2022-2023学年北京市第四中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市第四中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角是（    ）

A．45° B．135° C．120° D．90°

【答案】B

【分析】利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.

【详解】解：因为直线的斜率为-1，

所以其倾斜角是135°，

故选：B

2．已知，，且，则（    ）

A． B． C．6 D．1

【答案】A

【分析】由空间向量垂直的坐标表示求解即可

【详解】因为，，且，

所以，

解得，

故选：A

3．已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】应用两点式求线段AB的斜率，进而可得垂直平分线的斜率，结合中点坐标及点斜式写出垂直平分线方程.

【详解】由题设，，故线段AB的垂直平分线的斜率为2，又中点为，

所以线段AB的垂直平分线方程为，整理得：.

故选：B

4．在正方体中，点E为上底面A1C1的中心，若，则x，y的

值是

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【详解】试题分析：根据题意，结合正方体的性质，可知,所以有，，故选A．

【解析】空间向量的分解．

5．“”是“直线与直线垂直”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据两直线垂直可构造方程求得的值，由推出关系可得结论.

【详解】由两直线垂直可得：，解得：或；

或，或，

“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.

故选：A.

6．若点为圆的弦的中点，则直线的方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出直线CM的斜率，由垂径定理得到直线AB的斜率，进而利用点斜式求出直线的方程，化为一般式，得到答案.

【详解】的圆心，则直线CM的斜率，

由垂径定理可得：直线与垂直，

故直线AB的斜率，

则直线的方程为，

即.

故选：C

7．已知，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ）

A．或 B．

C．或 D．

【答案】A

【分析】结合坐标系，分别求出，分析斜率变化趋势即可求解.

【详解】如图，，由题可知应满足；同理，由题可知应满足.

故选：A

8．在正方体中，，分别是棱，的中点，则直线和所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式即可求解.

【详解】以为坐标原点，分别为轴，轴，轴的正方向，

建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为4，所以,

，所以

所以

所以,

故选：D.

9．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的是

A．是正三棱锥

B．直线∥平面ACD

C．直线与所成的角是

D．二面角为.

【答案】B

【详解】试题分析：由正四面体的性质知是等边三角形，且两两垂直，所以A正确；借助正方体思考，把正四面体放入正方体，很显然直线与平面不平行，B错误.

【解析】正四面体的性质、转化思想的运用.

10．过直线上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为的点P有两个，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】利用圆的性质可得，进而可得，结合题意可得，即得.

【详解】由圆M：可知，圆心，半径为1，

∴，

∴四边形PAMB的面积为，

∴，

要使四边形PAMB的面积为的点P有两个，

则，

解得.

故选：A.

二、填空题

11．.直线与之间的距离是__________

【答案】

【详解】根据平行线间距离公式可得两直线距离为

12．若直线与直线平行，则______.

【答案】1或2##2或1

【分析】根据两直线平行，可得，求得a值，代入检验，即可得答案.

【详解】因为直线与直线平行，

所以，即，

解得或，

当时，两直线分别为和，两直线平行，符合题意；

当时，两直线分别为和，符合题意；

综上，或2.

故答案为：1或2

13．与直线平行，且与圆相切的直线方程为______.

【答案】或

【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，假设所求直线方程，由直线与圆相切可知圆心到直线距离等于半径，由此可构造方程求得直线方程.

【详解】由圆的方程知：圆心为，半径；

设所求直线方程为：，

则圆心到直线距离，解得：或，

所求直线方程为：或.

故答案为：或.

14．在四面体中，所有棱长都是1，，分别为棱，的中点，则______.

【答案】##-0.125

【分析】用向量，，表示出、，根据数量积的运算求解即可.

【详解】

如图，由已知得，，

，

由已知，，，两两夹角为，且模长均为1，则,

则，

故答案为：.

15．如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，且，，，，分别是，的中点，是线段上的动点，给出下列四个结论：

①；

②；

③直线与底面所成角的正弦值为；

④面积的取值范围是.

其中所有正确结论的序号是_________．

【答案】①④

【分析】①通过线面垂直证明线线垂直

②通过计算可得到结果

③通过线面角的定义与计算可得到结果

④通过求OE的取值范围计算三角形面积的取值范围

【详解】

由， 得平面，因为平面，所以，①正确

计算可得,，，

所以，②不正确；

由线面角定义知，就是直线与底面所成的角，，③不正确；

由得，，

， 时最小，④正确．

故答案为：①④

三、解答题

16．如图.在正方体中，E为的中点．

(1)求证：平面ACE；

(2)求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）连连接BD与AC交于点O，根据中位线定理可知，然后根据线面平行的判定定理可得.

