2023届高考数学二轮复习专题二平面向量、三角函数与解三角形第2讲三角函数的图象与性质学案

第2讲　三角函数的图象与性质

1.[同角三角函数的基本关系](2020·全国Ⅰ卷,T9)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=(　A　)

A. B. C. D.

解析:由3cos 2α-8cos α=5,得6cos2α-8cos α-8=0,即3cos2α-4cos α-4=0,解得cos α=-或cos α=2(舍去).又因为α∈(0,π),所以sin α==.故选A.

2.[三角函数图象的变换](2021·全国乙卷,T7)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x-)的图象,则f(x)=(　B　)

A.sin(-) B.sin(+)

C.sin(2x-) D.sin(2x+)

解析:因为把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x-)的图象,

所以把函数y=sin(x-)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin(x+-)=sin(x+)的图象,

再把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,可得函数f(x)=sin(+)的图象.故选B.

3.[三角函数的单调性](2021·新高考Ⅰ卷,T4)下列区间中,函数f(x)=7sin(x-)单调递增的区间是(　A　)

A.(0,) B.(,π)

C.(π,) D.(,2π)

解析:由题意,令x-∈(-+2kπ,+2kπ),k∈Z,即x∈(-+2kπ,+2kπ),k∈Z,

取k=0,则函数f(x)=7sin (x-)的单调递增区间为(-,).因为(0,)⫋(-,),所以(0,)是函数f(x)的一个单调递增区间.故选A.

4.[三角函数的周期与最值](2021·全国乙卷,T4)函数f(x)=sin +cos 的最小正周期和最大值分别是(　C　)

A.3π和 B.3π和2

C.6π和 D.6π和2

解析:因为f(x)=sin +cos =sin (+),所以T==6π.

当sin(+)=1时,函数f(x)取得最大值.所以函数f(x)的最小正周期为6π,最大值为.故选C.

5.[三角函数的图象与性质](2022·新高考Ⅰ卷,T6)记函数f(x)=sin(ωx+)+b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π,且y=f(x)的图象关于点(,2)中心对称,则f()=(　A　)

A.1 B. C. D.3

解析:由函数的最小正周期T满足<T<π,得<<π,解得2<ω<3.

又因为函数图象关于点(,2)中心对称,所以ω+=kπ,k∈Z,且b=2,

所以ω=-+k,k∈Z,所以ω=,f(x)=sin (x+)+2,

所以f()=sin (π+)+2=1.故选A.

　　三角函数是高考的重点热点,其考查方向主要有:(1)三角函数的定义、图象:主要考查图象的变换、由图象求解析式,以选择题、填空题为主,难度中等或偏下.(2)三角函数的性质:主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性,常与三角恒等变换交汇命题,以选择题、填空题的形式考查,难度为中等或偏下.

热点一　三角函数的定义、诱导公

式及基本关系式

1.同角关系:sin2α+cos2α=1,=tan α(α≠+kπ,k∈Z).

2.诱导公式:在+α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.

典例1　(1)(2022·山东济南二模)如果角α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),则sin α的值等于(　　)

A. B.- C.- D.-

(2)(2022·广东惠州一模)已知tan α=2,π<α<π,则cos α-sin α=(　　)

A. B.- C. D.-

解析:(1)由题意得P(1,-),它与原点的距离r==2,

所以sin α===-.故选C.

(2)因为tan α==2,且sin2α+cos2α=1,π<α<π,

所以sin α=-,cos α=-,

所以cos α-sin α=--(-)=.故选A.

(1)若α∈(0,),则sin α<α<tan α.

(2)由(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α知,sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α知一可求二.

热点训练1　 (1)(2022·广东茂名二模)已知0<α<,sin(-α)=,则的值为(　　)

A. B.

C. D.

(2)(2022·河北邯郸一模)已知tan α=-3,则=(　　)

A.- B. C. D.-

解析:(1)因为sin(-α)=,所以(cos α-sin α)=,所以cos α-sin α=,所以1-2sin αcos α=,

得sin αcos α=,因为cos α+sin α==,

所以====.故选C.

