河南省郑州市中原区第一中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案)

2022-2023学年河南省郑州一中高一（上）期末数学试卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求）

1．若集合，、，则（    ）

A． B． C． D．

2．（    ）

A． B． C． D．

3．设函数，若是奇函数，则的值是（    ）

A．2 B． C．4 D．

4．函数的图象是（    ）

A．B． C． D．

5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

6．下列命题中正确的个数是（    ）

①命题“，”的否定是“，”；

②函数的零点所在区间是；

③若，则；

④命题，命题，命题p是命题q的充要条件．

A．1个   B．2个   C．3个   D．4个

7．“不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海．”，每天进步一点点，前进不止一小点．今日距离高考还有936天，我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是；而把看作是每天“退步”率都是1%．高考时是．若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过（    ）天（参考数据：，）

A．200天 B．210天 C．220天 D．230天

8．已知函数（，）的最小正周期为2，且函数图像过点，若在区间内有4个零点，则a的取值范围为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列命题中正确的是（    ）

A．存在实数，使 

B．函数是偶函数 

C．若是第一象限角，则是第一象限或第三象限角 

D．若，是第一象限角，且，则

10．二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

11．已知a，b为正数，，则下列说法正确的是（    ）

A．  B．的最小值为1 

C．的最小值为8 D．的最小值为

12．设函数的定义域为R，且满足，，当时，．则下列说法正确的是（    ）

A． 

B．当时，的取值范围为 

C．为奇函数 

D．方程仅有3个不同实数解

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．点是第 　　象限角终边上的点．

14．函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则　　．

15．将函数的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在上有且仅有两个实数根，则k的取值范围为 　　．

16．已知，，若存在实数，使得成立，则的取值范围为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）设全集，集合，集合，其中．

（1）当时，求；

（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

18．（12分）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，角的终边逆时针旋转得到角的终边．

（1）求的值；

（2）求的值．

19．（12分）已知函数．

（1）设函数是定义在R上的奇函数，当时，，求函数的解析式；

（2）已知集合．

①求集合A；

②当时，函数的最小值为，求实数a的值．

20．（12分）已知（），且的最小正周期为．

（1）求关于x的不等式的解集；

（2）求在上的单调区间．

21．（12分）某城市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足（k为常数，且），日销售量（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：

已知第10天的日销售收入为505元．

（1）给出以下四个函数模型：

①；②；③；④．

请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；

（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．

22．（12分）已知函数，（），集合．

（1）若集合A中有且仅有3个整数，求实数a的取值范围；

（2）集合，若存在实数，使得，求实数b的取值范围．

2022-2023学年河南省郑州一中高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求）

1．【解答】解：∵，，∴．故选：A．

2．【解答】解：

，

故选：D．

3．【解答】解：函数，若是奇函数，

则，

可得，故选：D．

4．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为，

有，则函数为偶函数，排除AD，

在区间上，，，则，排除C，故选：B．

5．【解答】解：，

∵，在R上单调递减，

∴，∵，，

∴．故选：C．

6．【解答】解：①，特称命题的否定为全称命题，命题“，”的否定是“，”正确；

②，函数在上单调递减，又，，

则，由函数零点存在性定理可知，函数在上存在零点，正确；

③，，则，错误；

④，由，可得，即，解得或，

所以命题p是命题q的充分不必要条件，错误．故选：B．

7．【解答】解：设经过x天后，“进步”的值是“退步”的值的100倍，

则，即天．故选：D．

8．【解答】解：由最小正周期，可得．

因为函数图象过点，

所以，所以，，

因为，所以时，，

所以．

当时，，

因为在内有4个零点，

所以，所以，

所以a的取值范围为．故选：A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【解答】解：对于A，由，得，即，故错误；

