2022-2023学年四川省射洪中学校高二上学期11月期中考试数学（理）试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省射洪中学校高二上学期11月期中考试数学（理）试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省射洪中学校高二上学期11月期中考试数学（理）试题 一、单选题1．过 两点的直线的倾斜角是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果.【详解】由已知直线的斜率为 ， 所以倾斜角．故选：D.2．如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】设直线，，的倾斜角分别为，可得，再由斜率的定义即可比较，，的大小关系.【详解】设直线，，的倾斜角分别为，由图象知：，所以，即，故选：A．3．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则A．，且直线是相交直线B．，且直线是相交直线C．，且直线是异面直线D．，且直线是异面直线【答案】B【解析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】如图所示， 作于，连接，过作于．连，平面平面．平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，．，故选B．【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角形．4．已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（    ）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则【答案】A【分析】根据题目条件结合模型找反例即可求解.【详解】A.两条不同的直线同时垂直两个平行的平面，所以这两条直线平行，故A正确；B.若，相交，且分别平行于，的交线，也满足条件，故错误；C. 若，，，此时可以 故错误；D. 若，，，此时可以，故错误.故选A.5．设为实数，若直线与直线平行，则值为（    ）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】由两直线平行的条件求解，去除重合的情形即得．【详解】由题意，，时，，两直线重合，舍去，时，，，满足两直线平行．所以．故选：A．6．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解.【详解】，，，，故选：A.7．点关于直线的对称点是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解.【详解】解：设点关于直线的对称点是，则有，解得，，故点关于直线的对称点是.故选：B.【点睛】方法点睛：关于轴对称问题：（1）点关于直线的对称点，则有；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.8．已知两点到直线的距离相等，则（    ）A．2 B．  C．2或 D．2或【答案】D【分析】利用点到直线距离公式进行求解即可.【详解】因为两点到直线的距离相等，所以有，或，故选：D9．《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥，在直角梯形中，，，过点A作交SC于点D，以AD为折痕把折起，当几何体为阳马时，下列四个命题： ①；②平面；③SA与平面所成角的大小等于；④AB与SC所成的角等于．其中正确的是（    ）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】A【分析】根据阳马的定义得平面，通过证明平面，可得，可判断①；利用，可证平面，可判断②；利用平面，得到是SA与平面所成的角，计算可判断③；根据，可得是AB与SC所成的角，计算可判断④.【详解】当几何体为阳马时，平面，对于①，平面，所以，又，，故平面，所以，故①正确；对于②，因为，且不在平面内，平面，故平面，所以②正确；对于③，由①知，平面，连，则是SA与平面所成的角，因为，，所以，故③不正确；对于④，因为，所以是AB与SC所成的角，因为，所以，故④不正确.故选：A10．直线与直线交于点，则点到直线的最大距离为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据联立直线的方程解出交点P，再得出直线的恒过点，从而求得最大距离得选项．【详解】由解得，所以，由，得，令，恒成立，所以直线恒过点，所以点到直线的最大距离为，故选：C．【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.11．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且，则线段长度的取值范围是A． B．C． D．【答案】B【分析】取的中点，的中点，的中点，根据面面平行的判定定理，得到平面平面，确定线段扫过的图形是，再由题中数据，得到是直角，进而即可求出结果.【详解】取的中点，的中点，的中点，则，，∴平面平面，∴平面，线段扫过的图形是∵，∴，∴，∴是直角，∴线段长度的取值范围是.故选B.【点睛】本题主要考查面面平行的判定，熟记面面平行的判定定理即可，属于常考题型.12．如图，在单位正方体中，点P是线段上的动点，给出以下四个命题：①异面直线与直线所成角的大小为定值；②二面角的大小为定值；③若Q是对角线上一点，则长度的最小值为；④若R是线段上一动点，则直线与直线不可能平行．其中真命题有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用正方体的性质，结合空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项判断正误.