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高中物理高考 专题强化一 运动学图像 追及相遇问题
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这是一份高中物理高考 专题强化一 运动学图像 追及相遇问题，共20页。
2.学好本专题，可以提高同学们通过画运动情景示意图和v－t图像分析和解决运动学问题的能力。
3.用到的知识有：x－t图像和v－t图像的理解，匀变速直线运动的规律，临界条件的确定，求解极值等数学方法。
题型一 运动学图像的理解和应用
1.x－t图像与v－t图像的比较
2.三点说明
(1)x－t图像与v－t图像都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹。
(2)分析图像要充分利用图像与其所对应的物理量的函数关系。
(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。
【例1】 (2021·1月辽宁普高校招生适应性测试，1)甲、乙两物体沿直线同向运动，其位置x随时间t的变化如图1所示，甲、乙图线分别为圆弧、直线。下列说法正确的是( )
图1
A.甲做匀减速直线运动B.乙做匀加速直线运动
C.第4 s末，二者速度相等D.前4 s内，二者位移相等
答案 D
解析 x－t图像的斜率k＝eq \f(Δx,Δt)表示速度，可知甲物体做减速直线运动，但不是匀减速直线运动，选项A错误；乙物体做匀速直线运动，选项B错误；x－t图像中图线交点表示相遇，所以前4 s内二者位移相等，选项D正确；第4 s末二者相遇，但此时二者速度不相等，选项C错误。
【变式1】 (2020·广东潮州市第二次模拟)如图2所示为甲、乙两个质点运动的位移—时间图像，由此可知(图中虚线与曲线相切) ( )
图2
A. 甲做匀减速直线运动，乙做变减速直线运动
B.在0～t0时间内的某时刻，甲、乙两质点的速度大小相等
C.甲、乙两质点从x＝2x0位置同时出发，同时到达x＝0位置
D.在0～t0时间内，乙的速度大于甲的速度，t0时刻后，乙的速度小于甲的速度
答案 B
解析 根据x－t图像的斜率表示速度，知甲做匀速直线运动，乙做减速直线运动，故A错误；根据x－t图像的斜率表示速度，图中虚线与甲图线平行，知在0～t0时间内的某时刻，甲、乙两质点的速度大小相等，故B正确；甲、乙两质点从x＝2x0位置同时出发，乙先到达x＝0位置，故C错误；在0～t0时间内，乙的速度先大于甲的速度，再等于甲的速度，后小于甲的速度，t0时刻后，乙的速度小于甲的速度，故D错误。
【例2】 (多选)(2020·山东济南市5月高考模拟)雨雪天气时路面湿滑，汽车在紧急刹车时的刹车距离会明显增加。如图3所示为驾驶员驾驶同一辆汽车在两种路面紧急刹车时的v－t图像，驾驶员的反应时间为1 s。下列说法正确的是( )
图3
A. 从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度
B.从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度
C.从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的行驶距离比在干燥路面的行驶距离多15 m
D.从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的加速度是在干燥路面的加速度的0.75倍
答案 CD
解析 从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的位移为x1＝30×1 m＋eq \f(4×30,2) m＝90 m，平均速度为v1＝eq \f(90,5) m/s＝18 m/s，从t＝0到停下，汽车在干燥路面的位移为x2＝30×1 m＋eq \f(3×30,2) m＝75 m，平均速度为v2＝eq \f(75,4) m/s＝18.75 m/s，则从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的行驶距离比在干燥路面的行驶距离多15 m，故A错误，C正确；从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的平均速度v1′＝eq \f(30,2) m/s＝15 m/s，从t＝1 s到停下，汽车在干燥路面的平均速度v2′＝eq \f(30,2) m/s＝15 m/s，故B错误；从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的加速度大小a1＝eq \f(30,4) m/s2＝7.5 m/s2，从t＝1 s到停下，汽车在干燥路面的加速度大小a2＝eq \f(30,3) m/s2＝10 m/s2，则从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的加速度是在干燥路面的加速度的0.75倍，故D正确。
【变式2】 (2020·辽宁辽南协作校第二次模拟)某同学在研究物体运动规律时，让玩具小车在粗糙的水平面上做直线运动，玩具小车运动的v－t图像如图4所示，下列说法正确的是( )
图4
A.玩具小车在第2 s末运动的位移方向发生变化
B.玩具小车在第2 s内和第6 s内的加速度相同
C.玩具小车在6 s末返回出发点
D.玩具小车在1 s末离出发点最远，且最大位移为1 m
答案 B
解析 速度图像的面积表示位移，面积的正负表示位移方向，小车在4 s末回到出发点，4 s之前位移为正值，即4 s之前位移方向一直为正方向，A错误；速度图像的斜率表示加速度，根据图像可知，小车在第2 s内和第6 s内图像平行，斜率相同，则加速度相同，B正确；小车在4 s末位移为0，表示回到出发点；6 s末位移为正值，表示小车的位置在出发点正方向一侧，C错误；小车在2 s末和6 s末，位移最大，离出发点最远，为1 m；1 s末位移只有0.5 m，不是最大，D错误。
一、非常规图像
1.四类图像
(1)a－t图像
由v＝v0＋at可知图像与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图5甲所示。
(2)eq \f(x,t)－t图像
由x＝v0t＋eq \f(1,2)at2可得eq \f(x,t)＝v0＋eq \f(1,2)at，图像的斜率为eq \f(1,2)a，如图乙所示。
图5
(3)v2－x图像
由v2－veq \\al(2,0)＝2ax可知v2＝veq \\al(2,0)＋2ax，图像斜率为2a。
(4)x－v图像
x与v的关系式：2ax＝v2－veq \\al(2,0)，图像表达式x＝eq \f(1,2a)v2－eq \f(1,2a)veq \\al(2,0)。
2.解题技巧
(1)用函数思想分析图像
图像反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图像的意义。
(2)要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图像类题型的解题准确率和速度。
【例3】 (2020·福建三明市质量检测)如图6所示四幅图为物体做直线运动的图像，下列说法正确的是( )
图6
A.甲图中，物体在0～t0这段时间内的位移小于eq \f(v0t0,2)
B.乙图中，物体的加速度为2 m/s2
C.丙图中，阴影面积表示t1～t2时间内物体的加速度变化量
D.丁图中，t＝3 s时物体的速度为25 m/s
答案 D
解析 题图甲中，因v－t图像与t轴围成的面积等于位移，可知物体在0～t0这段时间内的位移大于eq \f(v0t0,2)，选项A错误；题图乙中，根据v2＝2ax可知2a＝eq \f(15,15) m/s2＝1 m/s2，则物体的加速度为0.5 m/s2，选项B错误；题图丙中，根据Δv＝aΔt可知，阴影面积表示t1～t2时间内物体的速度变化量，选项C错误；题图丁中，由x＝v0t＋eq \f(1,2)at2可得eq \f(x,t)＝v0＋eq \f(1,2)at，由图像可知eq \f(1,2)a＝eq \f(10,2) m/s2＝5 m/s2，v0＝－5 m/s，则a＝10 m/s2；则t＝3 s时物体的速度为v3＝v0＋at3＝25 m/s，选项D正确。
