2022-2023学年山东省临沂市郯城一中高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省临沂市郯城一中高一（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|y= 3−x,x∈N}，B={0,1,2,3,4}，则A，B间的关系是( )
A. A=BB. B⊆AC. A∈BD. A⊆B
2.下列选项中与角α=1680°终边相同的角是( )
A. 120°B. −240°C. −120°D. 60°
3.命题“∀x>1，x2−1>0”的否定形式是( )
A. ∀x>1，x2−1≤0B. ∀x≤1，x2−1≤0
C. ∃x>1，x2−1≤0D. ∃x≤1，x2−1≤0
4.设a=(1e)−0.2，b=lg2，c=cs65π，则( )
A. a5.如果点P(sinθ,csθ)位于第四象限，那么角θ所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.围棋起源于中国，春秋战国时期已有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国．围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现．围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜．围棋状态空间的复杂度上限为P=3361，据资料显示宇宙中可观测物质原子总数约为Q=1080，则下列数中最接近数值PQ的是(参考数据：lg3≈0.477)( )
A. 1089B. 1090C. 1091D. 1092
7.函数f(x)=2lnx+x−6的零点所在区间为( )
A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)
8.设a>0，b>0，且2a+b=2，则2a+2aa+b( )
A. 有最小值为4B. 有最小值为2 2+1
C. 有最小值为143D. 无最小值
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 240°=43π
B. 1弧度的角比1°的角大
C. 用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关
D. 扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则扇形的圆心角的弧度数为4
10.已知函数f(x)=|lnx|，0A. 1a>bB. a+2b>2 2
C. 2a+b>3D. (a+1)2+(b+1)2>8
11.已知符号函数sgn(x)=1,x>00,x=0−1,x<0下列说法正确的是( )
A. 函数y=sgn(x)图象的对称中心坐标是(0,0)
B. 对任意x>1，sgn(lnx)=1
C. 函数y=ex⋅sgn(−x)的值域为(−∞,1)
D. 对任意的x∈R，|x|=x⋅sgn(x)
12.给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是( )
A. “x>3”是“2x>4”的充分不必要条件
B. 函数f(x)=lga(x−1)+1(a>0,a≠1)过定点(2,1)
C. 若函数f(x)满足f(−x+2)=f(x+14)，则f(x)的图象关于直线x=8对称
D. 函数f(x)的定义域为D，若满足：(1)f(x)在D内是单调函数；(2)存在[m2,n2]⊆D，使得f(x)在[m2,n2]上的值域为[m,n]，那么就称函数f(x)为“梦想函数”.若函数f(x)=lga(ax+t)(a>0,a≠1)是“梦想函数”，则t的取值范围是[−14,0)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若幂函数y=f(x)的图象经过点(43,916)，则f(−2)=______
14.求值：(214)12−(−9.6)0−lg24= ______ ．
15.已知f(sinx)=tan3x，则f(cs20°)=______．
16.已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间(−∞,0]上单调递增，且f(−2)=0.若A是△ABC的一个内角，且满足f(1sin2A+1)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知角α的终边经过点P(−4,3)．
(1)求tanαsin(π−α)−cs(π2+α)的值；
(2)求sin2α+sinαcsα+2cs2α的值．
18.(本小题10分)
设已知集合A={x|2a−1≤x≤a+1}，B={x|0≤x≤3}．
(1)若a=1，求A∪B；
(2)若A∪B=B，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数y=lg3(ax+b)的图像过点A(2,1)和B(5,2)．
(1)求此函数的表达式；
(2)已知函数y=lg3(t+1x−2)，若两个函数图像在区间[1,2)上有公共点，求t的最小值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=asin(ωx+π3)+b(ω>0),f(x)图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离为π4,a=1,b=0．
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标；
