2023版高考物理创新设计二轮复习讲义计算题抢分练(五)

计算题抢分练(五)

(时间：20分钟)

24.(12分)如图1所示，两块很大的平行导体板MN、PQ产生竖直向上的匀强电场，两平行导体板与一半径为r的单匝线圈连接，在线圈内有一方向垂直线圈平面向里，磁感应强度变化率为的匀强磁场B1，在两导体板之间还存在有理想边界的匀强磁场，匀强磁场分为Ⅰ、Ⅱ两个区域，其边界为MN、ST、PQ，磁感应强度大小均为B2，方向如图所示，Ⅰ区域高度为d1，Ⅱ区域的高度为d2。一个质量为m、电量为q的带正电的小球从MN板上方的O点由静止开始下落，穿过MN板的小孔进入复合场后，恰能做匀速圆周运动，Ⅱ区域的高度d2足够大，带电小球在运动中不会与PQ板相碰，重力加速度为g。

图1

(1)求线圈内匀强磁场的磁感应强度变化率；

(2)若带电小球运动后恰能回到O点，求带电小球释放时距MN的高度h。

答案　(1)　(2)

解析　(1)带电小球进入复合场后恰能做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，有

qE＝mg，qE＝q

U＝πr2

联立解得＝。

(2)只有小球从进入磁场的位置离开磁场，做竖直上抛运动，才能恰好回到O点，运动轨迹如图，由于两个磁场区域的磁感应强度大小都相等，所以半径都为R，由图可知△O1O2O3是等边三角形。

根据动能定理有mgh＝mv2，根据洛伦兹力提供向心力有qvB2＝m

根据几何关系有R＝d1

联立解得h＝。

25.(20分)“鲁布·戈德堡机械”是用迂回曲折的连锁机械反应完成一些简单动作的游戏。图2为某兴趣小组设计的该类游戏装置：是半径为2L的光滑四分之一圆弧轨道，其末端B水平；在轨道末端等高处有一质量为m的“”形小盒C(可视为质点)，小盒C与质量为3m、大小可忽略的物块D通过光滑定滑轮用轻绳相连，左侧滑轮与小盒C之间的绳长为2L；物块D压在质量为m的木板E左端，木板E上表面光滑、下表面与水平桌面间动摩擦因数μ＝0.5(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，木板E右端到桌子右边缘固定挡板(厚度不计)的距离为L；质量为m且粗细均匀的细杆F通过桌子右边缘的光滑定滑轮用轻绳与木板E相连，木板E与定滑轮间轻绳水平，细杆F下端到地面的距离也为L；质量为的圆环(可视为质点)套在细杆F上端，环与杆之间滑动摩擦力和最大静摩擦力相等，大小为mg。开始时所有装置均静止，现将一质量为m的小球(可视为质点)从圆弧轨道顶端A处由静止释放，小球进入小盒C时刚好能被卡住(作用时间很短可不计)，然后带动后面的装置运动，木板E与挡板相撞、细杆F与地面相撞均以原速率反弹，最终圆环刚好到达细杆的底部。不计空气阻力，重力加速度为g，求：

图2

(1)小球与小盒C相撞后瞬间，与小盒C相连的绳子上的拉力大小；

(2)细杆F的长度。

答案　(1)3mg　(2)L

解析　(1)设小球滑出圆弧轨道时的速度为v0，刚被卡住瞬间速度为v，与小盒C相连的绳子上的拉力大小为T。

对小球从A到B，由动能定理得

mg·2L＝mv

小球撞击C瞬间，二者组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得mv0＝(m＋m)v

对小球和C组成的系统，由圆周运动公式可知，与小盒C相连的绳子上的拉力大小T－2mg＝2m，解得T＝3mg。

(2)由(1)知，当小球刚被小盒C卡住时，物块D对木板E压力为零，此时桌面对木板E的最大静摩擦力Ff＝μmg

由Ff<g知，木板E将向右运动；木板E向右运动与挡板相撞前，将木板E、圆环和细杆F视为一个整体，设加速度大小为a；由牛顿第二定律

g－μmg＝a

解得a＝g

对圆环由牛顿第二定律mg－Ff′＝ma

可知圆环所受摩擦力Ff′＝mg<F滑＝mg

所以木板E向右运动与挡板相撞前，圆环与细杆F之间未发生相对滑动。假设第一次相撞的速度大小为v1，则由匀变速直线运动推导公式v＝2aL

由分析可知，第一次相撞后细杆F与圆环发生相对滑动，假设相撞后，圆环向下做匀减速直线运动的加速度大小为a1，木板E向左、细杆F向上做匀减速直线运动的加速度大小为a2，则对圆环由牛顿第二定律mg－mg＝ma1

对木板E向左、细杆F整体由牛顿第二定律mg＋mg＋μmg＝(m＋m)a2

解得a1＝g，a2＝g

因为a1、a2大小相等，则圆环与木板E、细杆F同时减速为零，且圆环与细杆F的位移大小相等，方向相反。设第一次相撞后，木板E向左的最大位移为L1，则有匀变速直线运动推导公式v＝2a1L1

解得L1＝L

同理可得：第二次相撞后，木板E向左的最大位移为L2＝L1＝2L

第n次碰撞后，木板E向左的最大位移为Ln＝nL

则第一次相撞后，圆环与细杆F的最大相对位移Δx1＝2L1

同理可得：第二次相撞后，圆环与细杆F的最大相对位移Δx2＝2L2

第n次相撞后，圆环与细杆F的最大相对位移Δxn＝2Ln

设细杆F的长度为x，

则x＝Δx1＋Δx2＋Δx3＋…＝2＝2×L＝L。