山西省大同市第一中学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份山西省大同市第一中学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省大同一中八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑.
1．（3分）2021年3月20日三星堆遗址的最新考古发现又一•次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x2•x4＝x6 B．（x2）4＝x6
C．x3+x3＝2x6 D．（﹣2x）3＝﹣6x3
3．（3分）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　）

A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
4．（3分）如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于（　　）

A．45° B．30° C．60° D．75°
5．（3分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） D．（x﹣1）（x﹣3）+1＝（x﹣2）2
6．（3分）如图所示，BC、AE是锐角△ABF的高，相交于点D，若AD＝BF，AF＝7，CF＝2，则BD的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
7．（3分）将分式xyx+y中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小到原来的12
C．保持不变 D．无法确定
8．（3分）观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（　　）

A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2
C．（a+b）（a+2b）＝2a2+3ab+b2
D．（a+b）（2a+b）＝a2+3ab+2b2
9．（3分）某智能手机代工厂接到生产30万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，该代工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前2个月完成交货，那么原计划每月生产智能手机多少万部？设原计划每月生产智能手机x万部，则根据题意可列方程为（　　）
A．30(1+50%)x-30x=2 B．30(1-50%)x-30x=2
C．30x-30(1-50%)x=2 D．30x- 30(1+50%)x=2
10．（3分）如图，等边△ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝4，则当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（　　）

A．22.5° B．30° C．45° D．15°
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）已知x+1x=8，则x2+1x2的值是 　 　．
12．（3分）如图，点D、A、E在直线m上，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，且BD＝AE．若BD＝3，CE＝5，则DE＝　 　．

13．（3分）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是 　 　．
14．（3分）如图，已知点P是∠AOB内任意一点，点P1，P关于OA对称，点P2，P关于OB对称，连接P1P2，分别交OA，OB于C，D，连接PC，PD．若P1P2＝10cm，则△PCD的周长是 　 　cm．

15．（3分）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际每天施工多少平方米？设原计划平均每天施工x平方米，则可列出方程为 　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（8分）计算：
（1）﹣12022+（-32）﹣1+3-8+（3.14﹣π）0；
（2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y．
17．（8分）（1）先化简，再求值：（1x-1-1x+1）÷1x2+x，其中x为﹣1，0，1，2中的一个合适的数值．
（2）解方程x+1x-1-14x2-1=1．
18．（8分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．
（1）求证：CF∥AB；
（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．

19．（9分）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长为20cm，AC＝6cm，求DC长．

20．（9分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x-1=x-1+2x-1=x-1x-1+2x-1=1+2x-1，2x-3x+1=2x+2-5x+1=2x+2x+1+-5x+1=2+-5x+1，则x+1x-1和2x-3x+1都是“和谐分式”．
（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 　 　（填序号）；
①x+1x；②2+x2；③x+2x+1；④y2+1y2
（2）将“和谐分式”a2-2a+3a-1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：a2-2a+3a-1=　 　+　 　；
（3）应用：先化简3x+6x+1-x-1x÷x2-1x2+2x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
21．（9分）为响应习总书记“足球进校园”的号召，某学校2017年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）按照实际需要每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，购买的足球能够配备多少个班级？
22．（11分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．

活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：　 　．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，θ＝　 　；
活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，θ3＝　 　；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
23．（13分）阅读以下材料，完成以下两个问题．
[阅读材料]已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．
结合此题，DE＝EC，点E是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图（1）所示；②考虑倍长AE，如图（2）所示
以图（1）为例，证明过程如下：
证明：延长FE至G，使EG＝EF，连接CG．
在△DEF和△CEG中，
ED=EC∠DEF=∠CEGEF=EG，
∴△DEF≌△CEG（SAS）．
∴DF＝CG，∠DFE＝∠G．
∵DF＝AC，
∴CG＝AC．
∴∠G＝∠CAE．
∴∠DFE＝∠CAE．
∵DF∥AB，
∴∠DFE＝∠BAE．
∴∠BAE＝∠CAE．
∴AE平分∠BAC．
问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明．
问题2：根据上述材料，完成下列问题：
已知，如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，∠BAE＝∠CAF＝90°，AE＝AB，AC＝AF，AD＝3，求EF的长．

2022-2023学年山西省大同一中八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑.
1．（3分）2021年3月20日三星堆遗址的最新考古发现又一•次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x2•x4＝x6 B．（x2）4＝x6
C．x3+x3＝2x6 D．（﹣2x）3＝﹣6x3
【解答】解：A、x2•x4＝x6，故A符合题意；
B、（x2）4＝x8，故B不符合题意；
C、x3+x3＝2x3，故C不符合题意；
D、（﹣2x）3＝﹣8x3，故D不符合题意；
故选：A．
3．（3分）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　）

A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
【解答】解：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可得：将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处，
故选：A．
4．（3分）如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于（　　）

