初中数学北师大版八年级上册4 应用二元一次方程组——增收节支导学案

专题5.15  应用二元一次方程组-增收节支（知识讲解）

【学习目标】

1. 能运用列表分析法分析数量关系；
2. 能熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题；
3. 将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；会用图表分析数量关系。

【要点梳理】

要点一、常见的一些等量关系（二）

1．方案问题

在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．

2. 行程问题

速度×时间=路程.

   顺水速度=静水速度+水流速度.

   逆水速度=静水速度-水流速度.

3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.

4.销售、利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， .

特别说明：

方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案．

要点二、实际问题与二元一次方程组

1.列方程组解应用题的基本思路

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤

设：用两个字母表示问题中的两个未知数；

列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；

解：解方程组，求出未知数的值；

验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；

答：写出答案．

特别说明：

（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

【典型例题】

类型一、方案问题

1、已知2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨.用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆,一次运完，且每辆车都满载货物.根据以上信息解答下列问题：

（1）1辆A型车和1辆B型车载满货物一次分别可运货物多少吨？

（2）请帮助物流公司设计租车方案

（3）若A型车每辆车租金每次100元，B型车每辆车租金每次120元.请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费.

【答案】(1)1辆A型车载满货物每次可运货物3吨，1辆B型车载满货物一次可运货物4吨;(2) 有三种租车方案：方案一,租用A型车9辆，B型车1辆， 方案二,租用A型车5辆，B型车4辆，方案三,租用A型车1辆，B型车7辆.（3）选择方案三最省钱，最少的租车费为940元.

解：（1）设A、B型车都装满货物一次每辆车装吨、吨

则

解得：

（2）结合题意和上一问得：3a+4b=31  

∴a=

因为a，b都是正整数，

∴或或

有三种租车方案：

方案一：A型车9辆，B型车1辆；

方案二：A型车5辆，B型车4辆；

方案三：A型车1辆，B型车7辆；

（3）A型车每辆车租金每次100元，B型车每辆车租金每次120元，

方案一：9100+1120=1020；；

方案二：5100+4120=980；

方案三：1100+7120=940；

∵1020＞980＞940

∴方案三最省钱，费用为940元．

举一反三：

【变式1】我校组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．

（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？

（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？

【答案】（1）240人，原计划租用45座客车5辆；（2）租4辆60座客车划算．

【分析】（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少辆，由总租金=每辆车的租金×租车辆数分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论．

解：（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，
根据题意得： ，
解得： ,

答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆．
（2）∵要使每位学生都有座位，
∴租45座客车需要5+1=6辆，租60座客车需要5-1=4辆．
220×6=1320（元），300×4=1200（元），
∵1320＞1200，
∴若租用同一种客车，租4辆60座客车划算．

【点拨】此题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）求出租两种客车各需多少费用．

【变式2】某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．

（1）求购买一个足球、一个篮球各需多少元？

（2）根据学校实际情况，需从体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？

【答案】（1）购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80；（2）30个．

【分析】（1）设一个足球、一个篮球分别为x、y元，就有3x+2y=310和2x+5y=500，由这两个方程构成方程组求出其解即可；
（2）设最多买篮球m个，则买足球（96-m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过5720元建立不等式求出其解即可．

解：（1）解：设一个足球、一个篮球分别为x、y元，根据题意得

，解得，

∴一个足球50元、一个篮球80元；

（2）设买篮球m个，则买足球（96-m）个，根据题意得

80m+50(96-m)≤5720，解得x≤，

∵m为整数，∴m最大取30

∴最多可以买30个篮球

【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，应熟练掌握列方程解应用题以及列不等式解应用题的步骤.