【变式3】 (2020·黑龙江大庆实验中学开学考试)甲、乙两质点在同一时刻、从同一地点沿同一方向做直线运动。质点甲做初速度为零、加速度大小为a1的匀加速直线运动，质点乙做初速度为v0、加速度大小为a2的匀减速直线运动至速度减为零保持静止，甲、乙两质点在运动过程中的x－v图像如图7所示，虚线与对应的坐标轴垂直。下列说法正确的是( )
图7
A.图线a表示质点乙的运动
B.质点甲的加速度大小为3 m/s2
C.质点乙的加速度大小为1 m/s2
D.开始运动后，两质点在x＝6 m处相遇
答案 C
解析 根据图像可知，a图像的速度随位移增大而增大，b图像的速度随位移增大而减小，所以图像a表示质点甲的运动，故A错误；当x＝0时，乙的速度为6 m/s，即质点乙的初速度v0＝6 m/s，设质点乙、甲先后通过x＝6 m处时的速度均为v，对质点甲
v2＝2a1x①
对质点乙：v2－veq \\al(2,0)＝－2a2x②
联立①②解得a1＋a2＝3 m/s2③
当质点甲的速度v1＝8 m/s、质点乙的速度v2＝2 m/s时，两质点通过相同的位移均为x′，
对质点甲veq \\al(2,1)＝2a1x′④
对质点乙veq \\al(2,2)－veq \\al(2,0)＝－2a2x′⑤
联立④⑤解得a1＝2a2⑥
联立③⑥解得a1＝2 m/s2，a2＝1 m/s2
故B错误，C正确；图线a、b的交点表示两质点通过同一位置，但不是同时，故D错误。
二、图像信息提取问题
有些图像问题的分析和解决，要充分挖掘图像的隐含信息(比如图像的斜率、截距、包围面积及特殊点坐标等)才能顺利解题。
【例4】 (多选)如图8所示的x－t图像反映了甲、乙两车在同一平直公路上行驶的位移随时间变化的关系，已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则0～10 s 过程中( )
图8
A.甲车的速度大小为4.0 m/s
B.乙车的平均速度大小为4.0 m/s
C.甲车的位移大小为40 m
D.乙车的位移大小为80 m
答案 ACD
解析 甲车做匀速直线运动，速度v甲＝eq \f(x1,t1)＝eq \f(20,5) m/s＝4 m/s，在0～10 s内位移为x甲＝v甲t＝4×10 m＝40 m，故A、C正确；乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则t＝10 s时，速度为零，根据逆向思维法，乙车匀减速到速度为0的逆过程为初速度为0的匀加速直线运动，根据位移与时间关系x＝eq \f(1,2)at2，结合图像有x0＝eq \f(1,2)a·(10 s)2，20 m＝eq \f(1,2)a·(5 s)2，解得a＝1.6 m/s2，x0＝80 m，则平均速度大小为eq \(v,\s\up6(－))乙＝eq \f(x0,t)＝eq \f(80,10) m/s＝8 m/s，故B错误，D正确。
【变式4】 (2020·海南省新高考一模)一物块沿直线运动的速度—时间(v－t)图像如图9所示，下列说法正确的是( )
图9
A.5 s内的位移大小为17.5 m
B.3 s末与5 s末的速度相同
C.第4 s内与第5 s内的加速度相同
D.前4 s的平均速度大小为4 m/s
答案 C
解析 因为v－t图像的面积等于位移，则5 s内的位移大小为x＝eq \f(1,2)(2＋3)×5 m＝12.5 m，选项A错误；3 s末与5 s末的速度大小相等，方向相反，选项B错误；因为v－t图像的斜率等于加速度，则第4 s内与第5 s内的加速度相同，选项C正确；前4 s内的位移大小为x′＝eq \f(1,2)(2＋4)×5 m＝15 m，则平均速度大小为eq \(v,\s\up6(－))4＝eq \f(x′,t4)＝eq \f(15,4) m/s＝3.75 m/s，选项D错误。
题型二 追及相遇问题
1.分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。
2.临界法
寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。
3.函数法
设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇。
4.图像法
(1)若用位移—时间图像求解，分别作出两个物体的位移—时间图像，如果两个物体的位移—时间图像相交，则说明两物体相遇。
(2)若用速度—时间图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。
5.特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
【例5】 (2020·安徽庐巢七校联盟第三次联考)一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则：
(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
(2)若汽车刹车时的加速度只为4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
答案 (1)5 m/s2 (2)1 m/s2
解析 (1)设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s，初始距离d＝14 m
自行车的位移为x自＝v自(t＋t0)
汽车的位移为x汽＝v汽(t＋t0)－eq \f(1,2)at2
假设汽车能追上自行车，此时有x汽＝x自＋d
代入数据整理得eq \f(1,2)at2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得
Δ＝102－20a≤0
解得a≥5 m/s2
所以，为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为5 m/s2。
(2)设自行车加速度为a′，同理可得
v汽(t＋t0)－eq \f(1,2)a汽t2＝v自(t＋t0)＋eq \f(1,2)a′t2＋d
整理得(eq \f(1,2)a′＋2)t2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得
Δ＝102－20a′－80≤0，解得a′≥1 m/s2
所以，自行车的加速度至少为1 m/s2才能保证两车不相撞。
【变式5】 (多选)(2020·百师联盟山东模拟)甲、乙两物体沿同一直线运动速度随时间的变化关系v－t图像如图10所示，已知t＝0时，甲在乙的后方且两者相距15 m，下列说法正确的是( )
图10
A.t＝1.5 s时，甲、乙相距最远
B.t＝3 s时，甲、乙相距最远
C.t＝7.5 s时，甲、乙相遇
D.甲、乙相遇之前的最远距离为12 m
答案 BC
解析 由速度相等时距离最远可知，t＝3 s时，甲、乙相距最远，故A错误，B正确；设t时两物体相遇，由运动学公式和图像可知t内甲的位移x甲＝－4t，乙的位移x乙＝4t－eq \f(1,2)at2，由图像可知，乙的加速度大小a＝eq \f(8,3) m/s2，由甲、乙位置关系可知x甲－15＝x乙，解得t＝7.5 s，故C正确；t＝3 s时两物体距离最远，由图像可知，3 s内乙的位移为0，故最远距离为3 s内甲的位移与初始距离之和，即最远距离为Δx＝12 m＋15 m＝27 m，故D错误。
【变式6】 (2020·三湘名校教育联盟第二次联考)在平直公路上有甲、乙两辆汽车从同一位置沿着同一方向运动，它们的速度—时间图像如图11所示，则( )
图11
A.甲、乙两车同时从静止开始出发
B.在t＝2 s时乙车追上甲车
C.在t＝4 s时乙车追上甲车
D.甲、乙两车在公路上可能相遇两次
答案 C
解析 由图像可知，乙车比甲车迟出发1 s，故A错误；根据速度—时间图线与时间轴围成的面积表示位移知，t＝2 s时，甲车的位移比乙车的位移大，乙车还没有追上甲车，故B错误；在0～4 s内，甲车的位移 x甲＝eq \f(1,2)×8×4 m＝16 m，乙车的位移 x乙＝eq \f(1,2)×(1＋3)×8 m＝16 m，所以x甲＝x乙，两者又是从同一位置沿着同一方向运动的，则在t＝4 s时乙车追上甲车，故C正确；在t＝4 s时乙车追上甲车，由于t＝4 s以后，甲车的速度比乙车的大，两车不可能再相遇，所以两车只相遇一次，故D错误。