【详解】解：对于①，由正方体的性质可知，平面，又平面,故，异面直线与直线的所成的角为定值，①正确；对于②，平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，故二面角为定值，②正确；对于③，将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下，过点做，，,此时，的值最小.由题可知，,,，则，，故,又，故的最小值为，故③正确.对于④，在正方体中易证平面，设，则即为二面角的平面角，又正方体边长为1，故，则,由余弦定理得，故，同理,故在上必然存在一点，使得二面角为，即平面平面，平面与平面的交线为，则，过点作的垂线.此时平面，又平面，故.故④错误.故选：C. 二、填空题13．两条平行线与之间的距离是___________.【答案】##0.5【分析】根据平行直线距离公式求解即可.【详解】直线可化为，又直线与直线的距离为，所以平行线与之间的距离是，故答案为：.14．若直线经过直线和的交点，则___________.【答案】【分析】求解出直线，的交点坐标，再代入直线即可求解.【详解】由题意，直线，，交于一点，所以，得，所以直线过点，得，求解得.故答案为：15．如图是一个正方体的表面展开图，A、B、D均为棱的中点，C为顶点，在该正方体中，异面直线AB和CD所成角的余弦值为______．【答案】【分析】首先将其还原成正方体，再用平移法找出异面直线所成角（或补角）进行求解即可.【详解】将正方体的表面展开图还原成正方体，如图：连接、，因为A、B均为棱的中点，所以所以是异面直线AB和CD所成角（或补角），设正方体的棱长为，在中，，,故答案为：.16．设，过定点的动直线和过定点的动直线 交于点，则的最大值______.【答案】【分析】根据两直线的方程可求得定点、的坐标，以及两直线垂直，进而可得，再结合即可求解.【详解】由可知，所以该直线过定点，由可得，所以该直线过定点，因为直线与垂直，所以，因为，即，解得：，所以的最大值为，故答案为：. 三、解答题17．在中，已知，，.（1）求边所在的直线方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由直线方程的两点式可得；（2）先求直线方程，再求到的距离，最后用面积公式计算即可.【详解】（1），，边所在的直线方程为，即；（2）设到的距离为，则，，方程为：即：..18．已知的顶点A（3，1），边AB上的高CE所在直线的方程为x+3y-5=0，AC边上中线BD所在的直线方程为x+y-5=0（1）求直线AB的方程；（2）求点C的坐标．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求出直线AB的斜率为，再利用点斜式即可求解.（2）设，由题意可知为AC中点可得，代入直线CE所在直线，再由，联立方程即可求解.【详解】（1）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为，∴直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为，即；（2）设，由为AC中点可得，∴，解得，代入，∴．19．如图所示，⊥平面，四边形为矩形，，.(1)求证：∥平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由面面平行判断定理证平面BFC平面ADE，再证∥平面即可；（2）建立空间直角坐标系如图，由向量法即可求【详解】（1）证明：四边形为矩形，∴，又，平面，平面ADE，故平面ADE，平面ADE，又平面BFC，∴平面BFC平面ADE，∵平面BFC，∴∥平面；（2）建立空间直角坐标系如图，则，设平面CDF的法向量为，则，取得，平面的法向量为，设平面与平面所成锐二面角为，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为20．如图，已知平面，底面为正方形，，分别为的中点．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.（2）利用直线的方向向量，平面的法向量，计算线面角的正弦值.【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则.，，所以,由于，所以平面.（2），，设平面的法向量为，则，令，则，所以.设直线与平面所成角为，则.21．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．【分析】（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点；（2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解；（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程.【详解】（1）证明：直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，∴A，B（0，1＋2k）．又且1＋2k＞0，∴k＞0．故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．22．如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点．（1）证明：；（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）通过证明，得出平面，即可由线面垂直的性质得出；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，可得为二面角的平面角，，求出平面的法向量和，利用向量关系可表示出直线与平面所成角的正弦值，即可根据范围求出.【详解】（1）证明：如图，作的中点，连接，，在等腰梯形中，，为，的中点，∴，在正中，为的中点，∴，∵，，，，平面，∴平面，又平面，∴．（2）解：∵平面，在平面内作，以为坐标原点，以，，，分别为，，，轴正向，如图建立空间直角坐标系，∵，，∴为二面角的平面角，即，，，，，，，设平面的法向量为，，，则有，即，则可取，又，设直线与平面所成角为，∴，∵，∴，∴．