2022-2023学年江苏省常州市第二中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省常州市第二中学高二上学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省常州市第二中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．直线经过坐标原点O，且它的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线方程确定的倾斜角，进而可知直线的倾斜角，结合题意写出的方程.【详解】由题设，若直线的倾斜角为，则，∴.∴直线的倾斜角为，则斜率，又直线经过原点，∴的方程为.故选：C.2．圆心为，半径为的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据圆的标准方程公式直接写出结果即可.【详解】由圆的标准方程公式得圆的方程为：.故选：B3．椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由椭圆方程确定则可求椭圆的离心率.【详解】解：由椭圆，得，所以所以离心率.故选：A.4．抛物线的焦点坐标是A． B． C． D．【答案】B【详解】根据抛物线的标准方程为画出图像可得准线方程为：故焦点坐标为.故答案为B．5．若双曲线（，）的离心率为，则其渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的离心率计算公式，结合渐近线方程，可得答案.【详解】由，则离心率，解得，即渐近线方程为，代入可得，整理可得.故选：D.6．圆：和圆：的公共弦AB的垂直平分线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心，，公共弦AB的垂直平分线即为直线，利用两点式求出直线方程，化为一般式.【详解】变形为，圆心为，变形为，圆心为，公共弦AB的垂直平分线即为直线，即，整理得.故选：D7．已知点，，若直线l：与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，再利用直线的斜率公式即可求解.【详解】由，得，所以直线l的方程恒过定点.因为，，所以，.由题意可知，作出图形如图所示由图象可知，或，解得或，所以实数m的取值范围为.故选：D.8．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若，则到轴的距离为（    ）A．3 B．4 C．6 D．12【答案】A【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出的长度，然后列出方程即可得到结果.【详解】由题意可知，不妨令在轴上方，准线与轴交点为,如图所示因为点在C上，根据抛物线的定义可得，且，则,所以为等腰三角形，且,解得，在中，,即即，解得，所以到轴的距离为.故选：A. 二、多选题9．下列说法中，正确的有（    ）A．直线在y轴上的截距是2B．直线经过第一、二、三象限C．过点，且倾斜角为90°的直线方程为D．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为【答案】BC【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。【详解】对于A:令时，，故在y轴上的截距是2，A错.对于B:直线的斜率为2，在轴上的截距分别为，故直线经过第一、二、三象限，B对.对于C:过点，倾斜角为90°的直线方程为，故C对.对于D:当直线的截距不为0时，设直线的方程为：，把点代人直线得，所以直线方程为：，当截距为0时，设直线方程为：，把点代人直线得，直线方程为：，故D错.故选：BC10．已知双曲线C：，则（    ）A．双曲线C的离心率为 B．双曲线C的虚轴长为C．双曲线C的焦点坐标为 D．双曲线C的渐近线方程为【答案】ACD【分析】根据双曲线方程求解出，由双曲线的性质逐一判断.【详解】由双曲线的方程，得，则，所以离心率为，A正确；虚轴长为，B错误；焦点坐标为，C正确；渐近线方程为，D正确.故选：ACD11．已知圆C：，直线l：，点P在圆C上，点Q在直线l上，则（    ）A．直线l与圆C相交B．的最小值为C．到直线l的距离为1的点P有且只有2个D．从点Q向圆C引切线，切线的长的最小值是2【答案】BC【分析】设圆心C到直线l的距离为d，则，圆的半径.对于A：利用几何法判断直线l与圆C相离；对于B：利用几何法求出的最小值；对于C：利用几何法判断出圆上有2个点到直线的距离为1；对于D：先判断出要使切线长最小，只需最小，即可求解.【详解】设圆心C到直线l的距离为d，则，圆的半径.对于A：因为，所以直线l与圆C相离.故A错误；对于B：由圆的几何性质可知：（此时，P在之间）.对于C：设m：到直线l：的距离为1.则，所以.当时，直线m1：，此时圆心C到直线m1的距离为d1，则.此时到直线m1与圆C相离，没有交点；当时，直线m2：，此时圆心C到直线m2的距离为d2，则.此时到直线m1与圆C相交，有2个交点，即圆上有2个点到直线的距离为1.故C正确；对于D：过Q作出圆C的切线QS,连接CS，则.所以切线长.要使切线长最小，只需最小，即时，.所以切线长的最小值为1.故D错误.故选：BC12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上（异于左右顶点），记的面积为S，则（    ）A．当时，B．的取值范围为C．的面积的最大值为D．椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形【答案】BCD【分析】利用余弦定理和椭圆定义可求得，进而得到的面积，即可判断A；设点，利用平面向量的数量积求得，结合的范围，即可判断B；当点为椭圆的短轴顶点时，面积的最大，求出最大面积即可判断C；验证讨论的三个内角是否为直角的情况，即可判断D．【详解】在椭圆中，，且，对于A，在中，由余弦定理可得，即①，又，即②由②－①解得8，∴的面积为，故A错误；对于B，设点，则，，，∵，，∴，∴的取值范围为，故B正确；对于C，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大，所以面积的最大值为，故C正确；对于D，当点位于椭圆的上、下顶点时，，，则，所以不可能为直角；当时，，此时点位于第二或第三象限，有2个直角三角形；当时，，此时点位于第一或第四象限，有2个直角三角形．