类型二、行程问题

2、张强和李毅二人分别从相距20千米的A、B两地出发，相向而行，如果张强比李毅早出发30分钟，那么在李毅出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求张强、李毅每小时各走多少千米．

【答案】4千米，5千米

【分析】设张强每小时走x千米，李毅每小时走y千米，根据题意可得，张强走2.5小时的路程+李毅走2小时的路程=20千米，李毅和张强共同走1个小时，俩人走的路程为9千米，据此列方程组求解．

解：设张强每小时走x千米，李毅每小时走y千米，

由题意得，，

解得：．

答：张强每小时走4千米，李毅每小时走5千米．

考点： 二元一次方程组的应用

举一反三：

【变式1】甲、乙两人同时从，两地出发赶往目的地，，甲骑摩托车，乙骑自行车，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经小时两人相遇． 已知在相遇时甲比乙多行驶了千米，相遇后经过小时甲到达地．

（1）求甲、乙两人行驶的速度．

（2）在整个行程中，问甲、乙行驶多少小时，两车相距千米．

【答案】（1）甲：，乙：；（2）或

【分析】（1）设甲的速度为，乙的速度为，根据题意列二元一次方程组即可解答

（2）结合（1）的结论，先求出AB两地的距离，再根据相遇前甲、乙相距，和相遇后甲、乙相距这两种情况列方程即可解答

解：（1）设甲的速度为，乙的速度为，

由题意得

解得

所以甲的速度为，乙的速度为

（2）由（1）可得，AB两地的距离为：，设甲、乙行驶小时后两人相距

①相遇前甲、乙相距

由题意可得

解得：

②相遇后甲、乙相距

由题意可得

解得：

所以当甲乙行驶2小时或3小时两人相距

【点拨】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的实际应用，解题关键是读题意找准等量关系正确列出方程．

【变式2】小颖家到学校的距离为1200m，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用去16min，假设小颖在上坡路的平均速度为3km/h，下坡路的平均速度为5km/h，小颖家到学校的上坡路和下坡路各有多少米？

【答案】小颖家到学校的上坡路有200米，下坡路有1000米．

【分析】设小颖家到学校的上坡路有x千米，下坡路有y千米，根据总路程为1.2千米和上坡和下坡总时间为16分钟列出x和y的二元一次方程组，求出x和y的值即可．

解：设小颖家到学校的上坡路有x千米，下坡路有y千米．

则，解得，

0.2千米＝200米，1千米＝1000米，

答：小颖家到学校的上坡路有200米，下坡路有1000米．

【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解，此题难度不大．

类型三、工程问题

3、一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：

（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？

（2）已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？

（3）装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200元(即装修前后每天盈利不变)，你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由．(可用（1）（2）问的条件及结论)

【答案】（1）甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元；（2）单独请乙组所需费用最少；（3）商店请甲乙两组同时装修，才更有利，理由见解析．

【分析】（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据“若请甲乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）根据所需总费用=每天应付钱数×工作天数，分别求出单独请甲、乙两组完成所需费用，比较后即可得出结论；

（3）根据损失总钱数=每天盈利×装修时间+装修队所需费用，分别求出单独请甲、乙两组及请甲乙两组同时完成所损失的总钱数，比较后即可得出结论．

解：（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，

根据题意得：，

解得：．

答：甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元．

（2）单独请甲组所需费用为：300×12=3600(元)，

单独请乙组所需费用为：140×24=3360(元)．

∵3600＞3360，

∴单独请乙组所需费用最少．

（3）商店请甲乙两组同时装修，才更有利．理由如下：

单独请甲组完成，损失钱数为：200×12+3600=6000(元)，

单独请乙组完成，损失钱数为：200×24+3360=8160(元)，

请甲乙两组同时完成，损失钱数为：200×8+3520=5120(元)．

∵8160＞6000＞5120，

∴商店请甲乙两组同时装修，才更有利．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据所需总费用=每天应付钱数×工作天数，分别求出单独请甲、乙两组完成所需费用；（3）根据损失总钱数=每天盈利×装修时间+装修队所需费用，分别求出单独请甲、乙两组及请甲乙两组同时完成所损失的总钱数．

举一反三：

【变式1】某工程队承包了某标段全长1800米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2米，经过5天施工，两组共掘进了60米．

（1）求甲、乙两班组平均每天各掘进多少米？

（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进2米，乙组平均每天能比原来多掘进1米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？

