进而可得从左到右第一个数．【详解】由题意可知，可表示为个连续的奇数相加，从到共有个奇数，所以从左到右第一个数是第个奇数，第个奇数为，所以第个奇数为．故选：C.【点睛】本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．9．如图，在以点O为圆心，线段OB长为半径的半圆弧上任取一点A，其中，则△AOB的面积大于的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得使得的面积大于时点A到直线OB的距离的范围，进而求得A的轨迹对应的弧的圆心角，得到弧长，再根据几何概型的概率计算公式.【详解】设A到的距离为，则，故，如图：两点到的距离为时，则，故，此时两点之间的弧长为，由于半圆的弧长为，故所求的概率为.故选：C．10．如图，正四棱柱是由四个棱长为1的小正方体组成的，是它的一条侧棱，是它的上底面上其余的八个点，则集合的元素个数（     ）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】用空间直角坐标系看正四棱柱，根据向量数量积进行计算即可.【详解】建立空间直角坐标系，为原点，正四棱柱的三个边的方向分别为轴、轴和看轴，如右图示 ，，设，则所以集合，元素个数为1.故选：A.11．已知双曲线C：的左､右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，.A为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线C的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由四边形为矩形→，可设以MN为直径的圆的方程为，设直线MN的方程为，联立求出，进而求出，再对采用余弦定理即可求解.【详解】因为四边形为矩形，所以，（矩形的对角线相等），所以以MN为直径的圆的方程为.直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为，由，解得或，所以，或，.不妨设，，又，所以，.在△AMN中，，由余弦定理得， 即，则，所以，则，所以.故选：D【点睛】试题综合考查双曲线的方程与性质，考查考生灵活运用所学知识分析问题､解决问题的能力，体现理性思维､数学探索学科素养.求解双曲线的离心率的方法：（1）公式法：直接求出a，c或找出a，b，c三者中任意两个的关系，代入公式求解；（2）构造法：由已知条件得出a，c关于的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）通过特殊值或者特殊情况求离心率，例如，令，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化运算.12．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，由导数确定函数为减函数，从而得出时，，由奇函数性质得时，，然后分类讨论解不等式可得．【详解】设，则，由已知时，，单调递减，而，所以时，，此时，所以，时，，此时，所以，而，因此时，，是奇函数，所以时，，或，解得或．故选：D．二、填空题13．由变量x与y相对应的一组成对样本数据、、、、得到的经验回归方程为＝2x＋45，则＝________.【答案】63【分析】求出，代入，可得．【详解】由题意，，代入，可得．故答案为：63.14．的图像在处的切线方程为________．【答案】【解析】对函数求导，则切线斜率为，又，利用点斜式方程求出切线方程即可．【详解】，则，且切线方程为，即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．15．某一次学生考试结束后，老师随机询问甲、乙、丙3位同学的考试情况，甲说：“我的成绩比乙好”；乙说：“丙的成绩比我和甲的都好”；丙说“我的成绩比乙好”，丁同学告诉老师只有一个人说了真话，请问：甲、乙、丙3位同学成绩最好的是同学______.【答案】甲【解析】逐个分析假设甲、乙、丙说的是真话，根据题意即可判断出结果．【详解】假设甲说了真话，说明甲、乙、丙3位同学成绩最好的是甲同学，假设乙说了真话，此时丙也说了真话，这与题意矛盾，假设丙说了真话，此时乙也说了真话，这与题意矛盾，综上所述，只有甲说了真话，甲、乙、丙3位同学成绩最好的是甲同学故答案为：甲16．已知抛物线，其焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于点、（其中在轴上方），，两点在抛物线的准线上的投影分别为，，若，，则____________.【答案】3【分析】根据抛物线的的定义可得，利用直角三角形可求出，由面积等积法求出，求出直线的倾斜角，利用公式，计算.【详解】由抛物线的定义得：，，易证，∴，∴∵，∴，.∴，∵，∴为等边三角形.∴直线的倾斜角.∴，.∴.故答案为：3【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、简单几何性质，过焦点直线与抛物线相交的性质，属于难题.