北京市第八中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题+

这是一份北京市第八中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题+，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京八中高一（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）若集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}
2．（4分）已知f（x）＝，则f（）+f（﹣）等于（　　）
A．1 B． C．2 D．
3．（4分）lg2+lg5﹣loga1+log22的值为（　　）
A．2 B．2﹣a C．lg7+1 D．lg7
4．（4分）给定函数①y＝x2；②y＝logx；③y＝|x﹣1|；④y＝2x，其中在区间（0，1）上单调递减的函数的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
5．（4分）设a＝1，b＝（），c＝（），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
6．（4分）“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（4分）设集合A＝{x|2≤2x≤4}，B＝{x|2﹣a≤x≤a}，若B⊆A，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．[2，+∞） D．（﹣∞，2]
8．（4分）已知函数f（x）＝2x3﹣7x2﹣2x+7，在下列说法中正确的是（　　）
A．（1，0）是函数f（x）的一个零点
B．函数f（x）只有两个零点
C．函数f（x）在（3，4）上至少有一个零点
D．函数f（x）在（3，4）上没有零点
9．（4分）函数y＝x+（x≥2）的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．
10．（4分）设集合M＝{x∈Z||x﹣1|＜2}，N＝{y∈N|y＝﹣x2+2x+1，x∈R}，则（　　）
A．N∈M B．M⫋N C．N⫋M D．M＝N
11．（4分）已知函数f（x）满足：①定义域为R；②对任意x∈R，有f（x+2）＝2f（x）；③当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1．则方程f（x）＝log4|x|在区间[﹣10，1]∪[2，10]内解的个数是（　　）
A．18 B．12 C．11 D．10
12．（4分）对于集合A，定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a＝a⊕e＝a，则称元素e是集合A对运算“⊕”的单位元素．例如：A＝R，运算“⊕”为普通乘法：存在1∈R，使得对任意a∈R都有1×a＝a×1＝a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：
①A＝R，运算“⊕”为普通减法；
②A＝R，运算“⊕”为普通加法；
③A＝{X|X⊆M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．
其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（　　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．
13．（4分）若命题p是“对所有正数x，均有x＞x2+2”，则￢p是 　 　．
14．（4分）若关于x的方程x2﹣（m+1）x+m2＝0的两个实数根为x1，x2，且＝，则实数m的值为 　 　．
15．（4分）设集合A＝{2，4，a2﹣3a+7}，B＝{1，5a﹣5，﹣a2+a+4}，若A∩B＝{5}，则实数a的值为 　 　．
16．（4分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似的表示y＝﹣48x+8000．已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为 　 　吨时，可以获得最大利润是 　 　万元．
17．（4分）设集合A＝{（x，y）|＝2，x，y∈R}，B＝{（x，y）|4x+ay＝16，x，y∈R}，若A∩B＝∅，则实数a的值为 　 　．
18．（4分）已知关于x的不等式|x+1|+|x+2|≥c的解集为R，则实数c的取值范围为 　 　．
19．（4分）已知a，b∈R，给出下列四个条件：①a＞b﹣1；②a＞b+1；③|a|＞b；④a＞|b|．使“a＞b”成立的必要不充分条件是 　 　．
20．（4分）称有限集S的所有元素的乘积为S的“积数”，给定数集M＝{，，，…，}，则集合M的所有有偶数个元素的子集的“积数”之和为 　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