所以椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形，故D正确．故选：BCD． 三、填空题13．过两点和的直线的一般式方程为________．【答案】【分析】根据直线过两点，求得直线斜率，则可得直线方程，转化为直线的一般式方程即可.【详解】解：过两点和的直线斜率则直线方程为：，即直线的一般式方程为.故答案为：.14．直线：与直线：之间的距离为________．【答案】【分析】根据直线方程可得，由平行线之间的距离公式求解即可.【详解】解：直线：与直线：，则又直线：，直线与之间的距离为：.故答案为：.15．试写出一个以为焦点的双曲线的标准方程：________．【答案】（答案不唯一）【分析】根据双曲线的焦点写出双曲线的方程即可.【详解】解：双曲线为，，则焦点坐标为，故以为焦点的双曲线的标准方程可以为.故答案为：.16．已知直线l：与x轴交于点A，直线与y轴及直线l分别交于点B和点C，O为平面直角坐标系xOy的原点．若A，B，C，O四点在同一个圆上，则点C的坐标为________．【答案】【分析】根据四点共圆的条件，可得两条直线垂直，求后，再求两条直线的交点.【详解】如图，若A，B，C，O四点在同一个圆上，则对角和互补，则，即直线和直线垂直，即，得，联立，解得：，即.故答案为： 四、解答题17．已知直线：，：．(1)若，求a的值；(2)若，求a的值．【答案】(1)或(2) 【分析】（1）利用直线的一般式方程及两直线平行的条件即可求解；（2）利用直线的一般式方程及两直线垂直的条件即可求解.【详解】（1）因为直线：，：，有，所以，即．解得或，当时，：，：，所以，符合题意；当时，：，：，所以，符合题意；综上，a的值为或．（2）因为，所以．解得.所以a的值为．18．已知圆C：，过点且倾斜角为的直线与圆交于，两点．(1)当时，求的长；(2)当点为线段中点时，求直线的方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据，得直线斜率，又由直线与圆相交弦长公式即可得的长；（2）点为中点时，则，则可得斜率关系，从而可得直线的斜率，又点在直线上，即可得得直线的方程．【详解】（1）解：当时，则．此时直线方程为：，即．故圆心到直线AB的距离．又，所以．（2）解：点为中点时，则，所以，其中，所以．所以直线方程为，即．19．已知圆经过、、三点．(1)求圆的方程；(2)已知圆与圆外切于点，且圆心在直线上，求圆的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）设圆的方程为，将、、三点的坐标代入圆的方程，求出、、的值，即可得出圆的方程；（2）分析可知圆心直线上，求出直线的方程，将直线的方程与直线的方程联立，求出圆心的坐标，以及圆的半径，进而可得出圆的方程.【详解】（1）解：设圆的方程为．将、、三点坐标代入圆的方程可得，解得.所以圆的方程为，即．（2）解：因为圆与圆外切于点，所以圆心直线上，圆心的坐标为，直线的斜率为，所以直线的方程为，即．又点在直线上，联立，解得，即点，所以，圆的半径为，所以圆的方程为．20．已知点，直线l：，动点P到点F间的距离等于它到直线l的距离．(1)试判断动点P的轨迹C的形状，并写出C的方程；(2)求动点P到直线的距离与到y轴的距离之和的最小值．【答案】(1)抛物线，(2) 【分析】（1）根据抛物线的定义求得正确答案.（2）结合抛物线的定义以及点到直线的距离公式求得正确答案.【详解】（1）因为动点P与点F间的距离等于它到直线l的距离，所以点P的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线．又因为点，直线l：，则抛物线开口向右，且焦点F到准线l的距离为4，所以轨迹C的方程为．（2）动点P到y轴的距离等于到焦点的距离“减”，所以动点P到直线的距离与到y轴的距离之和的最小值为：到直线，即的距离“减”，即.21．已知双曲线C：（）的右焦点为，渐近线方程为．(1)求双曲线C的标准方程；(2)双曲线C的左支与x轴交于点A，经过点F的直线与C交于P，Q两点，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题意列出方程组，求得的值，即可得出双曲线的方程．（2）对直线PQ的斜率分类讨论：①直线PQ的斜率为0时，；②直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为，与双曲线的方程联立化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得的值．【详解】（1）由题意可知，解得所以双曲线C的标准方程为．（2）①直线PQ斜率为0时，．②直线PQ斜率不为0时，设直线PQ方程为，，，联立方程，消去x并整理得，因为直线与C交于两点，故，此时，所以，．而，．又有，，所以．综上可得，．22．在平面直角坐标系中，为坐标原点．椭圆C：过点，且离心率为，右焦点为．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点满足，在椭圆上是否存在点（异于的顶点），使得直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)·(2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由题意可得，解得的值，即可得椭圆方程；（2）若存在这样的点使得直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点，设直线的方程为，与椭圆方程联立求解可得点的坐标，从而可得点的坐标，由，可得点的坐标为，因为直线与以为圆心的圆相切于点，所以，根据斜率计算公式列方程求解，即可判断是否存在点．【详解】（1）解：由题意可知，得椭圆C的标准方程为．（2）解：若存在这样的点使得直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点，由题意可得直线和直线的斜率均存在．设直线的方程为，由方程组消去可得，解得或．则点的坐标为．因为为线段的中点，点的坐标为，所以点的坐标为．由，可得点的坐标为，所以直线的斜率为．因为直线与以为圆心的圆相切于点，所以，所以，整理得，方程无解．所以，不存在满足题意的点．