课时限时练
(限时：40分钟)
对点练1 运动学图像的理解和应用
1.(2020·浙江绍兴市适应性考试)如图1所示是一辆摩托车沿直线运动的v－t图像，则摩托车( )
图1
A.速度最大时加速度也最大
B.前10 s内的加速度方向保持不变
C.前6 s内的位移大于后6 s内的位移
D.第4 s内运动的方向与第10 s内运动的方向相同
答案 D
解析 v－t图像的斜率表示加速度，由题图可知，速度最大处的加速度为0，故A错误；斜率的正负表示加速度方向，0～6 s内，摩托车做加速运动，6～10 s内，摩托车做减速运动，在t＝6 s时，其加速度方向发生变化，故B错误；v－t 图像与时间轴围城的面积表示位移，题中可通过数格子粗略估算位移大小，由图可知前6 s的位移小于后6 s的位移，故C错误；摩托车的速度始终为正值，其运动方向一直没有发生变化，故D正确。
2.如图2是某轮船在海面上运动的速度—时间图像，则下列说法正确的是( )
图2
A.轮船在0～66 s内的平均速度大小等于7.5 m/s
B.轮船在66 s末运动方向改变
C.轮船在66～96 s内运动了225 m
D.轮船在96～116 s内做匀减速直线运动
答案 C
解析 根据图像可知轮船在0～66 s内做加速度减小的加速运动，所以平均速度大小大于eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(0＋15,2) m/s＝7.5 m/s，A错误；轮船在66 s末速度方向没有发生改变，B错误；v－t 图线与时间轴围成的面积等于位移，则轮船在66～96 s 内运动了x＝eq \f(1,2)×(96－66)×15 m＝225 m，C正确；轮船在96～116 s内做反向的匀加速直线运动，D错误。
3.(2020·山东临沂市上学期期末)一质点以某一初速度开始做直线运动，从质点开始运动计时，经时间t质点的位移为x，其eq \f(x,t)－t图像如图3所示。下列说法正确的是( )
图3
A.质点做匀加速直线运动
B.任意相邻的0.2 s内，质点位移差的大小均为0.04 m
C.任意1 s内，质点速度增量的大小均为0.5 m/s
D.质点在1 s末与3 s末的速度方向相同
答案 B
解析 由题意可知物体做匀变速直线运动，由位移公式可得x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，变形可得eq \f(x,t)＝eq \f(1,2)at＋v0，其表达式与eq \f(x,t)－t图像相对应可求得v0＝2 m/s，eq \f(1,2)a＝eq \f(0－2,4－0) m/s2，可求得a＝－1 m/s2，说明质点做匀减速直线运动，故A错误；任意相邻的0.2 s内，质点位移差的大小Δx＝at2＝1×(0.2)2 m＝0.04 m，故B正确；任意1 s内，质点速度增量的大小Δv＝at＝1×1 m/s＝1 m/s，故C错误；质点做匀减速运动，初速度v0＝2 m/s，设经过时间t1速度减为零，则有t1＝eq \f(v0,a)＝eq \f(2,1) s＝2 s，物体运动2 s速度减为零，然后开始反向运动，则物体在1 s末与3 s末的速度方向相反，故D错误。
4.(多选)(2020·湖南永州市第二次模拟)跳伞运动员从高空悬停的直升机内跳下，运动员竖直向下运动，其v－t图像如图4所示，下列说法正确的是( )
图4
A.10 s末运动员的速度方向改变
B.从15 s末开始运动员匀速下降
C.运动员在0～10 s内的平均速度大小大于20 m/s
D.10～15 s内运动员做加速度逐渐增大的减速运动
答案 BC
解析 10 s末运动员的速度方向仍然为正方向，故A错误；15 s末开始图像的加速度为零，运动员做匀速直线运动，故B正确；0～10 s内，如果物体做匀加速直线运动，平均速度eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(0＋40,2) m/s＝20 m/s，而运动员在0～10 s内的位移大于做匀加速直线运动的位移，由eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(x,t)知，时间相同，位移x越大，平均速度就越大，所以运动员在0～10 s的平均速度大于20 m/s，故C正确；图像的斜率表示加速度，10～15 s 斜率绝对值逐渐减小，说明10～15 s运动员做加速度逐渐减小的减速运动，故D错误。
5.(2020·河南省九师联盟模拟)甲、乙两质点在同一条直线上运动，质点甲做匀变速直线运动，质点乙做匀速直线运动，其中图线甲为抛物线的左半支且顶点在15 s处，图线乙为一条过原点的倾斜直线。下列说法正确的是( )
图5
A.t＝5 s时乙车的速度为2 m/s，甲车的速率为2 m/s
B.t＝0时刻甲、乙两车之间的距离为25 m
C.t＝0时刻甲车的速度大小为4 m/s
D.甲车的加速度大小为0.1 m/s2
答案 A
解析 乙车做匀速直线运动，速度为v乙＝eq \f(x,t)＝eq \f(10,5) m/s＝2 m/s，甲车做匀变速直线运动，其图线在15 s时与横轴相切，则t＝15 s时甲车的速度为零，利用逆向思维将甲车运动看成反向初速度为0的匀加速直线运动，据位移时间公式x＝eq \f(1,2)at2，结合图像有10＝eq \f(1,2)×a×102，解得a＝0.2 m/s2，所以t＝5 s时甲车的速率v＝0.2×10 m/s＝2 m/s，故A项正确，D项错误；对甲车由公式x＝eq \f(1,2)at2，根据图像有x0＝eq \f(1,2)×0.2×152 m＝22.5 m，则t＝0时刻甲、乙两车之间的距离为22.5 m，故B项错误；在t＝0时刻甲车的速度大小为v0＝at＝0.2×15 m/s＝3 m/s，故C项错误。
6.(多选)(2020·湖北鄂南高中、华师一附中等八校第一次联考)A、B两质点在同一平面内同时向同一方向做直线运动，它们的位置—时间图像如图6所示，其中A是顶点在原点的抛物线的一部分，B是过点(0，3)的一条直线，两图像相交于坐标为(3，9)的P点，则下列说法正确的是( )
图6
A.质点A做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动
B.质点B以2 m/s的速度做匀速直线运动
C.在前3 s内，质点A比B向前多前进了9 m
D.在3 s前某时刻质点A、B速度相等
答案 ABD
解析 质点A的运动方程为x＝eq \f(1,2)at2，则初速度为零，加速度a＝2 m/s2，故A正确；B直线的斜率表示速度，故质点B做匀速直线运动，质点B的速度为v＝eq \f(Δx,Δt)＝eq \f(9－3,3) m/s＝2 m/s，故B正确；在前3 s内，质点B的位移为6 m，质点A的位移为9 m，质点A比B向前多前进了3 m，故C错误；t＝1 s时刻，质点A的速度为2 m/s，质点B以v＝2 m/s 的速度做匀速直线运动，故D正确。
对点练2 追及相遇问题
7.(2020·山东烟台市高考诊断一模)在一平直的水平路面上有甲、乙两辆汽车同向行驶。某时刻乙车在甲车前方15 m 处，从该时刻开始计时，0～4 s内甲、乙两车做匀变速直线运动的速度与时间的关系图像如图7所示。下列说法中正确的是( )
图7
A.t＝2 s时刻，甲车刚好追上乙车
B.t＝4 s时刻，甲车刚好追上乙车
C.乙车的加速度大小大于甲车的加速度大小
D.此过程中甲、乙两车之间的距离一直减小
答案 A
解析 速度—时间图像中面积表示位移，所以前2 s内甲的位移x甲＝eq \f(10＋20,2)×2 m＝30 m，乙的位移x乙＝eq \f(10＋5,2)×2 m＝15 m，因为x甲－x乙＝15 m＝x0，所以t＝2 s时刻，甲车刚好追上乙车，故A正确；同理前4 s内甲的位移x甲′＝eq \f(1,2)×20×4 m＝40 m，前4 s内乙的位移x乙′＝eq \f(5＋15,2)×4 m＝40 m，前4 s内的甲、乙位移相同，但初时刻乙车在甲车前方15 m处，所以t＝4 s时刻，甲、乙没有相遇，故B错误；速度—时间图像中斜率表示加速度，所以甲的加速度大小a甲＝5 m/s2，乙的加速度大小a乙＝2.5 m/s2，所以乙车的加速度大小小于甲车的加速度大小，故C错误；因为t＝2 s时刻，甲车刚好追上乙车，所以前2 s甲、乙距离减小，后2 s甲、乙距离增大，故D错误。