三、解答题17．已知数列的前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由与的关系求数列的通项公式即可；（2）利用裂项相消法求和即可.【详解】(1)当时，.当时，；又时也满足，∴.(2)∵，∴，∴.18．为纪念建党100周年，某校举办党史知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取200名同学并将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组.得到如图所示的频率分布直方图.(1)求的值，并估计这200名学生成绩的中位数；(2)若先用分层抽样的方法从得分在和的学生中抽取5人，然后再从抽出的5人中任意选取2人，求此2人得分恰在同一组的概率.【答案】(1)0.006；76(2)【分析】（1）利用频率和为1可求出的值，再利用频率分布直方图中中位数的求法即可求解；（2）利用分层抽样知，在内的人数为2人，在内的人数为3人，利用列举法结合古典概型即可求解.【详解】(1)由频率分布直方图可得：，解得；由频率分布的直方图可得设中位数为m，故可得，解得，所以这200名学生成绩中位数的估计值为76；(2)由频率分布直方图可知：得分在和内的频率分别为0.04和0.06，采用分层抽样知，抽取的5人，在内的人数为2人，在内的人数为3人.设分数在[ 40，50 )内的2人为，分数在[ 50，60 )内的3人为，则在这5人中抽取2人的情况有：，，，，，，，，，，共有10种情况，其中分数在同一组的2人有，，，，有4种情况，所以概率为.19．已知，，且.(1)求在区间上的值域；(2)在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用数量积运算得到，再利用正弦函数的性质求解；（2）由，求得A，再利用正弦定理求得B，进而得到边c，然后利用三角形面积公式求解.【详解】(1)解：∵，，且，∴，又∵，∴，∴.即在区间上的值域为.(2)由（1）可知，，∴.又∵，∴为锐角，∴，由正弦定理，，∴，即.∴，则.20．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是梯形，，，.(1)求证：平面；(2)若直线与平面所成的角为30°，点在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证得CD⊥平面,得到,然后，根据已知条件，利用面面垂直的性质定理证得结论；（2）以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解.【详解】(1)（1）证明：取中点，连接.，且，∴四边形为平行四边形.则，于是.又，，平面.又平面，.又平面平面且交线为，平面.(2)（2）平面.即为直线与平面所成的角，.又，，.以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，.，，.，.设平面的法向量，由得取.由（1）可知，平面，所以平面的法向量.平面与平面夹角的余弦值为.【点睛】21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，，原点到直线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)设斜率不为0的直线过点，与椭圆交于，两点，若椭圆上一点满足，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据及原点到直线的距离可求，从而可求椭圆的方程.（2）设直线的方程为，，，可用所设两点的坐标表示，联立直线方程和椭圆方程 ，消元后利用韦达定理结合在椭圆上可求直线的方程.【详解】(1)由题意得，，因为，所以，由原点到直线：的距离为，可得，解得，所以椭圆的方程为.(2)因为直线的斜率不为0，且过点，所以设直线的方程为，设点，，联立方程，得，则，，因为，所以，将点的坐标代入椭圆方程得，而，整理得到，即，解得，所以直线的方程为或.22．已知.(1)讨论的单调性；(2)若，且，证明：.【答案】(1)在上单调递增；(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数导数，根据导数恒不小于0即可得出函数的单调性；（2）由函数的单调性可得或时不满足条件，故可知，原不等式的证明可转化为证明，结合函数单调性即证，构造函数，求导后利用单调性得最大值即可求证.【详解】(1)的定义域为.∵，∴在上单调递增.(2)由题可得.若，则必有，则；若，则必有，则，∴若，则.要证，只需证，即证.又，故只需证.令，则.∵，∴，∴，且，∴，故在上单调递增.∵，∴，即，即，故.【点睛】关键点点睛：首先利用函数单调性结合条件确定的范围，再由转化为只含的函数不等式，构造函数，求导后变形分析出导数大于0，由此得出在上单调递增，求出即可得证，对逻辑思维能力、运算能力要求较高，属于难题.