21．（15分）（1）求方程组的解集；
（2）求关于x的方程x（x+3m+1）＝（x+m）（x+m+1）的解集；
（3）求不等式≤1的解集．
22．（14分）已知函数f（x）＝log2（1+x），g（x）＝log2（1﹣x）．
（1）求函数f（x）﹣g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）﹣g（x）的奇偶性，并予以证明；
（3）求使f（x）﹣g（x）＞1成立的x的取值范围．
23．（13分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1．
（1）若函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，1]，则实数a＝　 　；
（2）解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0．
24．（14分）已知函数f（x）＝x2，g（x）＝x﹣1．
（1）若∃x∈R使f（x）＜b•g（x），求实数b的取值范围；
（2）设F（x）＝f（x）﹣mg（x）+1﹣m﹣m2，且|F（x）|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围．
25．（14分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）＝Tf（x）成立．
（1）判断函数f（x）＝x是否属于集合M，并说明理由；
（2）设函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）的图像与y＝x的图像有公共点，证明：函数f（x）属于集合M；
（3）是否存在实数a，使得f（x）＝x|x﹣a|属于集合M？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

2021-2022学年北京八中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）若集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}
【分析】由于两个集合已知，故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可．
【解答】解：A∩B＝{x|﹣2＜x＜1}∩{x|0＜x＜2}＝{x|0＜x＜1}．故选D．
【点评】常用数轴图、函数图、解析几何中的图或文恩图来解决集合的交、并、补运算．
2．（4分）已知f（x）＝，则f（）+f（﹣）等于（　　）
A．1 B． C．2 D．
【分析】利用分段函数，直接求解函数值即可．
【解答】解：因为f（x）＝，
则f（）+f（﹣）＝2×+（﹣）+1＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．
3．（4分）lg2+lg5﹣loga1+log22的值为（　　）
A．2 B．2﹣a C．lg7+1 D．lg7
【分析】利用对数的运算性质求解．
【解答】解：lg2+lg5﹣loga1+log22＝lg（2×5）﹣0+1＝1﹣0+1＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．
4．（4分）给定函数①y＝x2；②y＝logx；③y＝|x﹣1|；④y＝2x，其中在区间（0，1）上单调递减的函数的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【分析】对所给的函数进行判断即可．
【解答】解：y＝x2该函数在（0，+∞）上单调递增，故不满足题意；
y＝logx该函数在（0，+∞）上单调递减，满足题意；
y＝|x﹣1|该函数在（﹣∞，1）上单调递减，满足题意；
y＝2x该函数在R上单调递增，不满足题意；
故选：B．
【点评】本题考查了基本函数的单调性，学生的数学运算能力，属于基础题．
5．（4分）设a＝1，b＝（），c＝（），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可．
【解答】解：∵指数函数y＝在R上单调递增，
∴，
即b＞c＞a，
故选：D．
【点评】本题主要考查了利用指数函数的单调性比较大小，是基础题．
6．（4分）“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由x2﹣3x+2≠0，推出x≠1且x≠2，因此前者是后者的必要不充分条件．
【解答】解：由x2﹣3x+2≠0，得x≠1且x≠2，能够推出x≠1，
而由x≠1，不能推出x≠1且x≠2；
因此前者是后者的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，一元二次方程的解法，属于基础题型．