8.(2020·广东珠海市上学期期末)甲、乙两辆汽车沿同一平直路面行驶，其v－t图像如图8所示，下列对汽车运动状况的描述正确的是( )
图8
A.在第10 s末，乙车改变运动方向
B.在第10 s末，甲、乙两车相距150 m
C.在第20 s末，甲、乙两车可能相遇
D.第20 s末两者相距最近
答案 C
解析 由图知，乙车的速度一直为正，说明乙一直沿正方向运动，运动方向没有改变，故A错误； 在第10 s末，甲通过的位移比乙的位移大，但由于它们初始位置关系未知，所以不能判断是否相遇或者什么时候相遇，故B错误，C正确；第20 s内，甲、乙两车的位移之差最大，但由于两车出发点的位置关系未知，所以不能确定它们的距离是否最小，故D错误。
9.(2020·湖北襄阳市优质高中联考)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向沿直线运动，它们的v－t图像如图9所示。下列判断正确的是( )
图9
A.乙车启动时，甲车在其前方100 m处
B.运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为50 m
C.乙车启动后两车的间距不断减小直到两车相遇
D.乙车启动后10 s内，两车不会相遇
答案 D
解析 根据速度图线与时间轴包围的面积表示位移，可知乙在t＝10 s时启动，此时甲的位移为x1＝eq \f(1,2)×10×10 m＝50 m，即乙车启动时，甲车在乙前方50 m处，故A错误；当两车的速度相等时，即t＝15 s时相遇最远，最大距离为smax＝x甲－x乙＝eq \f(1,2)×(5＋15)×10 m－eq \f(1,2)×10×5 m＝75 m，故B错误；两车从同一地点沿同一方向沿直线运动，10～15 s内甲车的速度比乙车的大，两车的间距不断增大，故C错误；当位移相等时两车才相遇，由图可知，乙车启动10 s后位移x2＝eq \f(1,2)×20×10 m＝100 m，此时甲车的位移为x3＝eq \f(10＋20,2)×10 m＝150 m，乙车启动10 s后位移小于甲的位移，两车不会相遇，故D正确。
10.(2020·浙江省教育绿色评价联盟上学期联考)物体的运动图像并不仅限于x－t图像和v－t图像，还有如v－x图像、a－t图像等等，不同的图像可以从不同的角度反映物体的运动情况。图10是某物体做直线运动的v2－x 图像(v为速度， x为位置坐标)，下列关于物体从x＝0 处运动至x0处的过程分析，其中正确的是( )
图10
A.该物体做匀加速直线运动
B.该物体的加速度大小为a＝eq \f(veq \\al(2,0),2x0)
C.该物体在位移中点的速度等于eq \f(1,2)v0
D.该物体在运动中间时刻的速度大于eq \f(1,2)v0
答案 B
解析 由匀变速直线运动的速度位移关系公式v2－veq \\al(2,0) ＝2ax可得v2 ＝ 2ax ＋ veq \\al(2,0)，可知物体的加速度恒定不变，速度均匀减小，故物体做匀减速直线运动，故A错误；由上式知，v2 －x图像的斜率大小等于2a，由图可得2a ＝eq \f(veq \\al(2,0),x0)，则得物体的加速度大小为a ＝eq \f(veq \\al(2,0),2x0)，故B正确；该物体在运动过程中的平均速度为eq \f(v0,2)，因为物体做匀减速直线运动，所以该物体在运动中间时刻的速度等于eq \f(v0,2)，物体在位移中点的速度大于中间时刻的速度，所以物体在位移中点的速度大于eq \f(v0,2)，故C、D错误。
11.(多选)(2020·江西省重点中学盟校第一次联考)如图11所示，图线OP、MN分别是做直线运动的质点A、B的位移—时间图像，其中OP为开口向下抛物线的一部分，P为图像上一点。PQ为过P点的切线，与x轴交于点Q。则下列说法正确的是( )
图11
A.t＝4 s时，质点A的速率为1 m/s
B.质点A的加速度大小为0.25 m/s2
C.质点A的初速度大小为6 m/s
D.t＝2 s时A、B相遇
答案 AD
解析 x－t图像切线的斜率表示速度，则t＝4 s时质点A的速率为v＝eq \f(10－6,4) m/s＝1 m/s，故A正确； 质点A的x－t图像为抛物线，结合匀变速直线运动位移公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，当t＝4 s时有10＝4v0＋8a ①，根据速度时间公式v＝v0＋at，当t＝4 s时有1＝v0＋4a ②，联立①②解得v0＝4 m/s，a＝－0.75 m/s2，所以质点A的初速度大小为4 m/s，加速度的大小为0.75 m/s2，故B、C错误；由图可知质点B做匀速直线运动，其速度大小为vB＝eq \f(13,4) m/s＝3.25 m/s，则质点B的位移表达式为xB＝vBt＝3.25 t，设经过t s时A、B相遇，由图可知，则有xA＋xB＝13，则有4t－eq \f(1,2)×0.75t2＋3.25t＝13，解得t＝2 s(其中t＝eq \f(52,3) s舍去)，故t＝2 s时A、B相遇，故D正确。
12.(2020·山东青岛市一模)在防控新冠肺炎疫情期间，青岛市教育局积极落实教育部“停课不停学”的有关通知要求，号召全市中小学校注重生命教育，鼓励学生锻炼身体。我市某同学在某次短跑训练中，由静止开始运动的位移—时间图像如图12所示，已知0～t0是抛物线的一部分，t0～5 s是直线，两部分平滑相连，求：
图12
(1)t0的数值；
(2)该同学在0～t0时间内的加速度大小。
答案 (1)2 s (2)4 m/s2
解析 该同学在0～t0时间内做匀加速运动，则由
x＝eq \f(1,2)at2可得x1＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,0)，v＝at0
t0～5 s时间内做匀速运动v＝eq \f(Δx,Δt)＝eq \f(x2－x1,t－t0)
把x1＝8 m，x2＝32 m，t＝5 s代入可解得
t0＝2 s，a＝4 m/s2。
13.(2020·安徽安庆市期末质量监测)如图13甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图像如图乙所示。已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1＝12 m。
图13
(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小；
(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离x0应满足什么条件？
答案 (1)12 m/s 3 m/s2 (2)x0＞36 m
解析 (1)在t1＝1 s时A车刚启动，两车间缩短的距离x1＝vBt1，代入数据解得B车的速度vB＝12 m/s
A车的加速度a＝eq \f(vB,t2－t1)
将t2＝5 s和其余数据代入解得A车的加速度大小
a＝3 m/s2。
(2)两车的速度达到相等时，两车的距离达到最小，对应于v－t图像的t2＝5 s时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则x＝eq \f(1,2)vB(t1＋t2)
解得x＝36 m，因此，若A、B两车不会相撞，则两车的距离x0应满足条件x0＞36 m。
x－t图像
v－t图像
图像
举例
意义
倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动
特别处
两条图线的交点表示相遇
图线与时间轴所围面积表示位移
运动
情况
甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动
丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动
位移
0～t1时间内甲、乙位移相等
0～t2时间内丁的位移大于丙的位移
平均
速度
0～t1时间内甲、乙平均速度相等