(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调增区间．
21.(本小题12分)
为了进一步增强市场竞争力，某企业计划在2023年利用新技术生产某部手机.经过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x(单位：千部)手机，需另投入可变成本R(x)万元，且R(x)=10x2+200x+800,0(1)求2023年的利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：千部)的函数关系式；
(2)2023年的年产量为多少(单位：千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题14分)
设f(x)=−2x+m2x+1+n(m>0,n>0)是奇函数．
(1)求m与n的值；
(2)如果对任意x∈R，不等式f(2a+cs2x)+f(4sinx− 2a−1−7)>0恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：函数y= 3−x的定义域是{x|x≤3,x∈N}={0,1,2,3}，即A={0,1,2,3}，又B={0,1,2,3,4}，所以A⊆B．
故选：D．
求出函数y= 3−x的定义域，通过计算得到A={0,1,2,3}，从而得到集合A与B的关系．
此题考查函数定义域及集合与集合之间的关系，属于基础题型．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查终边相同的角，属于基础题．
由题意，利用终边相同的角的定义，得出结论．
【解答】
解：∵角α=1680°=360°×4+240°=360°×5−120°，
故240°和−120°与角α=1680°是终边相同的角，
故选：C．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题与存在量词命题否定，考查推理能力，属于基础题．
根据全称量词命题的否定为存在量词命题，写出否定形式即可．
【解答】
解：“∀x>1，x2−1>0”的否定形式是“∃x>1，x2−1≤0”，
故选：C．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了指数函数，对数函数的应用，涉及到三角函数的诱导公式的应用，属于基础题．
利用指数函数，对数函数的性质以及余弦函数的诱导公式即可判断求解．
【解答】
解：因为a=(1e)−0.2=e0.2>e0=1，
0则a，b，c的大小关系为c故选：D．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了三角函数值的符号，是基础题．
直接由点P(sinθ,csθ)位于第四象限求出sinθ和csθ的符号，则答案可求．
【解答】
解：∵点P(sinθ,csθ)位于第四象限，
∴sinθ>0csθ<0，
∴角θ所在的象限是第二象限．
故选B．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了对数型函数在实际中的应用问题，对数与对数运算，属于基础题．
利用题意，令PQ=33611080=x，两边同时取常用对数，然后利用对数的运算性质化简求解即可．
【解答】
解：令PQ=33611080=x，
两边同时取常用对数，则lgx=361⋅lg3−80≈361×0.477−80=92.197，
所以x≈1092．
故选D．
7.【答案】C
【解析】解：f(x)=2lnx+x−6，
∵y=2lnx在(0,+∞)上单调递增，y=x−6在(0,+∞)上单调递增，
∴f(x)=2lnx+x−6在(0,+∞)上单调递增，
对于A：f(1)=−5<0，f(2)=2ln2+2−6=2ln2−4<0，则f(1)f(2)>0，故A错误；
对于B：f(2)=2ln2−4<0，f(3)=2ln3−3<0，则f(2)f(3)>0，故B错误；
对于C：f(3)=2ln3−3<0，f(4)=2ln4−2=2(ln4−1)>0，则f(3)f(4)<0，故C正确；
对于D：f(4)=2ln4−2=2(ln4−1)>0，f(5)=2ln5−1>0，则f(4)f(5)>0，故D错误，
故选：C．
根据零点存在性定理，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查函数的定理判定定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：设a=xa+b=y，
则2a+b=x+y=2，
所以2a+2aa+b=2x+2xy=x+yx+2xy=yx+2xy+1≥2 2+1，
当且仅当yx=2xy，即x=2 2−2，y=4−2 2时等号成立，
故当a=2 2−2，b=6−4 2时，2a+2aa+b取最小值2 2+1．
故选：B．
由换元法与基本不等式求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题主要考查了弧长公式，角的概念的理解，主要考查了角度制与弧度制的理解，属于基础题．
利用角度制与弧度制的定义以及它们之间的关系对ABC选项逐一分析判断即可求解，由已知先求出圆心角，然后结合弧长公式即可判断D．
【解答】
解：对于A，240°=240×π180rad=4π3，故A正确；
对于B，根据弧度制与角度制的互化，可得1rad=180°π>1°，故选项B正确；
对于C，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径是无关的，故选项C错误；
对于D，由题意得l+2r=612lr=2，
解得r=1或r=2，
当r=1时，l=4，α=4，
当r=2时，l=2，α=1，故D错误．