(2)因为tan α=-3,

则=====.故选C.

热点二　三角函数的图象与解析式

三角函数图象的变换

先平移后伸缩:

y=sin xy=sin(x+)

y=sin(ωx+)

y=Asin(ωx+).

先伸缩后平移:

y=sin xy=sin ωx

y=sin(ωx+)

y=Asin(ωx+).

典例2　(1)(2022·广东模拟预测)若函数y=sin ωx与y=cos ωx图象的任意连续三个交点构成边长为4的等边三角形,则正实数ω=(　　)

A.     B.1     C.   D.π

(2)(2022·山东滨州二模)函数f(x)=Asin (ωx+)(A>0,ω>0,||<)的部分图象如图所示,现将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)的表达式可以为(　　)

A.g(x)=2sin(x+)

B.g(x)=2cos(x-)

C.g(x)=2sin(x+)

D.g(x)=2cos (x-)

解析:(1)由题意知,作出函数y=sin ωx和y=cos ωx的图象,

设两图象相邻的3个交点分别为A,B,C,如图所示,

则AB=4,△ABC为等边三角形,

由图可知,函数y=sin ωx的最小正周期T=AB=4,又T=,

所以ω===.故选C.

(2)由题图可知,A=2,f(0)=2sin =-1,又||<,所以=-.由f()=2sin(ω·-)=0,可得ω·-=π+2kπ,k∈Z,解得ω=k+2,k∈Z,又<<,即·<<·,解得<ω<,故k=0,ω=2,即f(x)=2sin(2x-),将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得函数y=2sin [2(x+)-]=2sin(2x+)的图象,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得函数g(x)=2sin(x+)=2sin(x-+)=2cos(x-)的图象.故选B.

由三角函数的图象求解析式y=Asin (ωx+)+B(A>0,ω>0)中参数的值

(1)最值定A,B:根据给定的函数图象确定最值,设最大值为M,最小值为m,则M=A+B,m=-A+B,解得B=,A=.

(2)T定ω:由周期的求解公式T=,可得ω=.

(3)特殊点定:代入特殊点求,一般代最高点或最低点,代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势.

热点训练2　 (1)(2022·全国甲卷)将函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是(　　)

A. B. C. D.

(2)(多选题)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,||<)的部分图象如图所示,则(　　)

A.f(x)=sin(2x+)

B.f(x)=cos(2x-)

C.f(-x)=f(+x)

D.f(-x)=-f(+x)

解析:(1)由题意知,曲线C为y=sin[ω(x+)+]=sin(ωx++),又C关于y轴对称,

则+=+kπ,k∈Z,

解得ω=+2k,k∈Z.又ω>0,故当k=0时,ω的最小值为.故选C.

(2)由题图可知-==(T为f(x)的最小正周期),

所以T=π=,

解得ω=2,则f(x)=sin(2x+).

由图象过点(,1),得2×+=2kπ+(k∈Z),

得=2kπ+(k∈Z).因为||<,所以=,

所以f(x)=sin(2x+),所以A选项正确;

f(x)=sin(2x+)=cos(-2x-)=cos(-2x)=cos(2x-),所以B选项正确;

令2x+=kπ+(k∈Z),得x=π+(k∈Z),即函数f(x)=sin(2x+)图象的对称轴方程为x=π+(k∈Z),所以C选项不正确;

令2x+=kπ(k∈Z),得x=π-(k∈Z),即函数f(x)=sin(2x+)图象的对称中心为(π-,0)(k∈Z),当k=1时,对称中心为(,0),所以D选项正确.故选ABD.