0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度
2.学好本专题，可以提高同学们通过画运动情景示意图和v－t图像分析和解决运动学问题的能力。
3.用到的知识有：x－t图像和v－t图像的理解，匀变速直线运动的规律，临界条件的确定，求解极值等数学方法。
题型一 运动学图像的理解和应用
1.x－t图像与v－t图像的比较
2.三点说明
(1)x－t图像与v－t图像都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹。
(2)分析图像要充分利用图像与其所对应的物理量的函数关系。
(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。
【例1】 (2021·1月辽宁普高校招生适应性测试，1)甲、乙两物体沿直线同向运动，其位置x随时间t的变化如图1所示，甲、乙图线分别为圆弧、直线。下列说法正确的是( )
图1
A.甲做匀减速直线运动B.乙做匀加速直线运动
C.第4 s末，二者速度相等D.前4 s内，二者位移相等
答案 D
解析 x－t图像的斜率k＝eq \f(Δx,Δt)表示速度，可知甲物体做减速直线运动，但不是匀减速直线运动，选项A错误；乙物体做匀速直线运动，选项B错误；x－t图像中图线交点表示相遇，所以前4 s内二者位移相等，选项D正确；第4 s末二者相遇，但此时二者速度不相等，选项C错误。
【变式1】 (2020·广东潮州市第二次模拟)如图2所示为甲、乙两个质点运动的位移—时间图像，由此可知(图中虚线与曲线相切) ( )
图2
A. 甲做匀减速直线运动，乙做变减速直线运动
B.在0～t0时间内的某时刻，甲、乙两质点的速度大小相等
C.甲、乙两质点从x＝2x0位置同时出发，同时到达x＝0位置
D.在0～t0时间内，乙的速度大于甲的速度，t0时刻后，乙的速度小于甲的速度
答案 B
解析 根据x－t图像的斜率表示速度，知甲做匀速直线运动，乙做减速直线运动，故A错误；根据x－t图像的斜率表示速度，图中虚线与甲图线平行，知在0～t0时间内的某时刻，甲、乙两质点的速度大小相等，故B正确；甲、乙两质点从x＝2x0位置同时出发，乙先到达x＝0位置，故C错误；在0～t0时间内，乙的速度先大于甲的速度，再等于甲的速度，后小于甲的速度，t0时刻后，乙的速度小于甲的速度，故D错误。
【例2】 (多选)(2020·山东济南市5月高考模拟)雨雪天气时路面湿滑，汽车在紧急刹车时的刹车距离会明显增加。如图3所示为驾驶员驾驶同一辆汽车在两种路面紧急刹车时的v－t图像，驾驶员的反应时间为1 s。下列说法正确的是( )
图3
A. 从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度
B.从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度
C.从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的行驶距离比在干燥路面的行驶距离多15 m
D.从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的加速度是在干燥路面的加速度的0.75倍
答案 CD
解析 从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的位移为x1＝30×1 m＋eq \f(4×30,2) m＝90 m，平均速度为v1＝eq \f(90,5) m/s＝18 m/s，从t＝0到停下，汽车在干燥路面的位移为x2＝30×1 m＋eq \f(3×30,2) m＝75 m，平均速度为v2＝eq \f(75,4) m/s＝18.75 m/s，则从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的行驶距离比在干燥路面的行驶距离多15 m，故A错误，C正确；从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的平均速度v1′＝eq \f(30,2) m/s＝15 m/s，从t＝1 s到停下，汽车在干燥路面的平均速度v2′＝eq \f(30,2) m/s＝15 m/s，故B错误；从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的加速度大小a1＝eq \f(30,4) m/s2＝7.5 m/s2，从t＝1 s到停下，汽车在干燥路面的加速度大小a2＝eq \f(30,3) m/s2＝10 m/s2，则从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的加速度是在干燥路面的加速度的0.75倍，故D正确。
【变式2】 (2020·辽宁辽南协作校第二次模拟)某同学在研究物体运动规律时，让玩具小车在粗糙的水平面上做直线运动，玩具小车运动的v－t图像如图4所示，下列说法正确的是( )
图4
A.玩具小车在第2 s末运动的位移方向发生变化
B.玩具小车在第2 s内和第6 s内的加速度相同
C.玩具小车在6 s末返回出发点
D.玩具小车在1 s末离出发点最远，且最大位移为1 m
答案 B
解析 速度图像的面积表示位移，面积的正负表示位移方向，小车在4 s末回到出发点，4 s之前位移为正值，即4 s之前位移方向一直为正方向，A错误；速度图像的斜率表示加速度，根据图像可知，小车在第2 s内和第6 s内图像平行，斜率相同，则加速度相同，B正确；小车在4 s末位移为0，表示回到出发点；6 s末位移为正值，表示小车的位置在出发点正方向一侧，C错误；小车在2 s末和6 s末，位移最大，离出发点最远，为1 m；1 s末位移只有0.5 m，不是最大，D错误。
一、非常规图像
1.四类图像
(1)a－t图像
由v＝v0＋at可知图像与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图5甲所示。
(2)eq \f(x,t)－t图像
由x＝v0t＋eq \f(1,2)at2可得eq \f(x,t)＝v0＋eq \f(1,2)at，图像的斜率为eq \f(1,2)a，如图乙所示。
图5
(3)v2－x图像
由v2－veq \\al(2,0)＝2ax可知v2＝veq \\al(2,0)＋2ax，图像斜率为2a。
(4)x－v图像
x与v的关系式：2ax＝v2－veq \\al(2,0)，图像表达式x＝eq \f(1,2a)v2－eq \f(1,2a)veq \\al(2,0)。
2.解题技巧
(1)用函数思想分析图像
图像反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图像的意义。
(2)要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图像类题型的解题准确率和速度。
【例3】 (2020·福建三明市质量检测)如图6所示四幅图为物体做直线运动的图像，下列说法正确的是( )
图6
A.甲图中，物体在0～t0这段时间内的位移小于eq \f(v0t0,2)
B.乙图中，物体的加速度为2 m/s2
C.丙图中，阴影面积表示t1～t2时间内物体的加速度变化量
D.丁图中，t＝3 s时物体的速度为25 m/s
答案 D
解析 题图甲中，因v－t图像与t轴围成的面积等于位移，可知物体在0～t0这段时间内的位移大于eq \f(v0t0,2)，选项A错误；题图乙中，根据v2＝2ax可知2a＝eq \f(15,15) m/s2＝1 m/s2，则物体的加速度为0.5 m/s2，选项B错误；题图丙中，根据Δv＝aΔt可知，阴影面积表示t1～t2时间内物体的速度变化量，选项C错误；题图丁中，由x＝v0t＋eq \f(1,2)at2可得eq \f(x,t)＝v0＋eq \f(1,2)at，由图像可知eq \f(1,2)a＝eq \f(10,2) m/s2＝5 m/s2，v0＝－5 m/s，则a＝10 m/s2；则t＝3 s时物体的速度为v3＝v0＋at3＝25 m/s，选项D正确。
