山东省临沂市郯城县郯城第二中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题(含答案)

郯城二中高三上学期期末考试数学试题

（时间120分钟，满分150分）

命题：吴超

一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

2．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

3．已知向量，且，则（    ）

A．3     B．     C．     D．

4．已知直线与圆有公共点，则实数a的取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D．

5．良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时），经调查发现，这1200名学生每天的睡眠时间，则每天的睡眠时间为5-6小时的学生人数约为（结果四舍五入保留整数）（    ）

（附：若，则，，）

A．20     B．26     C．51     D．163

6．从2至7的6个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ）

A．     B．     C．     D．

7．已知为奇函数．为偶函数，若当，，则（    ）

A．     B．0     C．1     D．2

8．已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，以F为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线相切于第一象限内的一点B．若直线的斜率为，则双曲线C的离心率为（    ）

A．     B．     C．     D．2

9．已知，则（    ）

A．     B．     C．     D．

10．甲乙两个箱子中各装有5个大小、质地均相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球；抛一枚质地均匀的硬币，若硬币正面向上，从甲箱中随机摸出一个球；若硬币反面向上，从乙箱中随机摸出一个球．则摸到红球的概率为（    ）

A．     B．     C．     D．

11．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，垂直l于点Q，与y轴交于点T，O为坐标原点，且，则（    ）

A．1     B．2     C．3     D．4

12．已知三棱锥中，三条棱两两垂直，且长度均为，以顶点P为球心，2为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为（    ）

A．     B．     C．     D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

13．在的展开式中，下列说法正确的是（    ）

A．常数项为160         B．第4项的二项式系数最大

C．第3项的系数最大        D．所有项的系数和为64

14．若正实数a，b满足，且，则下列结论正确的是（    ）

A．   B．    C．  D．

15．已知函数，则（    ）

A．有两个极值点       B．有三个零点

C．点是曲线的对称中心    D．直线是曲线的切线

16．若函数在上恰有三个零点，则（    ）

A．的取值范围为      B．在上恰有两个极大值点

C．在上有极大值点     D．在上单调递增

三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知的三个内角A，B，C的对边分别是A，B，C，且．

（1）求角A；

（2）若，的面积为，求的值．

18．（12分）已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，证明：．

19．（12分）垃圾分类收集处理是一项利国利民的社会工程和环保工程。摘好垃圾分类收集处理，可为政府节省开支，为国家节约能源，减少环境污染，是建设资源节约型社会的一个重要内容。为推进垃圾分类收集处理工作，A市通过多种渠道对市民进行垃圾分类收集处理方法的宣传教育，为了解市民能否正确进行垃圾分类处理，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表（单位人）：

（1）根据以上列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关？

（2）将频率视为概率，现从A市55岁及以下的市民中里随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“不能正确进行垃圾分类”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量X的分布列和均值．

附：，其中．

20．（12分）如图，在正方体中，E为的中点．

（1）求证：|平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

21．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知A，B是椭圆C上的两个不同的动点，以线段为直径的圆经过坐标原点O．是否存在以O为圆心的定圆恒与直线相切？若存在，求出定圆方程：若不存在，请说明理由．

22．（12分）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若对于任意恒成立，求实数a的取值范围．

郯城二中高三上学期期末考试数学答案

一、单项选择题：

二、多项选择题：

三、解答题：

17．解：（1）因为，

由正弦定理得，，----------------------------1分

即，

故，--------------------------------------------------------------3分

因为，

所以，----------------------------------------------------------------4分

由A为三角形内角得，；----------------------------------------------5分

（2）因为，的面积为，

所以--------------------------------------------------6分

所以，--------------------------------------------------------------------------7分

由余弦定理得，，--------------9分

故．------------------------------------------------------------------------10分

18．（1）解：由

可得：，---------1分

两式相减得：，------------------3分

即，--------------------------------------------------------------------4分

又当时，有也适合上式，-------------------------------------------5分

∴；-----------------------------------------------------------------------------6分

（2）证明：由（1）可得：，---------------8分

∴---------------------------10分

------------------------------------------------------------------11分

．----------------------------------------------------------------------------12分

19．解：（1）根据以上数据，的观测值-----------------2分

，------------------------------------3分

∴依据小概率值的独立性检验，能据此推断该市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关．---------4分

（2）由题意可得：，--------------------------------------5分

∴，，

，，，．-----------------9分

可得：随机变量X的分布列：

-----------------------------------10分

均值．-----------------------------------------------------------------12分

20．（1）证明：，四边形为平行四边形，，---------------------2分

又平面，平面，

平面---------------------------------------------------------------4分

（2）如图建系，设正方体的棱长为2．-------------------------------------------5分

，，，----------------------------6分

，，，，----------7分

设平面的法向量为，

则-------------------------------------------8分

令，，，．--------------------10分

设直线与平面所成角为，．------------12分

21．解：（1）由题意可知，---------------------3分

解得：，------------------------------------------------4分

∴椭圆C的方程为：．------------------------------5分

（2）设，直线的方程为：，

联立方程，消去x得：，

∴，，----------------------------------6分

∵线段为直径的圆经过坐标原点O，

∴，

∴，---------------------------------------------------------------7分

∴，

整理得：，-----------------------8分

把，代入上式得：，

整理得：，------------------------------------------------------9分

∵原点到直线的距离，------------------------10分

∴，-------------------------------------------------------------------------11分

∴存在以O为圆心的定圆恒与直线相切．--------------------------12分

<法二>当直线斜率存在时，设方程为：，设，

联立可得：，，，

，---------------------------------------------------------6分

．------------------7分

，．----------------------------------------------------------------8分

，整理得：，--------------------9分

到直线AB：的距离为：，

，----------------------------------------------------------------------------------------10分

∴存在以O为圆心的定圆恒与直线相切．

当直线斜率不存在时，，合适．-------------------------------------------11分

综上所述，存在以O为圆心的定圆恒与直线相切．----------------------------12分

22. 解：（1）-----------------------------------------------------------1分

①当时，，在上单调递增；------------------------2分

②当时，令，，

当时，，在上单调递减；--------------------3分

当时，，在上单调递增；-----------------4分

（2）由，得，对于任意恒成立，

因此，---------------------------------------------6分

记，由，得，----------------------7分

当时，单调递减，当时，单调递增，-----------8分

所以，因此；----------------------------------------------------------9分

记，易知在调递减，所以，-----------------------------10分

所以；--------------------------------------------------------------------------------------------11分

综上，．---------------------------------------------------------------------------------12分．