专题07 数列求和-错位相减、裂项相消-【技巧解密】新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

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专题07 数列求和-错位相减、裂项相消
◆错位相减法
错位相减法是求解由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列(即)的前项和的方法.这种方法运算量较大,要重视解题过程的训练.在讲等比数列的时候, 我们推导过等比数列的求和公式,其过程正是利用错位相减的原理, 等比数列的通项其实可以看成等差数列通项与等比数列通项的积.
公式秒杀:
(错位相减都可化简为这种形式,对于求解参数与,可以采用将前1项和与前2项和代入式中,建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据.)

【经典例题1】设数列的前n项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)； (2).
【解析】
(1)因为．
所以，解得．
当时，，
所以，所以，即．
因为也满足上式，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以．
(2)由（1）知，所以，
所以…①
…②
①-②得
，所以．

【经典例题2】已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)， (2)
【解析】
(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意得：，解得：，
所以，
由得：，所以，
所以
(2)，
则①，
②，
两式相减得：
，
所以

【经典例题3】已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)设等比数列的公比为，当时，，所以，，无解．
当时，，所以解得，或，（舍）．
所以．
(2)．所以①，则②，
①－②得，．
所以．

【练习1】已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
.
(2)由（1）得：；
，，
，
.

【练习2】已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)令得，∴，当时，，则，
整理得，∴，∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴；
(2)由（1）得，则，，
两式相减得，化简得．

【练习3】已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)当时，，解得．
当时，，
整理得，
所以是以2为首项，4为公比的等比数列，
故．
(2)由（1）可知，，
则，
，
则
．
故．

【练习4】已知数列满足，（）.
(1)求证数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】
(1)由已知可得，即，即，是等差数列.
(2)由（1）知，，，


相减得，



◆裂项相消法
把数列的通项拆成相邻两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.在消项时要注意前面保留第几项,最后也要保留相对应的倒数几项.例如消项时保留第一项和第3项,相应的也要保留最后一项和倒数第三项.
常见的裂项形式:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ;
(8)
(9)
(10) .
(11)
(12)
【经典例题1】已知正项数列中，，，则数列的前项和为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为且，所以，数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，，
因为数列为正项数列，则，
则，所以，数列的前项和为.
故选：C.

【经典例题2】数列的通项公式为，该数列的前8项和为__________．
【答案】
【解析】
因为，
所以．
故答案为：．

【经典例题3】已知数列的前项和为，若，则数列的前项和为________．
【答案】
【解析】
当时，，
当时，，
且当时，，故数列的通项公式为，
，
则数列的前项和为：
.
故答案为：

【练习1】数列的前2022项和为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：
记的前项和为，
则
；
故选：B

【练习2】数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，总有，，成等差数列，又记，数列的前项和______．
【答案】
【解析】
由对于任意的，总有，，成等差数列可得：
，
当时可得，
所以，
所以，
所以，
由数列的各项均为正数，
所以，
又时，所以，
所以，
，
.
故答案为：.

【练习3】_______.
【答案】
【解析】
，
.
故答案为：.

【练习4】设数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)解：数列满足，
当时，得，
时，，
两式相减得：，
∴，
当时，，上式也成立.
∴；
(2)因为，
，
∴，
.

【练习5】已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求数列的前项和
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)当时，，解得：；
当时，，即，
数列是以为首项，为公比的等比数列，.
(2)由（1）得：，，
.

【练习6】已知数列中，．
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析； (2)
【解析】
(1)解：，
即为·······①，
又，········②，
①-②得，即，
又当时，，
故；
从而，
所以是首项为1，公比为2的等比数列；
(2)由（1）得，
所以.

【练习7】记是公差不为零的等差数列的前项和，若，是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前20项和.
【答案】(1)， (2)
【解析】
(1)由题意知，
设等差数列的公差为，则，
因为，解得
又，可得，
所以数列是以1为首项和公差为1的等差数列，
所以，
(2)由（1）可知，
设数列的前和为，则

，
所以
所以数列的前20和为

【练习8】已知等差数列满足，，（）．
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列的前n项和为，求．
【答案】(1)， (2)
【解析】
(1)由题意，可设等差数列的公差为 ，
则，解得，d＝2，
∴；
∴；
(2)∵，
．

【练习9】已知正项数列的前项和为，且、、成等比数列，其中．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)解：对任意的，，由题意可得.
当时，则，解得，
当时，由可得，
上述两个等式作差得，即，
因为，所以，，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，则.
(2)解：，
则，
因此，.

【练习10】已知是数列的前项和，，___________.
①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)条件选择见解析， (2)
【解析】
(1)解：选条件①：，，得，
所以，，
即数列、均为公差为的等差数列，
于是，
又，，，所以；
选条件②：因为数列为等差数列，且的前项和为，
得，所以，
所以的公差为，
得到，则，
当，.
又满足，所以，对任意的，.
(2)解：因为，
所以
.



【过关检测】
一、单选题
1． （       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由，
得，
两式相减得
.
所以.
故选：B.
2．数列的前n项和等于（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
解：设的前n项和为，
则，       ①
所以，       ②
①－②，得，
所以．
故选:B．
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为（       ）
A．-3+(n+1)×2n B．3+(n+1)×2n
C．1+(n+1)×2n D．1+(n-1)×2n
【答案】D
【解析】
设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，
所以由题设得，
两式相除得1+q3=9，解得q=2，
进而可得a1=1，
所以an=a1qn-1=2n-1，
所以nan=n×2n-1.
设数列{nan}的前n项和为Tn，
则Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1，
2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，
两式作差得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n=-1+(1-n)×2n，
故Tn=1+(n-1)×2n.
故选：D.
4．已知等差数列，，，则数列的前8项和为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由，可得公差 ，所以，
因此       ，所以前8项和为
故选：B
5．已知数列的前项和为，．记，数列的前项和为，则的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
因为数列中，，所以，所以，所以．因为，所以，
所以．因为数列是递增数列，当时，，当时，，，所以，所以的取值范围为．
故选：A．
6．已知数列满足，设，则数列的前2022项和为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为①，
当时，；
当时，②，
①-②化简得，
当时：，也满足，
所以，，
所以的前2022项和.
故选:D.
7．已知数列满足，且，，则（       ）
A．2021 B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵，即，则
∴数列是以首项，公差的等差数列
则，即
∴
则
故选：B．
8．等差数列中，，设，则数列的前61项和为（       ）
A． B．7 C． D．8
【答案】C
【解析】
解：因为等差数列满足，所以，所以，所以，令数列的前项和为，
所以数列的前n项和，所以．
故选：C．
9．设数列的前n项和为，则（       ）
A．25