【变式3】 (2020·黑龙江大庆实验中学开学考试)甲、乙两质点在同一时刻、从同一地点沿同一方向做直线运动。质点甲做初速度为零、加速度大小为a1的匀加速直线运动，质点乙做初速度为v0、加速度大小为a2的匀减速直线运动至速度减为零保持静止，甲、乙两质点在运动过程中的x－v图像如图7所示，虚线与对应的坐标轴垂直。下列说法正确的是( )
图7
A.图线a表示质点乙的运动
B.质点甲的加速度大小为3 m/s2
C.质点乙的加速度大小为1 m/s2
D.开始运动后，两质点在x＝6 m处相遇
答案 C
解析 根据图像可知，a图像的速度随位移增大而增大，b图像的速度随位移增大而减小，所以图像a表示质点甲的运动，故A错误；当x＝0时，乙的速度为6 m/s，即质点乙的初速度v0＝6 m/s，设质点乙、甲先后通过x＝6 m处时的速度均为v，对质点甲
v2＝2a1x①
对质点乙：v2－veq \\al(2,0)＝－2a2x②
联立①②解得a1＋a2＝3 m/s2③
当质点甲的速度v1＝8 m/s、质点乙的速度v2＝2 m/s时，两质点通过相同的位移均为x′，
对质点甲veq \\al(2,1)＝2a1x′④
对质点乙veq \\al(2,2)－veq \\al(2,0)＝－2a2x′⑤
联立④⑤解得a1＝2a2⑥
联立③⑥解得a1＝2 m/s2，a2＝1 m/s2
故B错误，C正确；图线a、b的交点表示两质点通过同一位置，但不是同时，故D错误。
二、图像信息提取问题
有些图像问题的分析和解决，要充分挖掘图像的隐含信息(比如图像的斜率、截距、包围面积及特殊点坐标等)才能顺利解题。
【例4】 (多选)如图8所示的x－t图像反映了甲、乙两车在同一平直公路上行驶的位移随时间变化的关系，已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则0～10 s 过程中( )
图8
A.甲车的速度大小为4.0 m/s
B.乙车的平均速度大小为4.0 m/s
C.甲车的位移大小为40 m
D.乙车的位移大小为80 m
答案 ACD
解析 甲车做匀速直线运动，速度v甲＝eq \f(x1,t1)＝eq \f(20,5) m/s＝4 m/s，在0～10 s内位移为x甲＝v甲t＝4×10 m＝40 m，故A、C正确；乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则t＝10 s时，速度为零，根据逆向思维法，乙车匀减速到速度为0的逆过程为初速度为0的匀加速直线运动，根据位移与时间关系x＝eq \f(1,2)at2，结合图像有x0＝eq \f(1,2)a·(10 s)2，20 m＝eq \f(1,2)a·(5 s)2，解得a＝1.6 m/s2，x0＝80 m，则平均速度大小为eq \(v,\s\up6(－))乙＝eq \f(x0,t)＝eq \f(80,10) m/s＝8 m/s，故B错误，D正确。
【变式4】 (2020·海南省新高考一模)一物块沿直线运动的速度—时间(v－t)图像如图9所示，下列说法正确的是( )
图9
A.5 s内的位移大小为17.5 m
B.3 s末与5 s末的速度相同
C.第4 s内与第5 s内的加速度相同
D.前4 s的平均速度大小为4 m/s
答案 C
解析 因为v－t图像的面积等于位移，则5 s内的位移大小为x＝eq \f(1,2)(2＋3)×5 m＝12.5 m，选项A错误；3 s末与5 s末的速度大小相等，方向相反，选项B错误；因为v－t图像的斜率等于加速度，则第4 s内与第5 s内的加速度相同，选项C正确；前4 s内的位移大小为x′＝eq \f(1,2)(2＋4)×5 m＝15 m，则平均速度大小为eq \(v,\s\up6(－))4＝eq \f(x′,t4)＝eq \f(15,4) m/s＝3.75 m/s，选项D错误。
题型二 追及相遇问题
1.分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。
2.临界法
寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。
3.函数法
设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇。
4.图像法
(1)若用位移—时间图像求解，分别作出两个物体的位移—时间图像，如果两个物体的位移—时间图像相交，则说明两物体相遇。
(2)若用速度—时间图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。
5.特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
【例5】 (2020·安徽庐巢七校联盟第三次联考)一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则：
(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
(2)若汽车刹车时的加速度只为4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
答案 (1)5 m/s2 (2)1 m/s2
解析 (1)设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s，初始距离d＝14 m
自行车的位移为x自＝v自(t＋t0)
汽车的位移为x汽＝v汽(t＋t0)－eq \f(1,2)at2
假设汽车能追上自行车，此时有x汽＝x自＋d
代入数据整理得eq \f(1,2)at2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得
Δ＝102－20a≤0
解得a≥5 m/s2
所以，为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为5 m/s2。
(2)设自行车加速度为a′，同理可得
v汽(t＋t0)－eq \f(1,2)a汽t2＝v自(t＋t0)＋eq \f(1,2)a′t2＋d
整理得(eq \f(1,2)a′＋2)t2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得
Δ＝102－20a′－80≤0，解得a′≥1 m/s2
所以，自行车的加速度至少为1 m/s2才能保证两车不相撞。
【变式5】 (多选)(2020·百师联盟山东模拟)甲、乙两物体沿同一直线运动速度随时间的变化关系v－t图像如图10所示，已知t＝0时，甲在乙的后方且两者相距15 m，下列说法正确的是( )
图10
A.t＝1.5 s时，甲、乙相距最远
B.t＝3 s时，甲、乙相距最远
C.t＝7.5 s时，甲、乙相遇
D.甲、乙相遇之前的最远距离为12 m
答案 BC
解析 由速度相等时距离最远可知，t＝3 s时，甲、乙相距最远，故A错误，B正确；设t时两物体相遇，由运动学公式和图像可知t内甲的位移x甲＝－4t，乙的位移x乙＝4t－eq \f(1,2)at2，由图像可知，乙的加速度大小a＝eq \f(8,3) m/s2，由甲、乙位置关系可知x甲－15＝x乙，解得t＝7.5 s，故C正确；t＝3 s时两物体距离最远，由图像可知，3 s内乙的位移为0，故最远距离为3 s内甲的位移与初始距离之和，即最远距离为Δx＝12 m＋15 m＝27 m，故D错误。
【变式6】 (2020·三湘名校教育联盟第二次联考)在平直公路上有甲、乙两辆汽车从同一位置沿着同一方向运动，它们的速度—时间图像如图11所示，则( )
图11
A.甲、乙两车同时从静止开始出发
B.在t＝2 s时乙车追上甲车
C.在t＝4 s时乙车追上甲车
D.甲、乙两车在公路上可能相遇两次
答案 C
解析 由图像可知，乙车比甲车迟出发1 s，故A错误；根据速度—时间图线与时间轴围成的面积表示位移知，t＝2 s时，甲车的位移比乙车的位移大，乙车还没有追上甲车，故B错误；在0～4 s内，甲车的位移 x甲＝eq \f(1,2)×8×4 m＝16 m，乙车的位移 x乙＝eq \f(1,2)×(1＋3)×8 m＝16 m，所以x甲＝x乙，两者又是从同一位置沿着同一方向运动的，则在t＝4 s时乙车追上甲车，故C正确；在t＝4 s时乙车追上甲车，由于t＝4 s以后，甲车的速度比乙车的大，两车不可能再相遇，所以两车只相遇一次，故D错误。
课时限时练
(限时：40分钟)