对于B，函数是偶函数，故正确；

对于C，若是第一象限的角，则，，则，可得是第一象限或第三象限角，故正确；

对于D，若，，满足条件，是第一象限角，且，但，故错误．

故选：BC．

10．【解答】解：由图象知，抛物线开口向下，所以，令，则，

二次函数的对称轴为，所以，故A正确；

因为对称轴为，所以与对应的函数值相等，

由图可得时，，则时，则，故B错误；

因为对称轴为，所以与对应的函数值相等，

由图可得时，，则时，，故C正确；

因为，，所以，则，故D正确；故选：ACD．

11．【解答】解：因为，解得，

且，解得，当且仅当时取等号，

A：，

当且仅当时取等号，所以，故A错误，

B：，当且仅当时取等号，故B正确，

C：，当且仅当时取等号，故C正确，

D：由已知可得，则，

当且仅当，时取等号，故D正确，故选：BCD．

12．【解答】解：因为，所以，

因为，故，所以，

即，所以，所以，

所以的周期为8，因为，所以，

因为，，

所以，

因为时，，所以，故，A错误；

当，，所以，

当，，，

所以，

综上：当时，的取值范围为，B正确；

因为，所以关于对称，

故关于原点中心对称，所以为奇函数，C正确；

画出与的图象，如下：

显然两函数图象共有4个交点，其中，所以方程仅有4个不同实数解，D错误．

故选：BC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【解答】解：∵为第二象限的角，

∴，，

是第四象限角终边上的点，故答案为：四．

14．【解答】解：对于函数函数，当时，，所以，

设，把点A的坐标代入该幂函数的解析式中，，故答案为：．

15．【解答】解：根据题意可得，

作出函数在上的图象，如下：

，，，，

因为方程在上有且仅有两个实数根，

所以或，

所以的取值范围为．

16．【解答】解：由于，故不等式两边同时除以b，得，令，（），

即不等式在上有解，

去掉绝对值即得，即，

即在上有解，

设，，，即，且即可．

因为，所以，，由，

当且仅当，即时，等号成立，

故，即，故，

由在上，，即，故，

综上，t的取值范围为，即的取值范围为．故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解答】解：（1）由题可得，∴，

又当时，，∴；

（2）∵是的充分不必要条件，∴，

∵，

∴，

∴，解得，∴a的取值范围为．

18．【解答】解：（1）由的终边过点，可得，，，

将角的终边逆时针旋转得到角的终边，

则；

（2）因为，

，

所以．

19．【解答】解：（1）因为函数，当时，，

时，，；

又因为为R上的奇函数，所以，，

综上，函数的解析式为；

（2）①不等式可化为，

即，解得，即，所以集合；

②因为函数，

，

设，则，

所以函数化为，

当，即时，函数在上是增函数，

所以的最小值为，解得（不合题意，舍去）；

当，即时，函数在上是减函数，

所以的最小值为，解得；

当，即时，函数在上有最小值，

所以的最小值为，

解得或（不合题意，舍去）；

综上，实数a的值为或5．

20．【解答】解：（1）

，

由的最小正周期为，可得，解得，

因为，所以，

所以，，解得，，

所以不等式的解集为，；

（2）由，，解得，，

由，1，可得在的增区间为，；

由,，解得，，

由，可得在的减区间为．

21．【解答】解：（1）由表中数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减，函数不单调，

而①③④均为单调函数，故选②，

则，解得，，，

故函数解析式为；

（2）由题意，，

，即，

则，

当时，元；

当时，，在上为减函数，则元．

综上所述，该工艺品的日销售收入的最小值为441元．

22．【解答】解：（1）由，

由于对称轴为，所以，集合A中有且仅有3个整数，所以集合A的3个整数只可能是0，1，2，

若即时，集合与题意矛盾，所以；

若即时，集合，

则，解得，

若即时，集合，

则，解得，

综上所述实数a的取值范围是；

（2）若即时，集合

，

，

因为，所以即解得，

若即时，集合，

则

设集合，因为，即，如图所示，

则，即，

得，

所以可得，

所以，所以，

又因为，

所以即．

综上所述b的取值范围是．