7．（4分）设集合A＝{x|2≤2x≤4}，B＝{x|2﹣a≤x≤a}，若B⊆A，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．[2，+∞） D．（﹣∞，2]
【分析】先求出集合A，然后对集合B为空集和不是空集分类讨论，进而可以求解．
【解答】解：因为集合A＝{x|2≤2x≤4}，则集合A＝{x|1≤x≤2}，
又因为B⊆A，则当2﹣a≤a时，，解得a＝1，
当B＝∅时，2﹣a＞a，解得a＜1，
综上，a的取值范围为：（﹣∞，1]，
故选：A．
【点评】本题考查了集合的包含关系的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
8．（4分）已知函数f（x）＝2x3﹣7x2﹣2x+7，在下列说法中正确的是（　　）
A．（1，0）是函数f（x）的一个零点
B．函数f（x）只有两个零点
C．函数f（x）在（3，4）上至少有一个零点
D．函数f（x）在（3，4）上没有零点
【分析】求出函数f（x）的零点，逐一对选项进行判断即可．
【解答】解：f（x）＝2x3﹣7x2﹣2x+7＝2x（x+1）（x﹣1）﹣7（x+1）（x﹣1）＝（2x﹣7）（x+1）（x﹣1），
令f（x）＝0，
解得x＝﹣1或1或，
结合选项可知A正确，
故选：A．
【点评】本题考查了零点的判定，属于基础题．
9．（4分）函数y＝x+（x≥2）的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．
【分析】利用对勾函数的单调性即可求解函数的最值．
【解答】解：根据对勾函数的性质可知，f（x）＝x+在[2，+∞）上单调递增，
所以当x＝2时，函数取得最小值3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用函数单调性求解函数的最值，属于基础题．
10．（4分）设集合M＝{x∈Z||x﹣1|＜2}，N＝{y∈N|y＝﹣x2+2x+1，x∈R}，则（　　）
A．N∈M B．M⫋N C．N⫋M D．M＝N
【分析】根据已知分别求出集合M，N，进而可以判断求解．
【解答】解：因为集合M＝{x∈Z||x﹣1|＜2}，
所以集合M＝{0，1，2}，
又集合N＝{y∈N|y＝﹣x2+2x+1，x∈R}，
所以集合N＝{y∈N|y＝﹣（x﹣1）2+2}＝{y∈N|y≤2}＝{0，1，2}，
所以M＝N，
故选：D．
【点评】本题考查了集合间的包含关系，涉及到二次函数的性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
11．（4分）已知函数f（x）满足：①定义域为R；②对任意x∈R，有f（x+2）＝2f（x）；③当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1．则方程f（x）＝log4|x|在区间[﹣10，1]∪[2，10]内解的个数是（　　）
A．18 B．12 C．11 D．10
【分析】欲判断方程f（x）＝log4|x|在区间[﹣10，1]∪[2，10]内的解个数，利用图解法，在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象，利用图象的交点情况研究解的个数来解答本题．
【解答】解：在同一坐标系中画出满足条件：
①定义域为R；
②∀x∈R，有f（x+2）＝2f（x）；
③当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，
的函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象：

观察图象可得：两个函数的图象共有11个交点，
则方程f（x）＝log4|x|在区间[﹣10，1]∪[2，10]内的解的个数是：11．
故选：C．
【点评】本小题主要考查根的存在性及根的个数判断、函数图象的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
12．（4分）对于集合A，定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a＝a⊕e＝a，则称元素e是集合A对运算“⊕”的单位元素．例如：A＝R，运算“⊕”为普通乘法：存在1∈R，使得对任意a∈R都有1×a＝a×1＝a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：
①A＝R，运算“⊕”为普通减法；
②A＝R，运算“⊕”为普通加法；
③A＝{X|X⊆M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．
其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（　　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
【分析】由新定义依次对3个命题判断即可．
