安徽省合肥市庐江县五校2022-2023学年高三上学期期末联考数学试题(含答案)

庐江县高三五校联考数学试卷

一、选择题（每小题5分，共8小题40分）

1.若，则（    ）

A.-2   B.-1   C.1   D.2

2.若集合，，则（    ）

A.      B.

C.    D.

3.已知数列的前项和，则是为等比数列的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

4.已知，则（    ）

A.    B.    C.    D.

5.已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（    ）

A.    B.   C.    D.

6.某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：kg）数据进行整理后分为五组，并绘制频率分布直方图（如图所示）．根据一般标准，高三男生的体重超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的纵坐标分别为0.05，0.04，0.02，0.01，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为（    ）

A.1000，0.50   B.800，0.50，   C.800，0.60   D.1000，0.60

7.已知点，分别是椭圆为：的左、右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，则椭圆的离心率为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ）

A.    B.    C.    D.

二、多选题（每小题5分，共4小题20分，部分答对得2分）

9.已知函数，其图像相邻对称中心间的距离为，直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（    ）

A.函数的最小正周期为

B.函数在区间上单调递增

C.点是函数图像的一个对称中心

D.将函数图像上所有点横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图像向右平移个单位长度，可得到正弦函数的图像

10.已知数列的首项为4，且满足，则（    ）

A. 为等比数列      B. 为递增数列

C. 的前项和  D. 的前项和

11.在正方体中，，，分别是面，面，面的中心，则下列结论正确的是（    ）

A.    B. 平面

C. 平面  D. 与所成的角是

12.已知函数在上可导，且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（    ）

A.函数在上为减函数   B. 是函数的极小值点

C.函数必有2个零点     D.

三、填空题（每小题5分，共4小题20分）

13.二项式展开式中的系数为__________.

14.已知是边长为1的等边三角形，设向量，满足，，则__________.

15.已知为双曲线：的右焦点，为的左顶点，为上的点，且垂直于轴，若的离心率为5，则的斜率为__________.

16.已知关于的不等式有且仅有三个整数解，则实数的取值范围是__________.

四、解答题（本大题共6小题，其中第17题10分，其余均为12分，共70分）

17.在等比数列中，公比，等差数列满足，，.

（1）求数列与的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

18.在中，角，，的对边分别为，，，已知.

（1）求；

（2）若，点在边上且，，求.

19.为了研究新冠病毒疫苗，医务人员需进入实验室完成某项具有高危险的实验，每次只派一个人进去，且每个人只被派一次，工作时间不超过30分钟，如果某人30分钟不能完成实验则必须撤出再派下一个人，否则实验结束.现有甲、乙、丙、丁四人可派，他们各自完成实验的概率分别为、、、，且假定每人能否完成实验相互独立.

（1）求实验能被完成的概率；

（2）根据四人的身体健康状况，现安排四人按照丙丁乙甲的顺序实验，记参与实验人数为随机变量，求随机变量的分布列和期望.

20.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，是的中点.

（1）设是上的一点，且，求的大小；

（2）当，，求二面角的大小.

21.已知椭圆：的四个顶点，，，所构成的菱形面积为6，且椭圆的焦点为抛物线与轴的交点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点，若，且，求面积的最大值.

22.已知为实数，函数.

（1）若是函数的一个极值点，求实数的值.

（2）设，若，使得成立，求实数的取值范围.

参考答案

一、选择题（每小题5分，共8小题40分）

1.【答案】D

【解析】，∴，

∴，∴，故选D.

2.【答案】B

【解析】，，故，故选B.

3.【答案】C

【解析】若，，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

故是为等比数列的充分条件，若数列为等比数列，

当时，，

当时，，

则，解得.故是为等比数列的必要条件.

4.【答案】B

【解析】∵，

∴，故选B.

5.【答案】D

【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径，母线长为，球的半径为，

∵球与圆台的两个底面和侧面均相切，

∴，，

∴圆台的侧面积与球的表面积之比为，故选D.

6.【答案】D

【解析】第二小组的频率为0.40，所以该校高三年级的男生总数为（人）；体重正常的频率为.

7.【答案】C

【解析】将点代入：.

得，∴，

∵过点作直线的垂线交直线于点，.

∴设，得，解得，∴，

∵直线与双曲线的一条渐近线平行，

∴，即，

整理，得，∴.

8.【答案】D

【解析】∵为奇函数，∴关于中心对称，∴.