热点三　三角函数的性质及应用

函数y=Asin (ωx+)(A>0,ω>0)的性质

(1)单调性:由-+2kπ≤ωx+≤+2kπ(k∈Z)可得单调递增区间,由+2kπ≤ωx+≤+2kπ(k∈Z),可得单调递减区间.

(2)对称性:由ωx+=kπ(k∈Z)可得对称中心;由ωx+=kπ+(k∈Z)可得对称轴.

(3)奇偶性:=kπ(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+)为奇函数;=kπ+(k∈Z)时,函数y=Asin (ωx+)为偶函数.

典例3　(1)(2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin (ωx+)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是(　　)

A.[,) B.[,)

C.(,] D.(,]

(2)(2022·山东泰安二模)已知函数f(x)=sin (ωx+)(ω>0,||<)的图象如图所示,则(　　)

A.函数f(x)的最小正周期是2π

B.函数f(x)在(,π)上单调递减

C.曲线y=f(x+)关于直线x=-对称

D.函数f(x)在[,]上的最小值是-1

解析:(1)当ω<0时,不能满足函数在区间(0,π)上极值点比零点多,所以ω>0.

函数f(x)=sin(ωx+)在区间(0,π)上恰有三个极值点、两个零点,

则ωx+∈(,ωπ+),

所以<ωπ+≤3π,

求得<ω≤.故选C.

(2)由题图可知,T=-=,所以T=π,ω==2,

sin(2×+)=0,又||<,所以=-,

所以f(x)=sin(2x-).

对于A,T=π,故A错误;

对于B,当x∈(,π)时,2x-∈(,),

由函数y=sin t的性质可知,当t∈(,)时函数单调递减,当t∈(,2π)时函数单调递增,∈(,),∈(,2π),故B错误;

对于C,f(x+)=sin(2x+-)=sin(2x-),将x=-代入上式得f(-+)=sin(-π-)=sin ≠±1,故C错误;

对于D,当x∈[,]时,2x-∈[,],

所以当2x-=,即x=时,f(x)取得最小值-1,故D正确.故选D.

研究三角函数的性质,首先利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化函数为f(x)=Asin(ωx+)+b的形式,然后结合正弦函数y=sin x的性质求f(x)的性质,此时有两种思路:一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质,然后判断各选项;另一种是由x的值或取值范围求得t=ωx+的取值范围,然后由y=sin t的性质判断各选项.

热点训练3　 (1)(2022·广东韶关一模)若将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后的函数图象的一条对称轴为(　　)

A.x=- B.x=

C.x=- D.x=

(2)(多选题)(2022·广东韶关二模)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx,ω>0,则下列结论中正确的是(　　)

A.若ω=2,则将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称

B.若|f(x1)-f(x2)|=4,且|x1-x2|的最小值为,则ω=2

C.若f(x)在[0,]上单调递增,则ω的取值范围为(0,3]

D.若f(x)在[0,π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是[,)

解析:(1)由题意,将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度可得函数y=sin[2(x+)]=sin(2x+)的图象,则平移后函数图象的对称轴方程为2x+=kπ+(k∈Z),取k=0,可得x=,

所以直线x=为平移后的函数图象的一条对称轴.故选B.

(2)函数f(x)=sin ωx-cos ωx=2sin(ωx-).

选项A,若ω=2,则f(x)=2sin(2x-),将f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数y=2sin 2x的图象,A正确;

选项B,若|f(x1)-f(x2)|=4,则x1,x2分别是函数f(x)的最大值点和最小值点,若|x1-x2|的最小值为,则最小正周期是π,所以ω=2,B正确;

选项C,若f(x)在[0,]上单调递增,则-≤,所以0<ω≤,C错误;

选项D,设t=ωx-,当x∈[0,π]时,t=ωx-∈[-,ωπ-],

若f(x)在[0,π]上有且仅有3个零点,即y=2sin t在t∈[-,ωπ-]上有且仅有3个零点,

则2π≤ωπ-<3π,所以≤ω<,D正确.故选ABD.