【解答】解：对于①A＝R，运算“⊕”为普通减法，
普通减法不满足交换律，故不成立；
对于②A＝R，运算“⊕”为普通加法，
存在0∈R，使得对任意a∈R都有0+a＝a+0＝a，故成立；
对于③A＝{X|X⊆M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集，
存在M∈A，使得对任意X∈A都有M∩X＝X∩M＝X，故成立；
故选：D．
【点评】本题考查了集合及新定义的应用，利用了转化思想及集合思想，属于中档题．
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．
13．（4分）若命题p是“对所有正数x，均有x＞x2+2”，则￢p是 　存在正数x，x≤x2+2　．
【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．
【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
命题p是“对所有正数x，均有x＞x2+2”，则￢p是：存在正数x，x≤x2+2．
故答案为：存在正数x，x≤x2+2．
【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．
14．（4分）若关于x的方程x2﹣（m+1）x+m2＝0的两个实数根为x1，x2，且＝，则实数m的值为 　1　．
【分析】根据根与系数的关系得到关于m的等式，转化后求解即可．
【解答】解：∵方程的两个实根为x1，x2，
故Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4m2≥0⇒﹣≤m≤1，①
则x1+x2＝m+1，x1x2＝m2，
∴＝＝＝＝，
∴m＝±1，
结合①得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查根与系数的关系以及转化思想，是基础题．
15．（4分）设集合A＝{2，4，a2﹣3a+7}，B＝{1，5a﹣5，﹣a2+a+4}，若A∩B＝{5}，则实数a的值为 　1　．
【分析】由交集定义解得a＝1或a＝2，再由集合中元素的性质能求出实数a的值．
【解答】解：∵集合A＝{2，4，a2﹣3a+7}，B＝{1，5a﹣5，﹣a2+a+4}，
∴a2﹣3a+7＝5，解得a＝1或a＝2，
当a＝1时，A＝{2，4，5}，B＝{1，0，5}，A∩B＝{5}，成立；
当a＝2时，A＝{2，4，5}，B＝{1，5，5}，不成立，
则实数a的值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（4分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似的表示y＝﹣48x+8000．已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为 　210　吨时，可以获得最大利润是 　1660　万元．
【分析】利用总成本除以年产量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．利用收入减去总成本表示出年利润；通过配方求出二次函数的对称轴；由于开口向下，对称轴处取得最大值．
【解答】解：生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似的表示y＝﹣48x+8000．
设每吨的平均成本为W（万元/T），
则 W＝＝+﹣48≥2﹣48＝32（0＜x≤210），
当且仅当，x＝200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．
设年利润为u（万元），则 u＝40x﹣（﹣48x+8000）＝﹣+88x﹣8000＝﹣（x﹣220）2+1680．
所以当年产量为210吨时，最大年利润1660万元．
故答案为：210；1660．
【点评】本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需满足：一正、二定、三相等、考查求二次函数的最值关键看对称轴，是中档题．
17．（4分）设集合A＝{（x，y）|＝2，x，y∈R}，B＝{（x，y）|4x+ay＝16，x，y∈R}，若A∩B＝∅，则实数a的值为 　﹣2或4　．
【分析】推导出直线y﹣3＝2x﹣1和直线4x+ay＝16平行，由此能求出结果．
【解答】解：∵集合A＝{（x，y）|＝2，x，y∈R}，
B＝{（x，y）|4x+ay＝16，x，y∈R}，A∩B＝∅，
∴（1，3）∉A，当（1，3）∈B时，A∩B＝∅，
此时，4×1+3a＝16，解得a＝4，
当（1，3）∉B时，直线y﹣3＝2x﹣1和直线4x+ay＝16平行，
∴2＝﹣，解得a＝﹣2．
故答案为：﹣2或4．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（4分）已知关于x的不等式|x+1|+|x+2|≥c的解集为R，则实数c的取值范围为 　（﹣∞，1]　．