因为偶函数，故关于轴对称，周期为4.

∴，.即，.

，.

故.

故选D.

二、多选题（每小题5分，共4小题20分，部分答对得2分）

9.【答案】B，C

【解析】已知函数，

其图像相邻对称中心间的距离为，故最小正周期，，

直线是其中一条对称轴，有，

，，由，∴，可以求得.

最小正周期，选项A错误；

时，是正弦曲线的单调递增区间，故选项B正确；

由于，故点是函数图像的一个对称中心，选项C正确；将函数图像上所有点横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图像向右平移个单位长度，可得到，选项D错误.故选：BC.

10.【答案】A，B，D

【解析】对于A：因为，

所以为等比数列，，故A正确.

对于B：由于数列是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以，所以，

则，

故数列单调递增，故B正确；

对于C：由于，

故①，

②，

①-②得：

，

整理，故C错误；

对于D：由于，

所以，

所以，，故D正确.

11.【答案】A，B，D

【解析】连接，，则是的中位线，∴，故选项A正确；

连接，，则，∴平面，即平面，

故选项B正确；

连接，，，则平面即为平面，显然不垂直平面，故选项C错误；

∵，∴即为与所成的角，，故选项D正确.

故选ABD.

12.【答案】A，B，D

【解析】由题意得：；

由知：当时，，即；当时，，即，

∴在上单调递减，在上单调递增，A正确；

∴是的极小值点，B正确；

∵在上单调递增，

∴，即，∴，D正确；

∵，∴，

若在或在上无零点，则无两个零点，C错误.

故选ABD.

三、填空题（每小题5分，共4小题20分）

13.【答案】5

【解析】，展开式中的系数为.

14.【答案】

【解析】法一：，则，，而，

两边平方，可得，，

所以.

故答案为：.

法二：因为，

所以.

故答案为：.

15.【答案】

【解析】设焦距为，则，，，

因为的离心率为5，所以，的斜率为，

又因为，且，

所以.

故答案为：.

16.【答案】

【解析】令，则，

当时，，此时在单调递减；

当时，，此时在单调递增；

∴当时，有最小值为，显然有解，则，则，此时，故是原不等式的整数解.

①当时，即时，，此时

，故此时最多有两个整数解；

②当时，即时，，此时

，故是原不等式的整数解，则，解得，故.

综上所述，实数的取值范围是.

四、解答题（本大题共6小题，其中第17题10分，其余均为12分，共70分）

17.【答案】见解析；

【解析】（1）设等差数列的公差为，因为等比数列的公比为，，，，所以，则，解得或（舍），所以数列的通项公式为：；

数列的通项公式为；

（2）由（1）可得，所以数列的前项和

.

18.【答案】见解析

【解析】（1）由正弦定理得：

∵，∴，∴，即

∵，∴

（2）由余弦定理得：

∵∴

把，，带入得：

∴，解得：.

19.【答案】见解析

【解析】（1）记实验能被完成为事件，丙丁乙甲顺利完成实验分别为事件、、、，

则，，，，并且每人能否完成实验相互独立.

则实验不能被完成为事件的概率为

，

∴实验能被完成的概率为.

（2）设按照丙丁乙甲的顺序参加实验的人数为随机变量，

所有可能的取值为1，2，3，4，

，

，

，

，

则的分布列为

∴的数学期望为.

20.【答案】（1）.（2）.

【解析】（1）因为，，

平面，，

所以平面，

又平面，

所以，又，

因此.

（2）以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

由题意得，，，，

故，，，

设是平面的一个法向量.

由可得

取，可得平面的一个法向量.

设是平面的一个法向量.

由可得

取，可得平面的一个法向量.

所以.

因此所求的角为60°.

21.【答案】略

【解析】（Ⅰ）由，令，得，则，所以①

又由题意，得，即②

由①②解得，，故椭圆的方程.

（Ⅱ）由题意可知直线斜率不为0，不妨设直线的方程为，，.

由消去得，

则，③.

因为，所以

由，

得

将，代入上式，

得将③代入上式，解得或（舍）.

所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），

故

设，则，则，

所以当时，取得最大值.

22.【答案】（1）

（2）实数的取值范围为

【解析】（1）函数的定义域为，.

∵是函数的一个极值点，∴，解得.

∴.

（2）由，得.

记，则，

∴当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增.

∴，∴.记，，

∴.

∵时，∴，∴.

∴当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增.

∴，∴.

故实数的取值范围为.