A．45° B．30° C．60° D．75°
【解答】解：设∠EBD＝x，
∵DE＝EB，
∴∠EBD＝∠EDB＝x，
∴∠AED＝∠EBD+∠EDB＝2x，
∵AD＝DE，
∴∠A＝∠AED＝2x，
∴∠BDC＝∠A+∠EBD＝3x，
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠C＝3x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴2x+3x+3x＝180°，
∴x＝22.5°，
∴∠A＝2x＝45°，
故选：A．
5．（3分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） D．（x﹣1）（x﹣3）+1＝（x﹣2）2
【解答】解：A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1，没有把把一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），故本选项不符合题意；
D．（x﹣1）（x﹣3）+1＝（x﹣2）2，由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
6．（3分）如图所示，BC、AE是锐角△ABF的高，相交于点D，若AD＝BF，AF＝7，CF＝2，则BD的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵BC、AE是锐角△ABF的高，
∴∠BCF＝∠ACD＝∠AEF＝90°，
∴∠F+∠CAD＝∠F+∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠CAD，
在△BCF和△ACD中，
∠BCF=∠ACD∠CBF=∠CADBF=AD，
∴△BCF≌△ACD（AAS），
∴CD＝CF＝2，BC＝AC＝AF﹣CF＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3．
故选：B．
7．（3分）将分式xyx+y中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小到原来的12
C．保持不变 D．无法确定
【解答】解：由题意得：
2x⋅2y2x+2y=4xy2x+2y=2xyx+y，
∴将分式xyx+y中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值扩大为原来的2倍，
故选：A．
8．（3分）观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（　　）

A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2
C．（a+b）（a+2b）＝2a2+3ab+b2
D．（a+b）（2a+b）＝a2+3ab+2b2
【解答】解：整体是长为a+2b，宽为a+b的长方形，因此面积为（a+2b）（a+b），
整体是由6个部分的面积和，即a2+3ab+2b2，
因此有（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，
故选：A．
9．（3分）某智能手机代工厂接到生产30万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，该代工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前2个月完成交货，那么原计划每月生产智能手机多少万部？设原计划每月生产智能手机x万部，则根据题意可列方程为（　　）
A．30(1+50%)x-30x=2 B．30(1-50%)x-30x=2
C．30x-30(1-50%)x=2 D．30x- 30(1+50%)x=2
【解答】解：根据题意，得30x-30(1+50%)x=2，
故选：D．
10．（3分）如图，等边△ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝4，则当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（　　）

A．22.5° B．30° C．45° D．15°
【解答】解：过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC＝8，AE＝4，
∴EC＝4＝AE，
∴AM＝BM＝4，
∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴∠ECF=12∠ACB＝30°．
故选：B．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）已知x+1x=8，则x2+1x2的值是 　62　．
【解答】解：∵x+1x=8，
∴（x+1x）2＝64，即x2+2+1x2=64，
∴x2+1x2=62，
故答案为：62．
12．（3分）如图，点D、A、E在直线m上，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，且BD＝AE．若BD＝3，CE＝5，则DE＝　8　．

【解答】解：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
∠BDA=∠CEA∠ABD=∠CAEAB=AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD＝AE＝3，AD＝CE＝5，
∴DE＝AD+AE＝8，
故答案为：8．
13．（3分）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是 　等腰三角形　．
【解答】解：∵a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
14．（3分）如图，已知点P是∠AOB内任意一点，点P1，P关于OA对称，点P2，P关于OB对称，连接P1P2，分别交OA，OB于C，D，连接PC，PD．若P1P2＝10cm，则△PCD的周长是 　10　cm．

【解答】解：∵点P1，P关于OA对称，
∴PC＝P1C，
∵点P2，P关于OB对称，
∴PD＝P2D，
∴△PCD的周长＝PC+PD+CD＝P1C+P2D+CD＝P1P2＝10cm，
故答案为：10．
15．（3分）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际每天施工多少平方米？设原计划平均每天施工x平方米，则可列出方程为 　33000x-330001.2x=11　．
【解答】解：设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，
根据题意得：33000x-330001.2x=11．
故答案为：33000x-330001.2x=11．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（8分）计算：
（1）﹣12022+（-32）﹣1+3-8+（3.14﹣π）0；
（2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y．
【解答】解：（1）﹣12022+（-32）﹣1+3-8+（3.14﹣π）0
＝﹣1+（-23）+（﹣2）+1
=-83；
（2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y
＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷x2y
＝（2x3y2﹣2x2y）÷x2y
＝2xy﹣2．
17．（8分）（1）先化简，再求值：（1x-1-1x+1）÷1x2+x，其中x为﹣1，0，1，2中的一个合适的数值．
（2）解方程x+1x-1-14x2-1=1．
【解答】解：（1）（1x-1-1x+1）÷1x2+x
=x+1-x+1(x+1)(x-1)⋅x(x+1)1
=2x-1⋅x
=2xx-1，
∵当x＝﹣1，0，1时原分式无意义，
∴x＝2，
当x＝2时，原式=2×22-1=4；
（2）x+1x-1-14x2-1=1，
方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得
（x+1）2﹣14＝（x+1）（x﹣1），
解得x＝6，
检验：当x＝6时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴原分式方程的解是x＝6．
18．（8分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．
（1）求证：CF∥AB；
（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．