对点练1 运动学图像的理解和应用
1.(2020·浙江绍兴市适应性考试)如图1所示是一辆摩托车沿直线运动的v－t图像，则摩托车( )
图1
A.速度最大时加速度也最大
B.前10 s内的加速度方向保持不变
C.前6 s内的位移大于后6 s内的位移
D.第4 s内运动的方向与第10 s内运动的方向相同
答案 D
解析 v－t图像的斜率表示加速度，由题图可知，速度最大处的加速度为0，故A错误；斜率的正负表示加速度方向，0～6 s内，摩托车做加速运动，6～10 s内，摩托车做减速运动，在t＝6 s时，其加速度方向发生变化，故B错误；v－t 图像与时间轴围城的面积表示位移，题中可通过数格子粗略估算位移大小，由图可知前6 s的位移小于后6 s的位移，故C错误；摩托车的速度始终为正值，其运动方向一直没有发生变化，故D正确。
2.如图2是某轮船在海面上运动的速度—时间图像，则下列说法正确的是( )
图2
A.轮船在0～66 s内的平均速度大小等于7.5 m/s
B.轮船在66 s末运动方向改变
C.轮船在66～96 s内运动了225 m
D.轮船在96～116 s内做匀减速直线运动
答案 C
解析 根据图像可知轮船在0～66 s内做加速度减小的加速运动，所以平均速度大小大于eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(0＋15,2) m/s＝7.5 m/s，A错误；轮船在66 s末速度方向没有发生改变，B错误；v－t 图线与时间轴围成的面积等于位移，则轮船在66～96 s 内运动了x＝eq \f(1,2)×(96－66)×15 m＝225 m，C正确；轮船在96～116 s内做反向的匀加速直线运动，D错误。
3.(2020·山东临沂市上学期期末)一质点以某一初速度开始做直线运动，从质点开始运动计时，经时间t质点的位移为x，其eq \f(x,t)－t图像如图3所示。下列说法正确的是( )
图3
A.质点做匀加速直线运动
B.任意相邻的0.2 s内，质点位移差的大小均为0.04 m
C.任意1 s内，质点速度增量的大小均为0.5 m/s
D.质点在1 s末与3 s末的速度方向相同
答案 B
解析 由题意可知物体做匀变速直线运动，由位移公式可得x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，变形可得eq \f(x,t)＝eq \f(1,2)at＋v0，其表达式与eq \f(x,t)－t图像相对应可求得v0＝2 m/s，eq \f(1,2)a＝eq \f(0－2,4－0) m/s2，可求得a＝－1 m/s2，说明质点做匀减速直线运动，故A错误；任意相邻的0.2 s内，质点位移差的大小Δx＝at2＝1×(0.2)2 m＝0.04 m，故B正确；任意1 s内，质点速度增量的大小Δv＝at＝1×1 m/s＝1 m/s，故C错误；质点做匀减速运动，初速度v0＝2 m/s，设经过时间t1速度减为零，则有t1＝eq \f(v0,a)＝eq \f(2,1) s＝2 s，物体运动2 s速度减为零，然后开始反向运动，则物体在1 s末与3 s末的速度方向相反，故D错误。
4.(多选)(2020·湖南永州市第二次模拟)跳伞运动员从高空悬停的直升机内跳下，运动员竖直向下运动，其v－t图像如图4所示，下列说法正确的是( )
图4
A.10 s末运动员的速度方向改变
B.从15 s末开始运动员匀速下降
C.运动员在0～10 s内的平均速度大小大于20 m/s
D.10～15 s内运动员做加速度逐渐增大的减速运动
答案 BC
解析 10 s末运动员的速度方向仍然为正方向，故A错误；15 s末开始图像的加速度为零，运动员做匀速直线运动，故B正确；0～10 s内，如果物体做匀加速直线运动，平均速度eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(0＋40,2) m/s＝20 m/s，而运动员在0～10 s内的位移大于做匀加速直线运动的位移，由eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(x,t)知，时间相同，位移x越大，平均速度就越大，所以运动员在0～10 s的平均速度大于20 m/s，故C正确；图像的斜率表示加速度，10～15 s 斜率绝对值逐渐减小，说明10～15 s运动员做加速度逐渐减小的减速运动，故D错误。
5.(2020·河南省九师联盟模拟)甲、乙两质点在同一条直线上运动，质点甲做匀变速直线运动，质点乙做匀速直线运动，其中图线甲为抛物线的左半支且顶点在15 s处，图线乙为一条过原点的倾斜直线。下列说法正确的是( )
图5
A.t＝5 s时乙车的速度为2 m/s，甲车的速率为2 m/s
B.t＝0时刻甲、乙两车之间的距离为25 m
C.t＝0时刻甲车的速度大小为4 m/s
D.甲车的加速度大小为0.1 m/s2
答案 A
解析 乙车做匀速直线运动，速度为v乙＝eq \f(x,t)＝eq \f(10,5) m/s＝2 m/s，甲车做匀变速直线运动，其图线在15 s时与横轴相切，则t＝15 s时甲车的速度为零，利用逆向思维将甲车运动看成反向初速度为0的匀加速直线运动，据位移时间公式x＝eq \f(1,2)at2，结合图像有10＝eq \f(1,2)×a×102，解得a＝0.2 m/s2，所以t＝5 s时甲车的速率v＝0.2×10 m/s＝2 m/s，故A项正确，D项错误；对甲车由公式x＝eq \f(1,2)at2，根据图像有x0＝eq \f(1,2)×0.2×152 m＝22.5 m，则t＝0时刻甲、乙两车之间的距离为22.5 m，故B项错误；在t＝0时刻甲车的速度大小为v0＝at＝0.2×15 m/s＝3 m/s，故C项错误。
6.(多选)(2020·湖北鄂南高中、华师一附中等八校第一次联考)A、B两质点在同一平面内同时向同一方向做直线运动，它们的位置—时间图像如图6所示，其中A是顶点在原点的抛物线的一部分，B是过点(0，3)的一条直线，两图像相交于坐标为(3，9)的P点，则下列说法正确的是( )
图6
A.质点A做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动
B.质点B以2 m/s的速度做匀速直线运动
C.在前3 s内，质点A比B向前多前进了9 m
D.在3 s前某时刻质点A、B速度相等
答案 ABD
解析 质点A的运动方程为x＝eq \f(1,2)at2，则初速度为零，加速度a＝2 m/s2，故A正确；B直线的斜率表示速度，故质点B做匀速直线运动，质点B的速度为v＝eq \f(Δx,Δt)＝eq \f(9－3,3) m/s＝2 m/s，故B正确；在前3 s内，质点B的位移为6 m，质点A的位移为9 m，质点A比B向前多前进了3 m，故C错误；t＝1 s时刻，质点A的速度为2 m/s，质点B以v＝2 m/s 的速度做匀速直线运动，故D正确。
对点练2 追及相遇问题
7.(2020·山东烟台市高考诊断一模)在一平直的水平路面上有甲、乙两辆汽车同向行驶。某时刻乙车在甲车前方15 m 处，从该时刻开始计时，0～4 s内甲、乙两车做匀变速直线运动的速度与时间的关系图像如图7所示。下列说法中正确的是( )
图7
A.t＝2 s时刻，甲车刚好追上乙车
B.t＝4 s时刻，甲车刚好追上乙车
C.乙车的加速度大小大于甲车的加速度大小
D.此过程中甲、乙两车之间的距离一直减小
答案 A
解析 速度—时间图像中面积表示位移，所以前2 s内甲的位移x甲＝eq \f(10＋20,2)×2 m＝30 m，乙的位移x乙＝eq \f(10＋5,2)×2 m＝15 m，因为x甲－x乙＝15 m＝x0，所以t＝2 s时刻，甲车刚好追上乙车，故A正确；同理前4 s内甲的位移x甲′＝eq \f(1,2)×20×4 m＝40 m，前4 s内乙的位移x乙′＝eq \f(5＋15,2)×4 m＝40 m，前4 s内的甲、乙位移相同，但初时刻乙车在甲车前方15 m处，所以t＝4 s时刻，甲、乙没有相遇，故B错误；速度—时间图像中斜率表示加速度，所以甲的加速度大小a甲＝5 m/s2，乙的加速度大小a乙＝2.5 m/s2，所以乙车的加速度大小小于甲车的加速度大小，故C错误；因为t＝2 s时刻，甲车刚好追上乙车，所以前2 s甲、乙距离减小，后2 s甲、乙距离增大，故D错误。