故选：AB．
10.【答案】BCD
【解析】解：因为0对于A、因为b=1a，所以A不正确；
对于B、因为0所以a+2b=a+2a．
因为函数y=x+2x(0所以函数y=x+2x(0因此a+2a>3，即a+2b>3>2 2，所以B正确；
对于C、因为0所以2a+b=3b>3，因此C正确；
对于D、因为0所以(a+1)2+(b+1)2=a2+b2+2(a+b)+2⩾2ab+4 ab+2=8，
当且仅当a=b时，等号成立，
而08，所以D正确．
故选：BCD．
先画出函数f(x)=|lnx|的图象，利用对数的性质即可得出ab的关系式，利用函数图象的作法，结合对数函数的图象得函数图象，从而得0本题考查了函数图象的作法，不等式性质，利用基本不等式求最值，y=x+1x函数和对数函数及其性质，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，当x>0时，−x<0，sgn(x)=1，sgn(−x)=−1，满足sgn(−x)=−sgn(x)，
当x<0时，−x>0，sgn(x)=−1，sgn(−x)=1，满足sgn(−x)=−sgn(x)，
又sgn(−0)=−sgn(0)，所以函数y=sgn(x)图象的对称中心坐标是(0,0)，故A正确；
对于B，对任意的x>1，lnx>0，则sgn(lnx)=1，故B正确；
对于C，当x>0时，−x<0，sgn(−x)=−1，ex>1，则y=ex⋅sgn(−x)=−ex<−1，
当x<0时，−x>0，sgn(−x)=1，0又因为e0⋅sgn(0)=0，综上，函数y=ex⋅sgn(−x)的值域为(−∞,−1)∪[0，1)，故C错；
对于D，当x>0时，x⋅sgn(x)=x=|x|，当x<0时，x⋅sgn(x)=−x=|x|，
又因为0⋅sgn(0)=|0|，故对任意的x∈R，|x=x⋅sgn(x)，故D正确．
故选：ABD．
利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用符号函数的定义可判断BD选项；分x>0x<0、x=0三种情况讨论，分别求出函数y=ex⋅sgn(−x)的值域和函数值，综合可得出函数y=ex⋅sgn(−x)的值域，可判断C选项．
本题主要考查分段函数及其应用，函数的值域的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A，2x>4，解得：x>2，所以x>3⇒x>2，但x>2不一定得到x>3，所以“x>3”是“2x>4”的充分不必要条件，A正确；
对于B，f(x)=lga(x−1)+1(a>0,a≠1)恒过点(2,1)，B正确；
对于C，由f(−x+2)=f(x+14)得x=−x+2+x+142=8，则f(x)的图像关于直线x=8对称，C选项正确；
对于D，函数f(x)=lga(ax+t)(a>0,a≠1)，根据复合函数单调性可知：单调递增，结合题意可得f(m2)=lga(t+am2)=mf(n2)=lga(t+an2)=n，
即am−am2−t=0an−an2−t=0，则m与n是方程ax−ax2−t=0的两个根，
令ax2=z，则am2>0与an2>0是一元二次方程z2−z−t=0的两个不相等的正实根，
令φ(z)=z2−z−t，故满足Δ=1+4t>0ϕ(0)=−t>0，
解得t∈(−14,0)，D选项错误．
故选：ABC．
求出2x>4的解集结合充分不必要条件的定义可判断A；求出对数复合函数恒过定点可判断B；根据函数的对称性可判断C；根据题意把问题转化为m与n是方程ax−ax2−t=0的两个不相等的实数根，换元后转化为一元二次方程问题，进而利用二次函数图象进行求解可判断D．
本题主要考查了对数函数的性质，充分必要条件的判断，还考查了复合函数的单调性的应用，属于中档题．
13.【答案】14
【解析】解：∵幂函数y=f(x)=xa的图象经过点(43,916)，
∴f(43)=(43)a=916，
解得a=−2，
∴f(x)=x−2，
∴f(−2)=(−2)−2=14．
故答案为：14．
由幂函数y=f(x)=xa的图象经过点(43,916)，解得a=−2，从而f(x)=x−2，由此能求出f(−2)．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】−32
【解析】解：(214)12−(−9.6)0−lg24=(94)12−1−2=32−3=−32．
故答案为：−32．
根据指数运算和对数运算，直接求解即可．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
15.【答案】 33
【解析】解：因为cs20°=cs(90°−70°)=sin70°，
又f(sinx)=tan3x，
所以f(cs20°)=f(sin70°)=tan210°=tan(180°+30°)=tan30°= 33．
故答案为： 33．
先利用诱导公式得到cs20°=sin70°，从而代入x=70°即可得解．
本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
16.【答案】(7π12,3π4)∪(3π4,11π12)
【解析】解：偶函数f(x)在区间(−∞,0]上单调递增，则在区间[0,+∞)单调递减，
∴f(1sin2A+1)=f(|1sin2A+1|)2，
∴0<|sin2A+1|<12，∴−1又A是△ABC的一个内角，则0∴7π6<2A<11π6，且2A≠3π2．
化简得：A∈(7π12,3π4)∪(3π4,11π12)．
故答案为：(7π12,3π4)∪(3π4,11π12)．
偶函数f(x)在区间(−∞,0]上单调递增，则在区间[0,+∞)单调递减，依据此可将f(1sin2A+1)本题考查函数的性质，考查三角不等式，属于中档题．