（2）建立空间直角坐标系，计算，平面的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可.

【详解】（1）如图所示：

，

连接BD与AC交于点O，

因为O，E为中点，

所以,又平面，平面，

所以平面；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系

令，所以

设平面的一个法向量为

所以，令

所以，

所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值

17．已知点A（1，3），B（3，1），，求：

(1)BC边所在直线的方程；

(2)BC边上中线AD的方程；

(3)三角形ABC的面积.

【答案】(1)

(2)

(3)5

【分析】（1）由B（3，1），，利用两点式求解；

（2）先求得线段BC的中点，再写出中线AD的方程；

（3）先求得点A到直线BC的距离和，再利用三角形面积公式求解.

【详解】（1）解：因为B（3，1），，

所以直线BC的方程为：，即；

（2）因为B（3，1），，

所以线段BC的中点为：，

所以BC边上中线AD的方程为；

（3）点A到直线BC的距离为：，

又，

所以.

18．如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.

(1)求证：；

(2)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.

【答案】(1)证明过程见解析；

(2).

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；

（2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可.

【详解】（1）因为平面，平面，

所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：

，

，因为，

所以，即，

（2）设平面的法向量为，

，

所以有，

因为直线与平面所成角为，

所以，

解得，即，因为，

所以点到平面的距离为：

.

【点睛】19．已知以为圆心的圆及其上一点

（1）设圆与x轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程;

（2）设平行于的直线l与圆相交于两点，且，求直线l的方程.

【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）根据直线与x轴相切确定圆心的位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径，设C2（6,n）,则圆C2为,从而得到，由此能求出圆C2的标准方程；

（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程，由题意可得，OA=,设,则圆心C1到直线l的距离：，由勾股定理求得弦长，列方程解得，得直线l的方程.

【详解】（1）因为在直线上，所以可设，因为圆与x轴相切，

则圆为又圆与圆外切，

圆，半径为5，则

则，解得

所以圆的标准方程为

（2）因为直线，所以直线l的斜率为.

设直线l的方程为，则圆心到直线l的距离

则，又，

所以，解得或，

即直线l的方程为：或

20．如图，在四棱锥中，平面，为等边三角形，，，，分别为棱，的中点.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

(3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求直线与平面的距离；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)存在，

【分析】（1）先证明，，由线面垂直的判定定理，即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，由二面角的向量公式，即得解；

（3）设点满足，转化为，即可得解点坐标，再由点面距离的向量公式，即可得解.

【详解】（1）因为平面，平面，所以.

因为在等边中，是的中点，所以.

因为，，平面，所以平面.

（2）取的中点，连接，.

因为在四边形中，，，所以，，

所以四边形是平行四边形，所以.

因为平面，所以平面.因为，平面，

所以，.因为在等边中，是的中点，所以.

以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.

，，，，，

设平面的法向量，所以即

令，.又平面的法向量，

设平面与平面所成的锐二面角为，所以，

即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

（3）设点满足，.因为，，，

所以，.因为平面，

所以，解得.

即棱上存在点使得平面，且.

因为平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，

因为，所以直线到平面的距离.

21．已知圆C与圆关于直线对称.

(1)求圆C的方程；

(2)若A，B为圆C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线OA，OB，AB的斜率分别为，，，当时，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设圆C的标准方程为，利用两个圆心关于已知直线对称求得圆心C的坐标，即可的出圆C的方程.

（2）设点，，直线AB的方程为，直线方程代入圆方程，消去y后应用韦达定理得，，代入求得k，m的关系，由此得出k的一个范围，由直线与圆相交，判别式，又得一个范围，由，，存在得，，又得出k的限制条件，综合后可得k的范围.

【详解】（1）设圆C的标准方程为，

由题意得，即，解得，所以圆C的圆心为，

所以圆C的方程为.

（2）设点，，直线AB的方程为，

由，得，

即①，由，消去，

整理得，

由韦达定理，，将其代入①整理得，

解得②，由直线与圆相交，故，得，

即，解得或③，

又要使，，有意义，则，，且，所以0不是方程（*）的根，所以，即且④，

由②③④得，的取值范围为.