8.(2020·广东珠海市上学期期末)甲、乙两辆汽车沿同一平直路面行驶，其v－t图像如图8所示，下列对汽车运动状况的描述正确的是( )
图8
A.在第10 s末，乙车改变运动方向
B.在第10 s末，甲、乙两车相距150 m
C.在第20 s末，甲、乙两车可能相遇
D.第20 s末两者相距最近
答案 C
解析 由图知，乙车的速度一直为正，说明乙一直沿正方向运动，运动方向没有改变，故A错误； 在第10 s末，甲通过的位移比乙的位移大，但由于它们初始位置关系未知，所以不能判断是否相遇或者什么时候相遇，故B错误，C正确；第20 s内，甲、乙两车的位移之差最大，但由于两车出发点的位置关系未知，所以不能确定它们的距离是否最小，故D错误。
9.(2020·湖北襄阳市优质高中联考)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向沿直线运动，它们的v－t图像如图9所示。下列判断正确的是( )
图9
A.乙车启动时，甲车在其前方100 m处
B.运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为50 m
C.乙车启动后两车的间距不断减小直到两车相遇
D.乙车启动后10 s内，两车不会相遇
答案 D
解析 根据速度图线与时间轴包围的面积表示位移，可知乙在t＝10 s时启动，此时甲的位移为x1＝eq \f(1,2)×10×10 m＝50 m，即乙车启动时，甲车在乙前方50 m处，故A错误；当两车的速度相等时，即t＝15 s时相遇最远，最大距离为smax＝x甲－x乙＝eq \f(1,2)×(5＋15)×10 m－eq \f(1,2)×10×5 m＝75 m，故B错误；两车从同一地点沿同一方向沿直线运动，10～15 s内甲车的速度比乙车的大，两车的间距不断增大，故C错误；当位移相等时两车才相遇，由图可知，乙车启动10 s后位移x2＝eq \f(1,2)×20×10 m＝100 m，此时甲车的位移为x3＝eq \f(10＋20,2)×10 m＝150 m，乙车启动10 s后位移小于甲的位移，两车不会相遇，故D正确。
10.(2020·浙江省教育绿色评价联盟上学期联考)物体的运动图像并不仅限于x－t图像和v－t图像，还有如v－x图像、a－t图像等等，不同的图像可以从不同的角度反映物体的运动情况。图10是某物体做直线运动的v2－x 图像(v为速度， x为位置坐标)，下列关于物体从x＝0 处运动至x0处的过程分析，其中正确的是( )
图10
A.该物体做匀加速直线运动
B.该物体的加速度大小为a＝eq \f(veq \\al(2,0),2x0)
C.该物体在位移中点的速度等于eq \f(1,2)v0
D.该物体在运动中间时刻的速度大于eq \f(1,2)v0
答案 B
解析 由匀变速直线运动的速度位移关系公式v2－veq \\al(2,0) ＝2ax可得v2 ＝ 2ax ＋ veq \\al(2,0)，可知物体的加速度恒定不变，速度均匀减小，故物体做匀减速直线运动，故A错误；由上式知，v2 －x图像的斜率大小等于2a，由图可得2a ＝eq \f(veq \\al(2,0),x0)，则得物体的加速度大小为a ＝eq \f(veq \\al(2,0),2x0)，故B正确；该物体在运动过程中的平均速度为eq \f(v0,2)，因为物体做匀减速直线运动，所以该物体在运动中间时刻的速度等于eq \f(v0,2)，物体在位移中点的速度大于中间时刻的速度，所以物体在位移中点的速度大于eq \f(v0,2)，故C、D错误。
11.(多选)(2020·江西省重点中学盟校第一次联考)如图11所示，图线OP、MN分别是做直线运动的质点A、B的位移—时间图像，其中OP为开口向下抛物线的一部分，P为图像上一点。PQ为过P点的切线，与x轴交于点Q。则下列说法正确的是( )
图11
A.t＝4 s时，质点A的速率为1 m/s
B.质点A的加速度大小为0.25 m/s2
C.质点A的初速度大小为6 m/s
D.t＝2 s时A、B相遇
答案 AD
解析 x－t图像切线的斜率表示速度，则t＝4 s时质点A的速率为v＝eq \f(10－6,4) m/s＝1 m/s，故A正确； 质点A的x－t图像为抛物线，结合匀变速直线运动位移公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，当t＝4 s时有10＝4v0＋8a ①，根据速度时间公式v＝v0＋at，当t＝4 s时有1＝v0＋4a ②，联立①②解得v0＝4 m/s，a＝－0.75 m/s2，所以质点A的初速度大小为4 m/s，加速度的大小为0.75 m/s2，故B、C错误；由图可知质点B做匀速直线运动，其速度大小为vB＝eq \f(13,4) m/s＝3.25 m/s，则质点B的位移表达式为xB＝vBt＝3.25 t，设经过t s时A、B相遇，由图可知，则有xA＋xB＝13，则有4t－eq \f(1,2)×0.75t2＋3.25t＝13，解得t＝2 s(其中t＝eq \f(52,3) s舍去)，故t＝2 s时A、B相遇，故D正确。
12.(2020·山东青岛市一模)在防控新冠肺炎疫情期间，青岛市教育局积极落实教育部“停课不停学”的有关通知要求，号召全市中小学校注重生命教育，鼓励学生锻炼身体。我市某同学在某次短跑训练中，由静止开始运动的位移—时间图像如图12所示，已知0～t0是抛物线的一部分，t0～5 s是直线，两部分平滑相连，求：
图12
(1)t0的数值；
(2)该同学在0～t0时间内的加速度大小。
答案 (1)2 s (2)4 m/s2
解析 该同学在0～t0时间内做匀加速运动，则由
x＝eq \f(1,2)at2可得x1＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,0)，v＝at0
t0～5 s时间内做匀速运动v＝eq \f(Δx,Δt)＝eq \f(x2－x1,t－t0)
把x1＝8 m，x2＝32 m，t＝5 s代入可解得
t0＝2 s，a＝4 m/s2。
13.(2020·安徽安庆市期末质量监测)如图13甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图像如图乙所示。已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1＝12 m。
图13
(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小；
(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离x0应满足什么条件？
答案 (1)12 m/s 3 m/s2 (2)x0＞36 m
解析 (1)在t1＝1 s时A车刚启动，两车间缩短的距离x1＝vBt1，代入数据解得B车的速度vB＝12 m/s
A车的加速度a＝eq \f(vB,t2－t1)
将t2＝5 s和其余数据代入解得A车的加速度大小
a＝3 m/s2。
(2)两车的速度达到相等时，两车的距离达到最小，对应于v－t图像的t2＝5 s时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则x＝eq \f(1,2)vB(t1＋t2)
解得x＝36 m，因此，若A、B两车不会相撞，则两车的距离x0应满足条件x0＞36 m。
x－t图像
v－t图像
图像
举例
意义
倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动
特别处
两条图线的交点表示相遇
图线与时间轴所围面积表示位移
运动
情况
甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动
丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动
位移
0～t1时间内甲、乙位移相等
0～t2时间内丁的位移大于丙的位移
平均
速度
0～t1时间内甲、乙平均速度相等
0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度
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