17.【答案】解：∵角α的终边经过点P(−4,3)，∴r= 16+9=5，
∴sinα=35，csα=−45，tanα=−34，
(1)原式=tanαsinα+sinα=−34×56=−58．
(2)原式=925+35×(−45)+2×1625=2925．
【解析】利用三角函数的定义求出sinα=35，csα=−45，tanα=−34，再利用诱导公式化简求值即可．
本题考查三角函数的定义，诱导公式的应用，是中档题．
18.【答案】解：(1)当a=1时，集合A={x|1≤x≤2}，
因为B={x|0≤x≤3}，
所以A∪B={x|0≤x≤3}；
(2)由A∪B=B，得A⊆B．
①当A=⌀时，即2a−1>a+1，解得a>2，此时A⊆B，符合题意；
②当A≠⌀时，即2a−1≤a+1，解得a≤2，
所以2a−1≥0a+1≤3，解得12≤a≤2；
所以实数a的取值范围是[12,+∞)．
【解析】(1)求出A={x|1≤x≤2}，利用并集概念求出答案；
(2)根据并集结果得到包含关系，分A=⌀与A≠⌀时，得到不等式，求出答案．
本题主要考查了集合的并集运算集集合包含关系的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意lg3(2a+b)=1lg3(5a+b)=2，解得a=2b=−1；
所以y=lg3(2x−1)(x>12)．
(2)由(1)，2x−1=t+1x−2在[1,2)上有解，
则t=2x−1−1x−2
函数y=2x−1−1x−2在[1,2)严格单调递增，
所以当x=1时，y=2x−1−1x−2取最小值2．
所以t≥2，
故t的最小值为2．
【解析】(1)将点代入，即可求解．
(2)问题转化为2x−1=t+1x−2在[1,2)上有解，求出函数y=2x−1−1x−2的最小值，即可求解．
本题主要考查对数函数的图象与性质，属于基础题．
20.【答案】解：(1)∵a=1，b=0，
∴f(x)=sin(ωx+π3)，
∵f(x)图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离为π4，
∴T4=π4，即T=π，
∴ω=2πT=2，
∴f(x)=sin(2x+π3)，
令2x+π3=π2+kπ,k∈Z，则x=π12+kπ2，
∴f(x)图象的对称轴方程为x=π12+kπ2,k∈Z，
令2x+π3=kπ,k∈Z，则x=−π6+kπ2，k∈Z，
∴f(x)图象的对称中心的坐标为(−π6+kπ2,0),k∈Z．
(2)由(1)知，f(x)=sin(2x+π3)，
令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z)，则kπ−5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)，
当k=0时，−5π12≤x≤π12，当k=1时，7π12≤x≤13π12，
函数f(x)在[0,π]时的单调增区间为[0,π12],[7π12,π]．
【解析】(1)由题意可得T=π，结合已知求函数的解析式，进而根据正弦函数的对称轴方程和对称中心求解即可；
(2)由(1)知函数解析式，进而根据正弦函数的单调区间，求出f(x)在[0,π]上的单调增区间．
本题考查正弦函数的图象与性质，考查赋值法的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意知，利润函数为：
W(x)=800x−250−R(x)
=800x−250−(10x2+200x+800),0=−10x2+600x−1050,0(2)因为y=−10x2+600x−1050，0所以当x=30时，ymax=7950；
又因为x>40时，y=−(x+8100x)+8250≤−2 x⋅8100x+8250=8070，
当且仅当x=90时等号成立；
所以当产量为90千部时，企业所获利润最大，最大利润为8070万元．
【解析】(1)W(x)=800x−250−R(x)代入分段函数化简即可．
(2)分别求分段函数的最值，取最大值即可．
本题考查了根据实际问题选择函数类型和分段函数的应用问题，是中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)=−2x+m2x+1+n(m>0,n>0)是奇函数，
则f(0)=0，即m−1=0，可得m=1；
又定义域为R，可得f(−x)=−f(x)，
即为1−2−x21−x+n=−1−2x2x+1+n，
可得(n−2)(1−2x)=0，即有n=2；
(2)f(x)=1−2x2+2x+1=−12+11+2x，
可得奇函数f(x)在R上递减，
f(2a+cs2x)+f(4sinx− 2a−1−7)>0
等价为f(2a+cs2x)>−f(4sinx− 2a−1−7)=f(−4sinx+ 2a−1+7)，
即为2a+cs2x<−4sinx+ 2a−1+7，
即有2a− 2a−1−7<−cs2x−4sinx恒成立，
由g(x)=−cs2x−4sinx=sin2x−4sinx−1=(sinx−2)2−5，
由−1≤sinx≤1，可得sinx=1即x=2kπ+π2，k∈Z，可得g(x)取得最小值−4，
所以2a− 2a−1−7<−4，
所以( 2a−1−2)( 2a−1+1)<0，
即为0≤2a−1<4，
解得12≤a<52，
即a的取值范围是[12,52).
【解析】(1)由奇函数的性质可得f(0)=0，求得m；再由奇函数的定义，结合恒等式的性质，可得n；
(2)由奇函数的定义和单调性的定义，可得2a+cs2x<−4sinx+ 2a−1+7，再由参数分离和正弦函数的值域、二次函数的单调性，以及不等式恒成立思想，解不等式可得所求取值范围．
本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．