【分析】f（x）＝|x+1|+|x+2|，由题意可得f（x）的最小值，然后求解c的范围．
【解答】解：关于x的不等式|x+1|+|x+2|≥c解集为R，
可设f（x）＝|x+1|+|x+2|，可得f（x）的最小值1，
由f（x）＝|x+1|+|x+2|≥|（x+1）﹣（x+2）|＝1，
当且仅当x∈[﹣2，﹣1]上式取得等号，
则1≥c，
实数c的取值范围为：（﹣∞，1]．
故答案为：（﹣∞，1]．
【点评】本题考查绝对值不等式的性质，以及不等式恒成立思想，考查运算能力，属于中档题．
19．（4分）已知a，b∈R，给出下列四个条件：①a＞b﹣1；②a＞b+1；③|a|＞b；④a＞|b|．使“a＞b”成立的必要不充分条件是 　①③　．
【分析】根据必要不充分条件的概念，只要看a＞b能得到哪个选项，而由该选项得不到a＞b即可．
【解答】解：使a＞b成立的必要不充分条件，即a＞b能得到哪个条件，而由该条件得不到a＞b，
对于①，当a＞b时，能得到a＞b﹣1，反之不成立，故①正确，
对于②，当a＞b时，不能得到a＞b+1，故②错，
对于③，当a＞b时，能得到|a|＞b，反之当|a|＞b 时，不能得到a＞b，比如a＝﹣3，b＝2，故③正确，
对于④，当a＝1，b＝﹣5时，满足a＞b，但不满足a＞|b|，∴④错．
故答案为：①③．
【点评】本题考查必要不充分条件的概念，不等式的性质．
20．（4分）称有限集S的所有元素的乘积为S的“积数”，给定数集M＝{，，，…，}，则集合M的所有有偶数个元素的子集的“积数”之和为 　　．
【分析】令f（x）＝（x+）（x+）（x+）…（x+）（x+），
则集合M＝{，，...，}的所有偶数个元素的子集的“积数”之和，即f（x）展开式中所有奇次项数之和S．
【解答】解：令f（x）＝（x+）（x+）（x+）…（x+）（x+），
令x＝1，
则f（x）＝...＝，
则集合M＝{，，...，}的所有元素的子集的“积数”之和为﹣1＝，M的所有偶数个元素的子集的“积数”之和为S，即f（x）展开式中所有奇次项数之和S，M的所有奇数个元素的子集的“积数”之和为T，即f（x）展开式中所有偶次项数之和T，
则S+T＝，
令x＝﹣1，则f（x）＝（﹣）•（﹣）•（﹣）•…•（﹣）•（﹣）＝﹣，
则﹣S+T＝﹣+1＝，
S＝＝，
得M的所有偶数个元素的子集的“积数”之和为．
故答案为：．
【点评】本题考查了集合的新定义问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
21．（15分）（1）求方程组的解集；
（2）求关于x的方程x（x+3m+1）＝（x+m）（x+m+1）的解集；
（3）求不等式≤1的解集．
【分析】（1）利用代入消元法消去y，然后结合一元二次方程的求法先求出x，进而可求；
（2）先对方程进行整理，然后结合一次方程的解法即可求解；
（3）先进行移项，通分化解，然后转化为高次方程，进而可求．
【解答】解：（1）把y＝x﹣1代入到方程4x2+y2＝4，整理得，5x2﹣2x﹣3＝0，
解得，x＝1或x＝﹣，
所以方程组的解集{（1，0），（﹣，﹣）}；
（2）x（x+3m+1）＝（x+m）（x+m+1）整理得mx＝m（m+1），
当m＝0时，解集为R，
当m≠0时，解集为{m+1}；
（3）由≤1得，﹣1≤0，
整理得，≥0，
即，
解得，x＞2或或x＜，
所以原不等式的解集为{x|x＞2或或x＜}
【点评】本题主要考查了二元二次方程组的求解，含参数一次方程的求解，还考查了分式不等式的求解，体现了分类讨论及转化思想的应用，属于中档题．
22．（14分）已知函数f（x）＝log2（1+x），g（x）＝log2（1﹣x）．
（1）求函数f（x）﹣g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）﹣g（x）的奇偶性，并予以证明；
（3）求使f（x）﹣g（x）＞1成立的x的取值范围．
【分析】（1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；
（2）根据函数的奇偶性的定义证明即可；
（3）根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）由f（x）﹣g（x）＝log2（1+x）﹣log2（1﹣x），
要使函数有意义，需，解得：﹣1＜x＜1
∴函数f（x）﹣g（x）的定义域为（﹣1，1）；
（2）函数f（x）﹣g（x）是奇函数，
证明如下：令h（x）＝f（x）﹣g（x），
∵对任意的x∈（﹣1，1），﹣x∈（﹣1，1），
h（﹣x）＝log2（1+x）﹣log2（1﹣x）＝﹣h（x），
∴h（x）＝log2（1+x）﹣log2（1﹣x）是奇函数
∴函数f（x）﹣g（x）是奇函数；
（3）f（x）﹣g（x）＞1，即log2＞1，
故，解得：＜x＜1，
故x的取值范围是（，1）．
【点评】本题考查了求对数函数的定义域，奇偶性问题，考查转化思想，是基础题．
23．（13分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1．