【答案】（1）甲班组：7米，乙班组：5米；（2）比原来少用29天完成任务．

【分析】（1）设甲班组平均每天掘进x米，乙班组平均每天掘进y米，根据“甲组比乙组平均每天多掘进2米，经过5天施工，两组共掘进了60米”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）根据工作时间=工作总量÷工作效率，分别求出按原来施工进程及改进施工技术后完成剩余工程所需时间，做差后即可得出结论．

解：（1）设甲班组平均每天掘进x米，乙班组平均每天掘进y米，

根据题意得：，

解得：．

答：甲班组平均每天掘进7米，乙班组平均每天掘进5米．

（2）按原来的施工进程需要的时间为（1800﹣60）÷（7+5）=145（天），

改进施工技术后还需要的时间为（1800﹣60）÷（7+2+5+1）=116（天），

节省时间为145﹣116=29（天）．

答：改进施工技术后，能够比原来少用29天完成任务．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．

【变式2】在某外环公路改建工程中，某路段长6140米，现准备由甲、乙两个工程队拟在25天内(含25天)合作完成，已知两个工程队各有20名工人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，乙工程队每人每天工作量相同)，甲工程队1天、乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路700米．

（1）试问：甲、乙两个工程队每天分别修路多少米?

（2）甲、乙两个工程队施工8天后，由于工作需要需从甲队调离m人去其他工程工作，总部要求在规定时间内完成，请问：甲工程队最多可以调离多少人?

【答案】（1）甲、乙两工程队每天分别修路200米和100米；（2）8人

【分析】（1）设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米．，根据题意列出方程组求解即可；

（2）设甲工程队最多可以调走m人，根据路段长6140米，在25天内合作完成和甲、乙工程每天修路的米数，列出方程，求出m的值即可；

解：（1）设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米．

依题意，得：

解之得：

答：甲、乙两工程队每天分别修路200米和100米．

（2）设甲工程队最多可以调走m人．

依题意，得：

8×(200＋100)＋(25－8)×100＋(25－8)×(200÷20)×(20－m) =6140．

解之得：m=8．

答：甲工程队最多可以调走8人．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题目信息，理清题中的数量关系，找准等量关系列出方程组是解题的关键；

类型四、销售、利润问题

4、某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：

（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？

（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？

【答案】（1）商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱（2）该商场共获得利润6600元

解：（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，

由题意得：，

解得：，

答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱；

（2）300×(36−24)+200×(48−33)=3600+3000=6600(元)，

答：该商场共获得利润6600元．

举一反三：

【变式1】小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：

根据以上信息解答下列问题：

（1）求A，B两种商品的单价；

（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

【答案】（1）A种商品的单价为20元，B种商品的单价为15元；(2) 当a=8时所花钱数最少，即购买A商品8件，B商品4件．

【分析】（1）列二元一次方程组，用代入法或加减法解方程即可；

（2）将题目转化为一元一次不等式，利用一元一次不等式解即可．

解：（1）设种商品的单价为元，种商品的单价为元，根据题意可得：

，

解得：，

答：种商品的单价为20元，种商品的单价为15元；

（2）设第三次购买商品种件，则购买种商品件，根据题意可得：

，

得：，

当时所花钱数最少，即购买商品8件，商品4件．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法以及不等式的相关知识，解题的关键是掌握消元思想与解二元一次方程组的方法步骤．

【变式2】某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克.6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元/千克，乙种水果20元/千克.

（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？

（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？

【答案】（1）该店5月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果50千克．（2）需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．

【分析】（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据总价=单价×购进数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，根据总价=单价×购进数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种水果不超过乙种水果的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题

解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，

根据题意得：，

解得：，

答：该店5月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果50千克；

（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，

根据题意得：w=10a+20（120﹣a）=﹣10a+2400，

∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，

∴a≤3（120﹣a），

解得：a≤90，

∵k=﹣10＜0，

∴w随a值的增大而减小，

∴当a=90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400=1500，

∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程组，找出各数量间的关系列出函数解析式是解题的关键.