【解答】（1）证明：∵E为AC中点，
∴AE＝CE，
在△AED和△CEF中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠ACF，
∴CF∥AB；

（2）解：∵AC平分∠BCF，
∴∠ACB＝∠ACF，
∵∠A＝∠ACF，
∴∠A＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝50°，
∴2∠A＝130°，
∴∠A＝65°．
19．（9分）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长为20cm，AC＝6cm，求DC长．

【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝70°，
∴∠C=12∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长20cm，AC＝6cm，
∴AB+BE+EC＝14cm，
即2DE+2EC＝14cm，
∴DE+EC＝DC＝7cm．
20．（9分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x-1=x-1+2x-1=x-1x-1+2x-1=1+2x-1，2x-3x+1=2x+2-5x+1=2x+2x+1+-5x+1=2+-5x+1，则x+1x-1和2x-3x+1都是“和谐分式”．
（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 　①③④　（填序号）；
①x+1x；②2+x2；③x+2x+1；④y2+1y2
（2）将“和谐分式”a2-2a+3a-1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：a2-2a+3a-1=　a﹣1　+　2a-1　；
（3）应用：先化简3x+6x+1-x-1x÷x2-1x2+2x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【解答】解：（1）①x+1x=1+1x，是和谐分式；③x+2x+1=x+1+1x+1=1+1x+1，是和谐分式；④y2+1y2=1+1y2，是和谐分式；
故答案为：①③④；

（2）a2-2a+3a-1=a2-2a+1+2a-1=(a-1)2+2a-1=a﹣1+2a-1，
故答案为：a﹣1、2a-1；

（3）原式=3x+6x+1-x-1x•x(x+2)(x+1)(x-1)
=3x+6x+1-x+2x+1
=2x+4x+1
=2(x+1)+2x+1
＝2+2x+1，
∴当x+1＝±1或x+1＝±2时，分式的值为整数，
此时x＝0或﹣2或1或﹣3，
又∵分式有意义时x≠0、1、﹣1、﹣2，
∴x＝﹣3．
21．（9分）为响应习总书记“足球进校园”的号召，某学校2017年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）按照实际需要每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，购买的足球能够配备多少个班级？
【解答】解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，
可得：2000x=2×1400x+20，
解得：x＝50，
经检验x＝50是原方程的解，
答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元；

（2）由（1）可知该校购买甲种足球2000x=200050=40个，购买乙种足球20个，
∵每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，
∴购买的足球能够配备20个班级．
22．（11分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．

活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：　能　．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，θ＝　22.5°　；
活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，θ3＝　2θ，3θ，4θ　；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
【解答】解：（1）∵根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去．
故答案为：能；
（2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3＝45°，
∴∠AA2A1+∠θ＝45°，
∵∠AA2A1＝∠θ，
∴∠θ＝22.5°；
（3）∵A1A2＝AA1
∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝θ
∴∠A2A1A3＝θ1＝θ+θ
∴θ1＝2θ
同理可得：θ2＝3θ
θ3＝4θ．
故答案为：2θ，3θ，4θ；
（4）由题意得：6θ≥90°5θ＜90°，
∴15°≤θ＜18°．
23．（13分）阅读以下材料，完成以下两个问题．
[阅读材料]已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．
结合此题，DE＝EC，点E是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图（1）所示；②考虑倍长AE，如图（2）所示
以图（1）为例，证明过程如下：
证明：延长FE至G，使EG＝EF，连接CG．
在△DEF和△CEG中，
ED=EC∠DEF=∠CEGEF=EG，
∴△DEF≌△CEG（SAS）．
∴DF＝CG，∠DFE＝∠G．
∵DF＝AC，
∴CG＝AC．
∴∠G＝∠CAE．
∴∠DFE＝∠CAE．
∵DF∥AB，
∴∠DFE＝∠BAE．
∴∠BAE＝∠CAE．
∴AE平分∠BAC．
问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明．
问题2：根据上述材料，完成下列问题：
已知，如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，∠BAE＝∠CAF＝90°，AE＝AB，AC＝AF，AD＝3，求EF的长．
【解答】问题1：
证明：延长AE至G，使EG＝AE，连接DG，如图（2）所示：
在△ACE和△GDE中，
AE=GE∠AEC=∠GEDCE=DE，
∴△ACE≌△GDE（SAS）．
∴AC＝GD，∠CAE＝∠G．
∵DF＝AC，
∴DG＝DF，
∴∠DFG＝∠G，
∴∠DFG＝∠CAE，
∵DF∥AB，
∴∠DFG＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴AE平分∠BAC．
问题2：
解：延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，如图（3）所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△GBD和△ACD中，
BD=CD∠BDG=∠CDAGD=AD，
∴△GBD≌△ACD（SAS），
∴GB＝AC，∠G＝∠CAD，
∴BG∥AC，
∴∠ABG+∠BAC＝180°，
∵∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAF＝∠ABG，
∵AC＝AF，
∴AF＝GB，
在△AEF和△BAG中，
AE=AB∠EAF=∠ABGAF=BG，
∴△AEF≌△BAG（SAS），
∴EF＝AG，
∵AG＝2AD＝2×3＝6，
∴EF＝6．