甘肃省庆阳市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题(含答案)

高二数学考试

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4. 本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第一册第一、二章约占30%，第三、四章约占70%.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. （    ）

A. 10 B. 5 C. 20 D. 4

2. 直线与平行，则（    ）

A. －2 B. 2 C. 6或－1 D. 3

3. 现有7位学员与3位摄影师站成一排拍照，要求3位摄影师互不相邻，则不同排法数为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 等比数列的前n项和为，则（    ）

A. －2 B. 2 C. －1 D. －4

5. 在的展开式中，系数为有理数的项是（    ）

A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项

6. 已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上有一动点P，，则的最小值为（    ）

A. 6 B. 8 C. 7 D. 9

7. 跑步是一项有氧运动，能提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质.小刘最近给自己制定了一个280千米的跑步健身计划，他第一天跑了1千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（    ）

A. 30天 B. 31天 C. 32天 D. 33天

8. 已知圆C：与直线l：相切，则圆C关于直线l对称的圆的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知椭圆C：的一个焦点为F，P为C上一动点，则（    ）

A. C的短轴长为  B. 的最大值为

C. C的长轴长为6  D. C的离心率为

10. 下列命题为真命题的是（    ）

A. 展开式的常数项为20 B. 被7除余1

C. 展开式的第二项为 D. 被63除余1

11. 用0，1，2，4，6，7组成无重复数字的四位数，则（    ）

A. 个位是0的四位数共有60个 B. 2与4相邻的四位数共有60个

C. 不含6的四位数共有100个 D. 比6701大的四位数共有71个

12. 若直线l与抛物线C：有且仅有一个公共点，且l与C的对称轴不平行，则称直线l与抛物线C相切，公共点P称为切点，且抛物线C在点P处的切线方程为.已知抛物线C：上有两点，.过点A，B分别作抛物线C的两条切线，，直线，交于点，过抛物线C上异于A，B的一点的切线分别与，交于点M，N，则（    ）

A. 直线AB的方程为 B. 点A，Q，B的横坐标成等差数列

C.  D.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. 若圆C：与圆D：外切，则______.

14. 已知等差数列单调递减，若，，则公差d的一个整数取值可以是______.

15. 双曲线C：上的点P到右焦点的距离为10，则P到左焦点的距离为______.

16. 某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜班，已知同一个人不能连续安排三天的夜班，则这五天排夜班方式的种数为______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知.

在以下A，B，C三问中任选两问作答，若三问都分别作答，则按前两问作答计分，作答时，请在答题卷上标明所选两问的题号.

A. 求；

B. 求；

C. 设，证明：.

18.（12分）

已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，且，.

（1）求，的坐标.

（2）若直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中点为，求直线l的斜率.

19.（12分）

已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A，B两点.

（1）求m的值；

（2）求.

20.（12分）

已知等差数列的首项为1，公差为.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

21.（12分）

现将9名志愿者（含甲、乙、丙）派往三个社区做宣传活动.

（1）若甲、乙、丙同去一个社区，且每个社区都需要3名志愿者，求不同安排方法的总数；

（2）若每个社区至少需要2名至多需要5名志愿者，求不同安排方法的总数.

22.（12分）

在①C的渐近线方程为  ②C的离心率为这两个条件中任选一个，填在题中的横线上，并解答.

已知双曲线C的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，且______.

（1）求C的标准方程；

（2）已知C的右焦点为F，直线PF与C交于另一点Q，不与直线PF重合且过F的动直线l与C交于M，N两点，直线PM和QN交于点A，证明：A在定直线上.

注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.

高二数学考试参考答案

1. B  .

2. B  由，得.经验证，符合题意.

3. B  先排7位学员，共有种排法，再从8个空位中选3个安排给3位摄影师，故不同排法数为.

4. A  因为为等比数列，且前n项和，所以.

5. C  在的展开式中，系数为有理数的项为.

6. D  记抛物线C的准线为l，作于T（图略），当P，Q，T三点共线时，有最小值，最小值为.

7. C  依题意可得，小刘从第一天开始每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1千米，公差为0.5千米.设他经过n天后完成健身计划，则，整理得，解得.

8. D  易知C的圆心为原点O，设O到直线l的距离为d，则，解得，设过O且与l垂直的直线为，则：，联立，得直线l与的交点为，O关于点的对称点为，因此圆C关于直线l对称的圆的方程为.

9. ACD 因为，，所以，，.，离心率为，长轴长为6，短轴长为.

10. BCD 展开式的常数项为，A错误.展开式的第二项为，C正确.，B正确.，D正确.

11. ABD 个位是0的四位数共有个，A正确.若不含0，则2与4相邻的四位数有个；若含0，则2与4相邻的四位数有个，故2与4相邻的四位数共有60个，B正确.不含6的四位数共有个，C错误.比6701大的四位数共有个，D正确.

12. ACD 由题意知，抛物线C在点A，B处的切线方程分别为，.

因为直线，交于点，所以，，

所以，在直线上，即直线AB的方程为，故A正确.

联立方程组，得.

因为，所以，所以，，故B错误.

因为抛物线C在点处的切线方程为，

联立方程组，可得，同理得.

因为，所以，，

，，所以，，

所以，即，故C正确.

因为，，具有等价性，所以同理可得，即，故D正确.

13. 16  依题意可得，解得.

14. －4（或－3，－2，－1，只需写出一个答案即可）  因为，，所以，故d的整数取值可以是－4，－3，－2，－1.

15. 18  设C的左、右焦点分别为，，则.因为，，所以，所以P在右支上，所以，故.

16. 864  若连续安排三天夜班，则连续的工作日有三种可能，从四人中选一人连排三天夜班，共有种.若连续安排四天夜班，则连续的工作日有两种可能，从四人中选一人连排四天夜班，共有种.若连续安排五天夜班，则只有4种可能.故满足题意的排夜班方式的种数为.

17. 选A  解：因为.

选B  解：令，得，则.

选C  证明：令，得；

令，得.

故.

评分细则：

【1】A，B，C每问均为5分，考生只需从这三问中任选两问作答，如果考生三问都分别作答，则按前两问作答计分.

【2】若选A，考生得到，但最后的结果错误，扣2分；若选B，考生得到，但最后的结果错误，扣2分；若选C，考生得到，给2分，得到，给2分.

18. 解：（1）因为，

所以，

所以，，

故，的坐标分别为，.

（2）设A，B两点的坐标分别为，，

则，

两式相减得.

因为弦AB的中点为，所以，

所以.

19. 解：（1）因为抛物线的焦点为，

所以，则.

（2）联立与，

得，

则，.

故.

20. 解：（1）设公差为d，由题知，

解得，

所以，.

（2）由（1）知，

则，①

，②

①－②可得，

即.

21. 解：（1）依题意可得不同安排方法的总数为.

（2）根据题意，这9名志愿者人数分配方案共有三类：第一类是3，3，3，第二类是2，2，5，第三类是2，3，4.

故不同安排方法的总数为.

22. 解：（1）选①

因为C的渐近线方程为，所以，

故可设C的方程为，

代入点P的坐标得，可得，

故C的标准方程为.

选②.

因为C的离心率为，所以，得，

故可设C的方程为，

代入点P的坐标得，可得，

故C的标准方程为.

（2）由（1）可知F的坐标为，由双曲线的对称性，可知点Q的坐标为.

设点M，N的坐标分别为，，直线l的方程为，

联立，得，

则，，

直线PM：，即，

直线QN：，即，

消去y，得，

可得，

则.

因为，所以A的横坐标为1.

故A在定直线上.