（1）若函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，1]，则实数a＝　1　；
（2）解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0．
【分析】（1）由题意可知函数为二次函数，且开口向上，对称轴为x＝1，即可解得；
（2）化简ax2﹣（a+1）x+1＞0为（ax﹣1）（x﹣1）＞0，分类讨论解不等式即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，1]，
∴，
解得，a＝1；
（2）ax2﹣（a+1）x+1＞0可化为（ax﹣1）（x﹣1）＞0，
当a＝0时，原不等式可化为﹣（x﹣1）＞0，
解得x＜1，即不等式的解集为{x|x＜1}；
当a＜0时，解不等式得＜x＜1，
故不等式的解集为{x|＜x＜1}；
当0＜a≤1时，解不等式得x＞或x＜1，
故不等式的解集为{x|x＞或x＜1}；
当a＞1时，解不等式得x＞1或x＜，
故不等式的解集为{x|x＞1或x＜}．
【点评】本题考查了二次函数的性质及二次不等式的解法，利用了分类讨论的思想，属于中档题．
24．（14分）已知函数f（x）＝x2，g（x）＝x﹣1．
（1）若∃x∈R使f（x）＜b•g（x），求实数b的取值范围；
（2）设F（x）＝f（x）﹣mg（x）+1﹣m﹣m2，且|F（x）|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围．
【分析】（1）把∃x∈R使f（x）＜b•g（x），转化为∃x∈R，x2﹣bx+b＜0，再利用二次函数的性质得Δ＝（﹣b）2﹣4b＞0，解出实数b的取值范围；
（2）先求得F（x）＝x2﹣mx+1﹣m2，再对其对应方程的判别式分△≤0和当Δ＞0两种情况，分别找到满足|F（x）|在[0，1]上单调递增的实数m的取值范围，最后综合即可．
【解答】解：（1）由∃x∈R，f（x）＜b•g（x），得∃x∈R，x2﹣bx+b＜0，
∴Δ＝（﹣b）2﹣4b＞0，解得b＜0或b＞4，
∴实数b的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）；
（2）由题设得F（x）＝x2﹣mx+1﹣m2，
对称轴方程为，Δ＝m2﹣4（1﹣m2）＝5m2﹣4，
由于|F（x）|在[0，1]上单调递增，则有：
①当△≤0即﹣≤m时，有，解得，
②当Δ＞0即或时，设方程F（x）＝0的根为x1，x2（x1＜x2），
若，则，有即为解得m≥2；
若，即，有x1＜0，x2≤0；得F（0）＝1﹣m2≥0，有﹣1≤m≤1，
∴；
综上所述，实数m的取值范围是[﹣1，0]∪[2，+∞）．
【点评】本题的（1）考查了存在性问题，存在性问题是只要能找到即可，并不要求所有的都成立．
25．（14分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）＝Tf（x）成立．
（1）判断函数f（x）＝x是否属于集合M，并说明理由；
（2）设函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）的图像与y＝x的图像有公共点，证明：函数f（x）属于集合M；
（3）是否存在实数a，使得f（x）＝x|x﹣a|属于集合M？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将f（x）＝x代入定义f（x+T）＝Tf（x）验证知f（x）＝x∉M；
（2）由题意知方程ax＝x有解，即存在T≠0使aT＝T，化简可证明函数f（x）属于集合M；
（3）先假设存在，则由新定义知T＝1且T2＝﹣T，方程组无解，故不存在．
【解答】解：（1）f（x）＝x∉M，证明如下，
当f（x）＝x时，则f（x+T）＝x+T，Tf（x）＝Tx，
当x＝0时，f（x+T）＝T，Tf（x）＝0，故T＝0，故不成立，
故f（x）＝x∉M；
（2）证明：∵函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）的图像与y＝x的图像有公共点，
∴方程ax＝x有解，即存在T≠0，使aT＝T，
于是对于函数f（x）＝ax，f（x+T）＝ax+T＝ax•aT＝ax•T＝Tf（x），
故f（x）＝ax∈M；
（3）若f（x）＝x|x﹣a|∈M，
当x＝0时，f（x+T）＝T|T﹣a|，Tf（x）＝0，
故T|T﹣a|＝0，又∵T≠0，∴T﹣a＝0，即T＝a，
则f（x+T）＝（x+T）|x|，Tf（x）＝Tx|x﹣T|，
当x＞0且x＞T时，f（x+T）＝（x+T）x，Tf（x）＝Tx（x﹣T），
故T＝1且T2＝﹣T，方程组无解，
故不存在实数a，使得f（x）＝x|x﹣a|属于集合M．
【点评】本题考查了函数的新性质的判断与证明，考查了转化法及反证法，属于中档题．
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